Menemukan perkiraan polinomial dari gelombang sinus

Saya ingin memperkirakan gelombang sinus yang diberikan oleh dengan menerapkan pemandu gelombang polinomial ke gelombang segitiga sederhana , yang dihasilkan oleh fungsi$\sin\left(\pi x\right)$

$$T\left(x\right)=1-4\left|\tfrac{1}{2}-\operatorname{mod}(\tfrac{1}{2}x+\tfrac{1}{4},\ 1)\right|$$

di mana adalah bagian fraksional dari :$\operatorname{mod}(x, 1)$$x$

$$\operatorname{mod}(x, y) \triangleq y \cdot \left( \left\lfloor \frac{x}{y}\right\rfloor - \frac{x}{y} \right)$$

Sebuah seri Taylor dapat digunakan sebagai WaveShaper a.

$$S_1\left(x\right)=\frac{\pi x}{2}-\frac{\frac{\pi x}{2}^3}{3!}+\frac{\frac{\pi x}{2}^5}{5!}-\frac{\frac{\pi x}{2}^7}{7!}$$

Dengan adanya fungsi-fungsi di atas, $S_1(T(x))$ akan memberi kita perkiraan yang layak dari gelombang sinus. Tapi kita harus naik ke kekuatan ke-7 dari seri untuk mendapatkan hasil yang masuk akal, dan puncaknya sedikit rendah dan tidak akan memiliki kemiringan yang persis nol.

Alih-alih seri Taylor, kita bisa menggunakan pembuat film polinom mengikuti beberapa aturan.

• Harus melewati -1, -1 dan + 1, + 1.
• Kemiringan pada -1, -1 dan + 1, + 1 harus nol.
• Harus simetris.

Fungsi sederhana yang memenuhi persyaratan kami:

$$S_2\left(x\right)=\frac{3x}{2}-\frac{x^3}{2}$$

Grafik $S_2(T(x))$ dan $\sin\left(\pi x\right)$ cukup dekat, tetapi tidak sedekat seri Taylor. Di antara puncak dan zero-crossing mereka tampak sedikit menyimpang. Fungsi yang lebih berat dan lebih akurat memenuhi persyaratan kami:

$$S_3\left(x\right)=\frac{x(x^2-5)^2}{16}$$

Ini mungkin cukup dekat untuk tujuan saya, tetapi saya bertanya-tanya apakah ada fungsi lain yang mendekati gelombang sinus lebih dekat, dan secara komputasi lebih murah. Saya memiliki pemahaman yang cukup baik tentang bagaimana menemukan fungsi yang memenuhi tiga persyaratan di atas, tetapi saya tidak yakin bagaimana mencari fungsi yang memenuhi persyaratan tersebut dan juga yang paling cocok dengan gelombang sinus.

Metode apa yang ada untuk menemukan polinomial yang meniru gelombang sinus (bila diterapkan pada gelombang segitiga)?

---

Untuk memperjelas, saya tidak hanya mencari polinomial aneh-simetris, meskipun itu adalah pilihan yang paling mudah.

Sesuatu seperti fungsi berikut ini juga dapat memenuhi kebutuhan saya:

$$S_4\left(x\right)=\frac{3x}{2}+\frac{x^2}{4}+\frac{x^4}{4}$$

Ini memenuhi persyaratan dalam kisaran negatif, dan solusi sepotong-sepotong dapat digunakan untuk menerapkannya pada rentang positif juga; sebagai contoh

$$\frac{3x}{2}-\frac{P\left(x,2\right)}{4}-\frac{P\left(x,4\right)}{4}$$

di mana adalah fungsi daya yang ditandatangani .$P$

Saya juga akan tertarik pada solusi menggunakan fungsi daya yang ditandatangani untuk mendukung eksponen fraksional, karena ini memberi kita "kenop untuk memutar" tanpa menambahkan koefisien lain.

$$a_0x\ +a_1P\left(x,\ p_1\right)$$

Dengan konstanta yang tepat, ini berpotensi mendapatkan akurasi yang sangat baik tanpa beban polinomial orde lima atau ketujuh. Berikut ini contoh memenuhi persyaratan yang dijelaskan di sini menggunakan beberapa konstanta yang dipilih sendiri: .$a_0=1.\overline{666}, a_1=-0.\overline{666}, p_1=2.5$

$$\frac{5x-2P\left(x,\ \frac{5}{2}\right)}{3}$$

Faktanya, konstanta-konstanta itu sangat dekat dengan , dan , dan . Memasukkannya memberi sesuatu yang terlihat sangat dekat dengan gelombang sinus. 1-$\frac \pi 2$$1 - \frac \pi 2$$e$

$$\frac{\pi}{2}x\ +\left(1-\frac{\pi}{2}\right)P\left(x,e\right)$$

Dengan kata lain, terlihat sangat dekat dengan antara 0,0 dan π / 2,1. Adakah pemikiran tentang pentingnya hal ini? Mungkin alat seperti Oktaf dapat membantu menemukan konstanta "terbaik" untuk pendekatan ini.$x-\frac{x^e}{6}$$\sin(x)$

sekitar satu dekade yang lalu saya melakukan ini untuk perusahaan synthesizer musik tanpa nama yang memiliki R&D tidak terlalu jauh dari kondominium saya di Waltham MA. (tidak bisa membayangkan siapa mereka.) Saya tidak memiliki koefisien.

tapi coba ini:

$$\begin{align} f(x) &\approx \sin\left(\tfrac{\pi}{2} x \right) \qquad \qquad \text{for }-1 \le x \le +1 \\ \\ &= \tfrac{\pi}{2} x (a_0 + a_1 x^2 + a_2 x^4) \\ \end{align}$$

ini menjamin bahwa .$f(-x) = -f(x)$

Untuk menjamin bahwa lalu$f'(x) \Big|_{x=\pm1} =0$

$$f'(x) = \tfrac{\pi}{2}( a_0 + 3 a_1 x^2 + 5 a_2 x^4)$$

$$a_0 + 3 a_1 + 5 a_2 = 0 \tag{1}$$

Itu kendala pertama. Untuk menjamin itu , lalu$|f(\pm 1)| = 1$

$$a_0 + a_1 + a_2 = \tfrac{2}{\pi} \tag{2}$$

Itu kendala kedua. Menghilangkan dan memecahkan pers. (1) dan (2) untuk sebuah 2 dalam hal suatu 1 (yang tersisa untuk menyesuaikan):$a_0$$a_2$$a_1$

$$a_0 = \tfrac{5}{2 \pi} - \tfrac{1}{2} a_1$$

$$a_2 = -\tfrac{1}{2 \pi} - \tfrac{1}{2} a_1$$

Sekarang Anda hanya memiliki satu koefisien, , kiri untuk bermalas untuk kinerja terbaik:$a_1$

$$f(x) = \tfrac{\pi}{2} x \left((\tfrac{5}{2 \pi} - \tfrac{1}{2} a_1) + a_1 x^2 - (\tfrac{1}{2 \pi} + \tfrac{1}{2} a_1)x^4 \right)$$

Ini adalah cara saya akan main 1 untuk kinerja terbaik untuk osilator gelombang sinus. Saya akan menyesuaikan menggunakan di atas dan simetri gelombang sinus sekitar x = 1 dan menempatkan tepat satu siklus penuh dalam buffer dengan kekuatan dua jumlah poin (katakan 128, saya tidak peduli) dan jalankan FFT pada itu siklus sempurna.$a_1$$x=1$

Bin hasil FFT 1 akan menjadi kekuatan sinus dan harus sekitar . Sekarang Anda dapat menyesuaikan sebuah 1 untuk membawa distorsi harmonik ke-3 atas dan ke bawah. Saya akan mulai dengan sebuah 1 ≈ $N/2$$a_1$sehinggasebuah0≈1. Itu di bin 3 dari hasil FFT Tapi distorsi harmonik ke-5 (nilai dalam bin 5) akan menjadi konsekuensial (itu akan naik ketika harmonik ke-3 turun). Saya akan menyesuaikansebuah1sehingga kekuatan dari tingkat harmonik ke-5 sama dengan tingkat harmonik ke-3. Ini akan menjadi sekitar -70 dB dari harmonik 1 (seingat saya). Itu akan menjadi gelombang sinus terdengar terbaik dari polinomial aneh, simetris, 3-koefisien, orde-5.$a_1 \approx \tfrac{5}{\pi} - 2$$a_0 \approx 1$$a_1$

Orang lain dapat menulis kode MATLAB. Bagaimana kedengarannya menurut anda?

Apa yang biasanya dilakukan adalah perkiraan meminimalkan beberapa norma kesalahan, seringkali -norm (di mana kesalahan maksimum diminimalkan), atau L 2 -norm (di mana kesalahan kuadrat rata-rata diminimalkan). L ∞ - aproksimasi dilakukan dengan menggunakan algoritma pertukaran Remez . Saya yakin Anda dapat menemukan beberapa kode sumber terbuka yang mengimplementasikan algoritma itu. Namun, dalam kasus ini saya pikir sangat sederhana (diskrit) l 2 -optimization cukup. Mari kita lihat beberapa kode Matlab / Oktaf dan hasilnya:$L_{\infty}$$L_2$$L_{\infty}$$l_2$

x = linspace (0, pi / 2.300); % kisi pada [0, pi / 2]
x = x (:);
% sistem persamaan linear yang ditentukan secara berlebihan
% (hanya menggunakan kekuatan ganjil)
A3 = [x, x. ^ 3];
A5 = [x, x. ^ 3, x. ^ 5];
b = sin (x);
% pecahkan dalam arti l2
c3 = A3 \ b;
c5 = A5 \ b;
f3 = A3 * c3; % Perkiraan pesanan 3
f5 = A5 * c5; % Perkiraan pesanan ke-5

Gambar di bawah ini menunjukkan kesalahan perkiraan untuk orde dan untuk orde 5 t h- orde. Kesalahan perkiraan maksimum masing-masing adalah dan .$3^{rd}$$5^{th}$8.8869e-031.5519e-04

Koefisien optimal adalah

c3 =
   0,988720369237930
  -0.144993929056091

dan

c5 =
   0.99976918199047515
  -0.16582163562776930
   0,00757183954143367

Jadi perkiraan tingkat ketiga adalah

$$\sin(x)\approx 0.988720369237930x-0.144993929056091x^3,\quad x\in[-\pi/2,\pi/2]\tag{1}$$

dan pendekatan urutan kelima adalah

$$\sin(x)\approx 0.99976918199047515x-0.16582163562776930x^3+\\0.00757183954143367x^5,\quad x\in[-\pi/2,\pi/2]\tag{2}$$

EDIT:

Saya telah melihat perkiraan dengan fungsi daya yang ditandatangani, seperti yang disarankan dalam pertanyaan, tetapi perkiraan terbaik hampir tidak lebih baik daripada perkiraan urutan ketiga yang ditunjukkan di atas. Fungsi aproksimasi adalah

$$f(x)=x - \frac{1}{p}\left(\frac{\pi}{2}\right)^{1-p}x^p,\qquad x\in[0,\pi/2]\tag{3}$$

di mana konstanta dipilih sedemikian rupa sehingga dan f ′ ( π / 2 ) = 0 . Power p dioptimalkan untuk mencapai kesalahan maksimum terkecil di kisaran [ 0 , π / 2 ] . Nilai optimal untuk p ditemukan p = 2.774 . Gambar di bawah ini menunjukkan kesalahan aproksimasi untuk aproksimasi orde ketiga ( 1 ) dan untuk aproksimasi baru ( $f'(0)=1$$f'(\pi/2)=0$$p$$[0,\pi/2]$$p$$p=2.774$$(1)$ :$(3)$

Kesalahan aproksimasi maksimum aproksimasi adalah , tetapi perhatikan bahwa aproksimasi orde ketiga hanya melebihi kesalahan yang mendekati π / 2 dan bahwa sebagian besar kesalahan aproksimasi sebenarnya lebih kecil dari salah satu fungsi daya yang ditandatangani.$(3)$4.5e-3$\pi/2$

EDIT 2:

Jika Anda tidak keberatan pembagian, Anda juga bisa menggunakan rumus perkiraan sinus Bhaskara I , yang memiliki kesalahan perkiraan maksimum 1.6e-3:

$$\sin(x)\approx\frac{16x(\pi-x)}{5\pi^2-4x(\pi-x)},\qquad x\in [0,\pi/2]\tag{4}$$

Mulai dengan polinomial parameter-urutan ke-5 yang umum dan tidak simetri :

$$\begin{align} f(x) &= a_0 x^1 + a_1 x^3 + a_2 x^5 \\ &= x\big( a_0 + a_1 x^2 + a_2 x^4 \big) \\ &= x\bigg( a_0 + x^2 \Big(a_1 + a_2 x^2\Big) \bigg) \\ \end{align}$$

Sekarang kami menempatkan beberapa kendala pada fungsi ini. Amplitudo harus 1 pada puncak, dengan kata lain $f(1) = 1$ . Mengganti $1$ untuk $x$ memberi:

$$a_0 + a_1 + a_2 = 1 \tag1$$

That's one constraint. The slope at the peaks should be zero, in other words $f'(1) = 0$. The derivative of $f(x)$ is

$$a_0 + 3 a_1 x^2 + 5 a_2 x^4$$

and substituting $1$ for $x$ gives our second constraint:

$$a_0 + 3 a_1 + 5 a_2 = 0 \tag2$$

Now we can use our two constraints to solve for $a_1$ and $a_2$ in terms of $a_0$.

$$a_1=\frac{5}{2}-2a_0 \\ a_2=a_0-\frac{3}{2}\tag{3}$$

All that's left is to tweak $a_0$ to get a nice fit. Incidentally, $a_0$ (and the slope at the origin) ends up being $\approx\frac{\pi}{2}$, as we can see from a plot of the function.

Parameter optimization

Below are a number of optimizations of the coefficients, which result in these relative amplitudes of the harmonics compared to the fundamental frequency (1st harmonic):

In the complex Fourier series:

$$\sum_{k=-\infty}^\infty c_k e^{i\tfrac{2\pi}{P} kx},$$

of a real $P\text{-}$periodic waveform with $P = 4$ and time symmetry about $x = 1$ and with half a period defined by odd function $f(x)$ over $-1 \le x \le 1,$ the coefficient of the $k\text{th}$ complex exponential harmonic is:

$$c_k = \frac{1}{P}\int_{-1}^{-1+P}\left(\cases{f(x)&if $x < 1$\\-f(x-2)&if $x \ge 1$}\right)e^{-i\tfrac{2\pi}{P}kx}dx.$$

Because of the relationship $2 \cos(x) = e^{ix} + e^{-ix}$ (see: Euler's formula), the amplitude of a real sinusoidal harmonic with $k > 0$ is $2\left|c_k\right|,$ which is twice that of the magnitude of the complex exponential of the same frequency. This can be massaged to a form which makes it easier for some symbolic mathematics software to simplify the integral:

$$2|c_k| = \frac{2}{4}\left|\int_{-1}^{3}\left(\cases{f(x)&if $x < 1$\\-f(x-2)&if $x \ge 1$}\right)e^{-i\tfrac{2\pi}{4}kx}dx\right|\\ = \frac{1}{2}\left|\int_{-1}^{1}f(x)e^{-i\tfrac{\pi}{2}kx}dx - \int_{1}^{3}f(x-2)e^{-i\tfrac{\pi}{2}kx}dx\right|\\ = \frac{1}{2}\left|\int_{-1}^{1}f(x)e^{-i\tfrac{\pi}{2}kx}dx - \int_{-1}^{1}f(x+2-2)e^{-i\tfrac{\pi}{2}k(x+2)}dx\right|\\ = \frac{1}{2}\left|\int_{-1}^{1}f(x)e^{-i\tfrac{\pi}{2}kx}dx - \int_{-1}^{1}f(x)e^{-i\tfrac{\pi}{2}k(x+2)}dx\right|\\ = \frac{1}{2}\left|\int_{-1}^{1}f(x)\left(e^{-i\tfrac{\pi}{2}kx} - e^{-i\tfrac{\pi}{2}k(x+2)}\right)dx\right|\\ = \frac{1}{2}\left|e^{i\tfrac{\pi}{2}x}\int_{-1}^{1}f(x)\left(e^{-i\tfrac{\pi}{2}kx} - e^{-i\tfrac{\pi}{2}k(x+2)}\right)dx\right|\\ = \frac{1}{2}\left|\int_{-1}^{1}f(x)\left(e^{-i\frac{\pi}{2}k(x-1)}-e^{-i\frac{\pi}{2}k(x+1)}\right)dx\right|$$

The above takes advantage of that $|e^{ix}|=1$ for real $x.$ It is easier for some computer algebra systems to simplify the integral by assuming $k$ is real, and to simplify to integer $k$ at the end. Wolfram Alpha can integrate individual terms of the final integral corresponding to the terms of the polynomial $f(x)$. For the coefficients given in Eq. 3 we get amplitude:

$$= \left|\frac{48\left((-1)^k - 1\right)\left(16\,a_0\left(\pi^2 k^2 - 10\right) - 5\times(5\pi^2 k^2 - 48)\right)}{\pi^6k^6}\right|$$

5th order, continuous derivative

We can solve for the value of $a_0$ that gives equal amplitude $2|c_k|$of the 3rd and the 5th harmonic. There will be two solutions corresponding to the 3rd and the 5th harmonic having equal or opposite phases. The best solution is the one that minimizes the maximum amplitude of the 3rd and above harmonics and equivalently the maximum relative amplitude of the 3rd and above harmonics compared to the fundamental frequency (1st harmonic):

$$a_0 = \frac{3\times(132375\pi^2 - 130832)}{16\times(15885\pi^2 - 16354)}\approx 1.569778813,\\ a_1 = \frac{5}{2} - 2a_0 = \frac{79425\pi^2 - 65416}{8\times(-15885\pi^2 + 16354)}\approx -0.6395576276,\\ a_2 = a_0 - \frac{3}{2} = \frac{15885\pi^2}{16\times(15885\pi^2 - 16354)}\approx 0.06977881382.$$

This gives the fundamental frequency at amplitude $\frac{13679616}{15885\pi^6 - 16354\pi^4} \approx 1.000071420$ and both the 3rd and the 5th harmonic at relative amplitude $\frac{1}{8906}$ or about $-78.99\text{ dB}$ compared to the fundamental frequency. A $k\text{th}$ harmonic has relative amplitude $\frac{\left(1 - (-1)^k\right)\left|8177k^2 - 79425\right|}{142496 k^6}.$

7th order, continuous derivative

Likewise, the optimal 7th order polynomial approximation with the same initial constraints and the 3rd, 5th, and 7th harmonic at the lowest possible equal level is:

$$\begin{align} f(x) &= a_0 x^1 + a_1 x^3 + a_2 x^5 + a_3 x^7\\ &= x\big( a_0 + a_1 x^2 + a_2 x^4 + a_3 x^7 \big) \\ &= x\bigg( a_0 + x^2 \Big(a_1 + x^2 \big(a_2 + a_3 x^2 \big) \Big) \bigg) \\ \end{align}$$

$$a_0 = \frac{2a_2 + 4a_3 + 3}{2} \approx 1.570781972,\\ a_1 = -\frac{4a_2 + 6a_3 + 1}{2} \approx -0.6458482979,\\ a_2 = \frac{347960025\pi^4 - 405395408\pi^2}{16\times(281681925 \pi^4 - 405395408 \pi^2 + 108019280)} \approx 0.07935067784,\\ a_3 = - \frac{16569525\pi^4}{16\times(281681925\pi^4 - 405395408\pi^2 + 108019280)} \approx -0.004284352588.$$

This is the best of four possible solutions corresponding to equal/opposite phase combinations of the 3rd, 5th, and 7th harmonic. The fundamental frequency has amplitude $\frac{2293523251200}{281681925\pi^8 - 405395408\pi^6 + 108019280\pi^4} \approx 0.9999983752,$ and the 3rd, 5th, and 7th harmonics have relative amplitude $\frac{1}{1555395} \approx -123.8368\text{ dB}$ compared to the fundamental. A $k\text{th}$ harmonic has relative amplitude $\frac{\left(1 - (-1)^k\right)\left|1350241k^4 - 50674426k^2 + 347960025\right|}{597271680k^8}$ compared to the fundamental.

5th order

If the requirement of a continuous derivative is dropped, the 5th order approximation will be more difficult to solve symbolically, because the amplitude of the 9th harmonic will rise above the amplitude of the 3rd, 5th, and the 7th harmonic if those are constrained to be equal and minimized. Testing 16 different solutions corresponding to different subsets of three harmonics from $\{3, 5, 7, 9\}$ being of equal amplitude and of equal or opposite phases, the best solution is:

$$f(x) = a_0 x^1 + a_1 x^3 + a_2 x^5\\ a_0 = 1 - a_1 - a_2 \approx 1.570034357\\ a_1 = \frac{3\times(2436304\pi^2 - 2172825\pi^4)}{8\times(1303695\pi^4 - 1827228\pi^2 + 537160)} \approx -0.6425216143\\ a_2 = \frac{1303695\pi^4}{16\times(1303695\pi^4 - 1827228\pi^2 + 537160)} \approx 0.07248725712$$

The fundamental frequency has amplitude $\frac{1080430592}{1303695\pi^6 - 1827228\pi^4 + 537160\pi^2} \approx 0.9997773320.$ The 3rd, 5th, and 9th harmonics have relative amplitude $\frac{7}{263777} \approx -91.52\text{ dB},$ and the 7th harmonic has relative amplitude $\frac{726083}{31033100273} \approx -92.6\text{ dB}$ compared to the fundamental. A $k\text{th}$ harmonic has relative amplitude $\frac{\left(1 - (-1)^k\right)\left|67145k^4 - 2740842k^2 + 19555425\right|}{33763456k^6}.$

This approximation has a slight corner at the half-cycle boundaries, because the polynomial has zero derivative not at $x = \pm 1$ but at $x \approx \pm 1.002039940.$ At $x = 1$ the value of the derivative is about $0.004905799828$. This results in slower asymptotic decay of the amplitudes of the harmonics at large $k,$ compared to the 5th order approximation that has a continuous derivative.

7th order

A 7th order approximation without continuous derivative can be found similarly. The approach requires testing 120 different solutions and was automated by the Python script at the end of this answer. The best solution is:

$$f(x) = a_0 x^1 + a_1 x^3 + a_2 x^5 + a_3 x^7\\ a_0 = 1 - a_1 - a_2 - a_3 \approx 1.5707953785726114835\\ a_1 = - \frac{5\times(4374085272375\pi^6 - 6856418226992\pi^4 + 2139059216768\pi^2)}{16\times(2124555703725\pi^6 - 3428209113496\pi^4 + 1336912010480\pi^2 - 155807094720)} \approx -0.64590724797262922190\\ a_2 = \frac{2624451163425\pi^6 - 3428209113496\pi^4}{16\times(2124555703725\pi^6 - 3428209113496\pi^4 + 1336912010480\pi^2 - 155807094720)} \approx 0.079473610232926783079\\ a_3 = -\frac{124973864925\pi^6}{16\times(2124555703725\pi^6 - 3428209113496\pi^4 + 1336912010480\pi^2 - 155807094720)} \approx -0.0043617408329090447344$$

The fundamental frequency has amplitude $\frac{16991801282396160}{2124555703725\pi^8 - 3428209113496\pi^6 + 1336912010480\pi^4 - 155807094720\pi^2} \approx 1.0000024810802368487.$ The largest relative amplitude of the harmonics above the fundamental is $\frac{50}{2400688077}\approx -133.627\text{ dB}.$ compared to the fundamental. A $k\text{th}$ harmonic has relative amplitude $\frac{\left(1 - (-1)^k\right)\left|-162299057k^6 + 16711400131k^4 - 428526139187*k^2 + 2624451163425\right|}{4424948250624k^8}.$

Python source

from sympy import symbols, pi, solve, factor, binomial

numEq = 3 # Number of equations
numHarmonics = 6 # Number of harmonics to evaluate

a1, a2, a3, k = symbols("a1, a2, a3, k")
coefficients = [a1, a2, a3]
harmonicRelativeAmplitude = (2*pi**4*a1*k**4*(pi**2*k**2-12)+4*pi**2*a2*k**2*(pi**4*k**4-60*pi**2*k**2+480)+6*a3*(pi**6*k**6-140*pi**4*k**4+6720*pi**2*k**2-53760)+pi**6*k**6)*(1-(-1)**k)/(2*k**8*(2*pi**4*a1*(pi**2-12)+4*pi**2*a2*(pi**4-60*pi**2+480)+6*a3*(pi**6-140*pi**4+6720*pi**2-53760)+pi**6))

harmonicRelativeAmplitudes = []
for i in range(0, numHarmonics) :
    harmonicRelativeAmplitudes.append(harmonicRelativeAmplitude.subs(k, 3 + 2*i))

numCandidateEqs = 2**numHarmonics
numSignCombinations = 2**numEq
useHarmonics = range(numEq + 1)

bestSolution = []
bestRelativeAmplitude = 1
bestUnevaluatedRelativeAmplitude = 1
numSolutions = binomial(numHarmonics, numEq + 1)*2**numEq
solutionIndex = 0

for i in range(0, numCandidateEqs) :
    temp = i
    candidateNumHarmonics = 0
    j = 0
    while (temp) :
        if (temp & 1) :
            if candidateNumHarmonics < numEq + 1 :
                useHarmonics[candidateNumHarmonics] = j
            candidateNumHarmonics += 1
        temp >>= 1
        j += 1
    if (candidateNumHarmonics == numEq + 1) :
        for j in range(0,  numSignCombinations) :
            eqs = []
            temp = j
            for n in range(0, numEq) :
                if temp & 1 :
                    eqs.append(harmonicRelativeAmplitudes[useHarmonics[0]] - harmonicRelativeAmplitudes[useHarmonics[1+n]])
                else :
                    eqs.append(harmonicRelativeAmplitudes[useHarmonics[0]] + harmonicRelativeAmplitudes[useHarmonics[1+n]])
                temp >>= 1
            solution = solve(eqs, coefficients, manual=True)
            solutionIndex += 1
            print "Candidate solution %d of %d" % (solutionIndex, numSolutions)
            print solution
            solutionRelativeAmplitude = harmonicRelativeAmplitude
            for n in range(0, numEq) :                
                solutionRelativeAmplitude = solutionRelativeAmplitude.subs(coefficients[n], solution[0][n])
            solutionRelativeAmplitude = factor(solutionRelativeAmplitude)
            print solutionRelativeAmplitude
            solutionWorstRelativeAmplitude = 0
            for n in range(0, numHarmonics) :
                solutionEvaluatedRelativeAmplitude = abs(factor(solutionRelativeAmplitude.subs(k, 3 + 2*n)))
                if (solutionEvaluatedRelativeAmplitude > solutionWorstRelativeAmplitude) :
                    solutionWorstRelativeAmplitude = solutionEvaluatedRelativeAmplitude
            print solutionWorstRelativeAmplitude
            if (solutionWorstRelativeAmplitude < bestRelativeAmplitude) :
                bestRelativeAmplitude = solutionWorstRelativeAmplitude
                bestUnevaluatedRelativeAmplitude = solutionRelativeAmplitude                
                bestSolution = solution
                print "That is a new best solution!"
            print

print "Best Solution is:"
print bestSolution
print bestUnevaluatedRelativeAmplitude
print bestRelativeAmplitude

Are you asking this for theoretical reasons or a practical application?

Usually, when you have an expensive to compute function over a finite range the best answer is a set of lookup tables.

One approach is to use best fit parabolas:

n = floor( x * N + .5 );

d = x * N - n;

i = n + N/2;

y = L_0 + L_1[i] * d + L_2[i] * d * d;

By finding the parabola at each point that meets the values for d being -1/2, 0, and 1/2, rather than using the derivatives at 0, you ensure a continuous approximation. You could also shift the x value, rather than the array index to deal with your negative x values.

Ced

=================================================

Followup:

The amount of effort, and the results, that have gone into finding good approximations is very impressive. I was curious as to how my boring and bland piecewise parabolic solution would compare. Not surprisingly, it does much better. Here are the results:

   Method    Minimum    Maximum     Mean       RMS
  --------   --------   --------   --------   --------
     Power   -8.48842    1.99861   -4.19436    5.27002
    OP S_3   -2.14675    0.00000   -1.20299    1.40854
     Bhask   -1.34370    1.63176   -0.14367    0.97353
     Ratio   -0.24337    0.22770   -0.00085    0.16244
     rbj 5   -0.06724    0.15519   -0.00672    0.04195
    Olli5C   -0.16367    0.20212    0.01003    0.12668
     Olli5   -0.26698    0.00000   -0.15177    0.16402
    Olli7C   -0.00213    0.00000   -0.00129    0.00143
     Olli7   -0.00005    0.00328    0.00149    0.00181
    Para16   -0.00921    0.00916   -0.00017    0.00467
    Para32   -0.00104    0.00104   -0.00001    0.00053
    Para64   -0.00012    0.00012   -0.00000    0.00006

The values represent 1000x the error between the approximation and the actual evaluated every .0001 from a scale of 0 to 1 (inclusive), so 10001 points in all. The scale is converted to evaluate the functions from 0 to $\pi/2$, except for Olli Niemitalo's equations which use the 0 to 1 scale. The columns values should be clear from the headers. The results don't change with a .001 spacing.

The "Power" line is the equation: $x-\frac{x^e}{6}$.

The rbj 5 line is the same as Matt L's c5 solution.

The 16, 32, and 64 are the number of intervals that have parabolic fits. Of course there are insignificant discontinuities in the first derivative at each interval boundary. The values of the function are continuous though. Increasing the number of intervals only increases the memory requirements (and initialization time), it does not increase the amount of calculation needed for the approximation, which is less than any of the other equations. I chose powers of two because a fixed point implementation could save a division by using an AND in such cases. Also, I didn't want the count to be commensurate with the test sampling.

I did run Olli Niemitalo's python program and got this as part of the printout: "Candidate solution 176 of 120" I thought that was odd, so I am mentioning it.

If anybody wants me to include any of the other equations, please let me know in the comments.

Here is the code for the piecewise parabolic approximations. The entire test program is too long to post.

#=============================================================================
def FillParab( argArray, argPieceCount ):

#  y = a d^2 + b d + c

#  ym = a .25 - b .5 + c
#  y  =                c
#  yp = a .25 + b .5 + c

#  c = y
#  b = yp - ym
#  a = ( yp + ym - 2y ) * 2

#---- Calculate Lookup Arrays

        theStep = pi * .5 / float( argPieceCount - 1 )
        theHalf = theStep * .5

        theL0 = zeros( argPieceCount )
        theL1 = zeros( argPieceCount )
        theL2 = zeros( argPieceCount )

        for k in range( 0, argPieceCount ):
         x  = float( k ) * theStep

         ym = sin( x - theHalf )
         y  = sin( x )
         yp = sin( x + theHalf )

         theL0[k] = y
         theL1[k] = yp - ym
         theL2[k] = ( yp + ym - 2.0 * y ) * 2

#---- Do the Fill

        theN = len( argArray )

        theFactor = pi * .5 / float( theN - 1 )

        for i in range( 0, theN ):
         x  = float( i ) * theFactor

         kx = x / theStep
         k  = int( kx + .5 )
         d  = kx - k

         argArray[i] = theL0[k] + ( theL1[k] + theL2[k] * d ) * d

#=============================================================================

=======================================

Appendum

I have included Guest's $S_3$ function from the original post as "OP S_3" and Guest's two parameter formula from the comments as "Ratio". Both are on the 0 to 1 scale. I don't think the Ratio one is suitable for either calculation at runtime or for building a lookup table. After all, it is significantly more computation for the CPU than just a plain sin() call. It is interesting mathematically though.