Batas turunan dari fungsi terbatas-band terbatas


8

Membiarkan f(t) menjadi fungsi dengan properti:

tRt is in realsf(t)R for all tf(t) is in reals|f(t)|<A for all tabsolute value of f(t) is bounded above by Af(t) eiωt dt=0 for all |ω|Bf(t) is band-limited by frequency B in radians

Diberikan A dan B, untuk apa batas atas yang ketat |f(t)|, nilai absolut turunan dari fungsi?

Tidak ada lagi yang akan dianggap f(t)dari apa yang telah dinyatakan di atas. Batas harus mengakomodasi ketidakpastian ini.

Untuk sinusoid amplitudo A dan frekuensi B, nilai absolut maksimum derivatif adalah AB.Saya ingin tahu apakah ini adalah batas atas, dan dalam hal ini juga batas atas yang ketat. Atau mungkin fungsi non-sinusoidal memiliki kemiringan yang lebih curam.


Apakah Anda memeriksa ini ?
Tendero

@Tendero terima kasih. Di sana, energi sinyal diketahui, daripada nilai absolut puncak seperti dalam pertanyaan saya.
Olli Niemitalo

1
Lihat jawaban saya untuk batasan yang Anda cari. Dikatakan Lebih umum, hasil karena Bernstein mengatakan bahwa jika frekuensi maksimum dalam generikx(t) dibatasi dalam [1,1] adalah f0, itu adalah, X(f)=0 untuk |f|>f0, kemudian
max|dxdt|2πf0.
Dilip Sarwate

1
Berdasarkan versi tajam dari ketidaksetaraan Bernstein, dari jawaban terkait Dilip, jawaban yang diedit MBaz dan literatur yang dikutip, ABmemang batas atas tajam (saya menyebutnya erat artinya sama) untuk nilai absolut maksimum turunan, sebuah sinusoid skala penuh tepat pada batas pita (tidak diizinkan secara ketat oleh batasan yang saya berikan) menjadikan ketidaksetaraan sebagai kesetaraan.
Olli Niemitalo

Jawaban:


4

Anda akan tertarik pada ketimpangan Bernstein, yang pertama kali saya pelajari di Lapidoth, A Foundation in Digital Communication (halaman 92).

Dengan sinyal yang berperilaku baik f(t) seperti yang Anda definisikan di atas (khususnya, f(t) dapat diintegrasikan dan dibatasi band BHz, dan sup|f(t)|=A), kemudian

|df(t)dt|2ABπ.

Perhatikan bahwa hasil asli Bernstein menetapkan batas 4ABπ; kemudian, ikatan itu diperketat2ABπ.


Saya telah menghabiskan waktu membaca "Seri Trigonometrik" Zygmund; yang akan saya katakan adalah itu adalah obat yang sempurna bagi mereka yang berpendapat bahwa mereka tahu trigonometri. Pemahaman penuh buktinya berada di luar kemampuan matematika saya, tapi saya pikir saya bisa menyoroti poin utama.

Pertama, apa yang disebut Zygmund ketidaksetaraan Bernstein adalah hasil yang lebih terbatas. Diberikan polinomial trigonometri

T(x)=ckejkx
(dengan nyata x), kemudian
maxx|T(x)|nmaxx|T(x)|
dengan ketimpangan yang ketat kecuali T adalah monomial Acos(nx+α).

Untuk menggeneralisasi ini, kita perlu hasil awal. Pertimbangkan suatu fungsiF itu ada di Eπ dan masuk L2. (Eσ adalah kelas fungsi integral tipe paling banyak σ- ini adalah salah satu tempat di mana matematika saya mulai berjumbai di tepi. Pemahaman saya adalah bahwa ini adalah cara matematis yang keras untuk menyatakan ituf=IFT{F} memiliki bandwidth σ.)

Untuk itu F kami memiliki formula interpolasi

F(z)=sin(πz)πF1(z),
dimana z kompleks dan
F1(z)=F(0)+F(0)π+n=(1)nF(n)(1zn+1n).
(Ini adalah teorema 7.19.)

Sekarang kita dapat menyatakan teorema utama. Jika:

  • F ada di Eσ dengan σ>0
  • F dibatasi pada sumbu nyata
  • M=sup|F(x)| nyata x

kemudian

|F(x)|σM
dengan kesetaraan mungkin iff F(z)=aejσz+bejσx untuk sewenang-wenang a,b. Kami mengira ituσ=π (kalau tidak kita ambil F(zπ/σ) dari pada F(z).)

Untuk membuktikan ini, kami menulis turunan dari F menggunakan rumus interpolasi di atas:

F(x)=F1(x)cos(πx)+sin(πx)πn=(1)nF(n)(xn)2.
Pengaturan x=1/2 kita mendapatkan
F(1/2)=4πn=(1)nF(n)(2n1)2
yang menyiratkan
|F(1/2)|4πn=1(2n1)2=4Mπ24π=Mπ.

Sekarang kita perlu sedikit trik yang bagus: Ambil yang sewenang-wenang x0 dan mendefinisikan G(z)=F(x0+z1/2). Kemudian,

|F(x0)|=|G(1/2)|Mπ.

(TODO: Tunjukkan bukti untuk kasus kesetaraan. Tentukan .)


1
@OlliNiemitalo Seperti yang ditunjukkan dalam jawaban MattL, sinusoid sin(2πBt) memiliki turunan maksimum 2πB. Ini memenuhi batas Bernstein, sebagaimana dinyatakan dalam jawaban saya di sini di dsp.SE (dikutip dalam komentar pada pertanyaan Anda) dan dalam jawaban saya pada matematika.SE yang Anda temukan, dengan kesetaraan.
Dilip Sarwate

1
@OlliNiemitalo Saya menemukan bukti yang diberikan oleh Pinksy di sini (saya harap tautannya berfungsi!). Dia pasti menggunakan4ABπ sebagai yang terikat, bukan 2ABπ.
MBaz

2
@MBaz Your link works indeed! At the end of the section 2.3.8 they say that the best known version of Bernstein's inequality has the factor 2 instead of 4, which is sharp, and that for details consult Zygmund (1959) Vol. 2, p. 276. I think that's Zygmund, A. Trigonometric series. 2nd ed. Vol. II. Cambridge University Press, New York 1959.
Olli Niemitalo

2
RP Boas, Some theorems on Fourier transforms and conjugate trigonometric integrals, Transactions of the American Mathematical Society 40 (2), 287-308, 1936 cites the relevant articles by Bernstein, Szegö, and Zygmund, already with the sharp bound, as far as I can tell.
Olli Niemitalo

2
@OlliNiemitalo Excellent! I had missed that note at the end of section 2.3.8. I'll update my answer. Also: that book by Zygmund is in my university's library, but it's not online. I'll take it out tomorrow and see what it says.
MBaz

2

In general you would get something like this, but it might not be tight:

|f(t)|=|12πjωF(jω)ejωtdω|12π|ω||F(jω)|dω=12πωcωc|ω||F(jω)|dω|ωc|2πωcωc|F(jω)|dω(1)=ωcπ0ωc|F(jω)|dω

The upper bound on |f(t)| is of course implicit in |F(jω)|.

For a sinusoid Asin(ωct), (1) gives Aωc as an upper bound, as expected.


@Olli Niemitalo , I had derived the sinusoid case I think this is the general case we were looking at. Thanks Matt L.
MimSaad
Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.