Anda akan tertarik pada ketimpangan Bernstein, yang pertama kali saya pelajari di Lapidoth, A Foundation in Digital Communication (halaman 92).
Dengan sinyal yang berperilaku baik f(t) seperti yang Anda definisikan di atas (khususnya, f(t) dapat diintegrasikan dan dibatasi band BHz, dan sup|f(t)|=A), kemudian ∣∣∣df(t)dt∣∣∣≤2ABπ.
Perhatikan bahwa hasil asli Bernstein menetapkan batas 4ABπ; kemudian, ikatan itu diperketat2ABπ.
Saya telah menghabiskan waktu membaca "Seri Trigonometrik" Zygmund; yang akan saya katakan adalah itu adalah obat yang sempurna bagi mereka yang berpendapat bahwa mereka tahu trigonometri. Pemahaman penuh buktinya berada di luar kemampuan matematika saya, tapi saya pikir saya bisa menyoroti poin utama.
Pertama, apa yang disebut Zygmund ketidaksetaraan Bernstein adalah hasil yang lebih terbatas. Diberikan polinomial trigonometriT(x)=∑−∞∞ckejkx
(dengan nyata x), kemudian maxx|T′(x)|≤nmaxx|T(x)|
dengan ketimpangan yang ketat kecuali T adalah monomial Acos(nx+α).
Untuk menggeneralisasi ini, kita perlu hasil awal. Pertimbangkan suatu fungsiF itu ada di Eπ dan masuk L2. (Eσ adalah kelas fungsi integral tipe paling banyak σ- ini adalah salah satu tempat di mana matematika saya mulai berjumbai di tepi. Pemahaman saya adalah bahwa ini adalah cara matematis yang keras untuk menyatakan ituf=IFT{F} memiliki bandwidth σ.)
Untuk itu F kami memiliki formula interpolasi F(z)=sin(πz)πF1(z),
dimana z kompleks dan F1(z)=F′(0)+F(0)π+∑n=−∞∞′(−1)nF(n)(1z−n+1n).
(Ini adalah teorema 7.19.)
Sekarang kita dapat menyatakan teorema utama. Jika:
- F ada di Eσ dengan σ>0
- F dibatasi pada sumbu nyata
- M=sup|F(x)| nyata x
kemudian |F′(x)|≤σM
dengan kesetaraan mungkin iff F(z)=aejσz+be−jσx untuk sewenang-wenang a,b. Kami mengira ituσ=π (kalau tidak kita ambil F(zπ/σ) dari pada F(z).)
Untuk membuktikan ini, kami menulis turunan dari F menggunakan rumus interpolasi di atas: F′(x)=F1(x)cos(πx)+sin(πx)π∑n=−∞∞(−1)nF(n)(x−n)2.
Pengaturan x=1/2 kita mendapatkan F′(1/2)=4π∑n=−∞∞(−1)nF(n)(2n−1)2
yang menyiratkan |F′(1/2)|≤4π∑n=−∞∞1(2n−1)2=4Mπ24π=Mπ.
Sekarang kita perlu sedikit trik yang bagus: Ambil yang sewenang-wenang x0 dan mendefinisikan G(z)=F(x0+z−1/2). Kemudian,|F′(x0)|=|G′(1/2)|≤Mπ.
(TODO: Tunjukkan bukti untuk kasus kesetaraan. Tentukan ∑′.)