Apa yang dimaksud dengan “respons impuls” sistem dan “respons frekuensi?”

Adakah yang bisa menyatakan perbedaan antara respons frekuensi dan respons impuls dalam bahasa Inggris sederhana?

The respon impuls dan respon frekuensi adalah dua atribut yang berguna untuk mencirikan linear (LTI) waktu-invariant sistem. Mereka menyediakan dua cara berbeda untuk menghitung apa output sistem LTI untuk sinyal input yang diberikan. Sistem LTI waktu kontinu biasanya diilustrasikan seperti ini:

Secara umum, sistem memetakan sinyal input ke sinyal output yang sesuai . Ada banyak jenis sistem LTI yang dapat menerapkan transformasi yang sangat berbeda pada sinyal yang melewatinya. Tetapi, mereka semua memiliki dua karakteristik utama:$H$$x(t)$$y(t)$

• Sistem ini linear , sehingga mematuhi prinsip superposisi . Sederhananya, jika Anda menggabungkan dua sinyal secara linear dan memasukkannya ke sistem, outputnya adalah kombinasi linear yang sama dari apa yang akan dihasilkan jika seandainya sinyal-sinyal tersebut dilewati secara terpisah. Yaitu, jika memetakan ke output dari dan memetakan ke output dari , maka untuk semua nilai dan ,$x_1(t)$$y_1(t)$$x_2(t)$$y_2(t)$$a_1$$a_2$

$$H\{a_1 x_1(t) + a_2 x_2(t)\} = a_1 y_1(t) + a_2 y_2(t)$$

• Sistem ini invarian waktu , jadi karakteristiknya tidak berubah seiring waktu. Jika Anda menambahkan penundaan ke sinyal input, maka Anda cukup menambahkan penundaan yang sama ke output. Untuk sinyal input yang memetakan ke sinyal output , maka untuk semua nilai ,$x(t)$$y(t)$$\tau$

$$H\{x(t - \tau)\} = y(t - \tau)$$

Sistem LTI waktu diskrit memiliki sifat yang sama; notasi berbeda karena perbedaan diskrit-versus-kontinyu, tetapi mereka sangat mirip. Karakteristik ini memungkinkan pengoperasian sistem untuk secara langsung dicirikan menggunakan respons impuls dan frekuensinya. Mereka memberikan dua perspektif tentang sistem yang dapat digunakan dalam konteks yang berbeda.

Respon Impuls:

The impuls yang disebut dalam jangka respon impuls umumnya merupakan durasi pendek sinyal waktu-domain. Untuk sistem waktu kontinu, ini adalah fungsi delta Dirac , sedangkan untuk sistem waktu diskrit, fungsi delta Kronecker biasanya digunakan. Respons impuls suatu sistem (sering dianotasi sebagai untuk sistem waktu kontinu atau untuk sistem waktu diskrit) didefinisikan sebagai sinyal keluaran yang dihasilkan ketika impuls diterapkan pada input sistem.$\delta(t)$ $\delta[n]$$h(t)$$h[n]$

Mengapa ini berguna? Hal ini memungkinkan kami untuk memprediksi seperti apa output sistem dalam domain waktu. Ingat properti linearitas dan invarian-waktu yang disebutkan di atas? Jika kita dapat mendekomposisi sinyal input sistem menjadi sejumlah komponen, maka output sama dengan jumlah output sistem untuk masing-masing komponen tersebut. Bagaimana jika kita bisa mendekomposisi sinyal input kita menjadi sejumlah impuls yang diskalakan dan berubah waktu? Kemudian, output akan sama dengan jumlah salinan respon impuls, diskalakan dan digeser waktu dengan cara yang sama.

Untuk sistem waktu diskrit, ini dimungkinkan, karena Anda dapat menulis sinyal apa pun sebagai jumlah dari fungsi delta Kronecker yang diskalakan dan diubah waktu:$x[n]$

$$x[n] = \sum_{k=0}^{\infty} x[k] \delta[n - k]$$

Setiap istilah dalam jumlah adalah impuls yang diskalakan dengan nilai pada saat itu juga instan. Apa yang akan kita dapatkan jika kita melewati melalui sistem LTI untuk menghasilkan ? Sederhana: setiap impuls yang diskalakan dan tertunda waktu yang kami hasilkan menghasilkan salinan impuls yang diskalakan dan tertunda waktu pada keluaran. Itu adalah:$x[n]$$x[n]$$y[n]$

$$y[n] = \sum_{k=0}^{\infty} x[k] h[n-k]$$

di mana adalah respons impuls sistem. Persamaan di atas adalah teorema konvolusi untuk sistem LTI waktu diskrit. Yaitu, untuk setiap sinyal yang merupakan input ke sistem LTI, output sistem sama dengan konvolusi diskrit dari sinyal input dan respons impuls sistem.$h[n]$$x[n]$$y[n]$

Untuk sistem waktu kontinu, dekomposisi langsung di atas tidak mungkin dalam arti matematis yang ketat (delta Dirac memiliki lebar nol dan tinggi tak terbatas), tetapi pada tingkat teknik, ini merupakan cara perkiraan dan intuitif untuk melihat masalah. Teorema konvolusi serupa berlaku untuk sistem ini:

$$y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) h(t - \tau) d\tau$$

di mana, sekali lagi, adalah respons impuls sistem. Ada sejumlah cara untuk menurunkan hubungan ini (saya pikir Anda bisa membuat argumen yang sama seperti di atas dengan mengklaim bahwa fungsi Dirac delta setiap saat bergeser menjadi dasar ortogonal untuk ruang Hilbert, mencatat bahwa Anda dapat menggunakan properti penyaringan fungsi delta untuk memproyeksikan fungsi apa pun di ke dasar itu, oleh karena itu memungkinkan Anda untuk mengekspresikan output sistem dalam hal output yang terkait dengan basis (yaitu respons impuls waktu-bergeser), tapi saya bukan ahli matematika berlisensi, jadi saya akan mengesampingkan itu). Salah satu metode yang hanya bergantung pada properti sistem LTI tersebut ditunjukkan di sini .$h(t)$$L^2$$L^2$

Singkatnya: Untuk sistem waktu diskrit dan kontinu, respons impuls berguna karena memungkinkan kita menghitung output sistem ini untuk sinyal input apa pun; output hanyalah sinyal input yang dililit dengan fungsi respon impuls.

Respon frekuensi:

Respons frekuensi sistem LTI menyediakan fungsi serupa: memungkinkan Anda untuk menghitung efek yang akan dimiliki sistem pada sinyal input, kecuali efek-efek tersebut diilustrasikan dalam domain frekuensi . Ingat definisi transformasi Fourier :

$$X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j 2 \pi ft} dt$$

Lebih penting lagi demi ilustrasi ini, lihat kebalikannya:

$$x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} X(f) e^{j 2 \pi ft} df$$

Intinya, hubungan ini memberi tahu kita bahwa sinyal domain waktu dapat dipecah menjadi kombinasi linear dari banyak fungsi eksponensial kompleks pada frekuensi yang berbeda-beda (ada hubungan analog untuk sinyal waktu diskrit yang disebut Fourier waktu diskrit) transform ; Saya hanya menangani kasus waktu kontinu di bawah ini untuk kesederhanaan). Untuk sinyal domain waktu , transformasi Fourier menghasilkan fungsi sesuai yang menentukan, untuk setiap frekuensi , faktor penskalaan untuk diterapkan pada eksponensial kompleks pada frekuensi$x(t)$$x(t)$$X(f)$$f$$f$dalam kombinasi linier tersebut. Faktor-faktor penskalaan ini, secara umum, bilangan kompleks. Salah satu cara melihat bilangan kompleks adalah dalam format amplitudo / fase, yaitu:

$$X(f) = A(f) e^{j \phi(f)}$$

Melihatnya dengan cara ini, maka, dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari banyak fungsi eksponensial kompleks, masing-masing diskalakan dalam amplitudo oleh fungsi dan digeser dalam fase oleh fungsi . Ini sejalan dengan properti sistem LTI yang telah kita bahas sebelumnya; jika kita dapat mendekomposisi sinyal input menjadi kombinasi linier dari banyak fungsi eksponensial kompleks, maka kita dapat menuliskan output sistem sebagai kombinasi linear yang sama dari respons sistem terhadap fungsi eksponensial kompleks tersebut.$x(t)$$A(f)$$\phi(f)$$x(t)$

Di sinilah menjadi lebih baik: fungsi eksponensial adalah fungsi eigen dari sistem linear time-invariant. Idenya adalah, mirip dengan vektor eigen dalam aljabar linier, jika Anda meletakkan fungsi eksponensial ke dalam sistem LTI, Anda mendapatkan fungsi eksponensial yang sama, diskalakan dengan nilai (umumnya kompleks). Ini memiliki efek mengubah amplitudo dan fase fungsi eksponensial yang Anda masukkan.

Ini sangat berguna ketika dikombinasikan dengan dekomposisi berbasis Fourier-transform yang dibahas di atas. Seperti yang kami katakan sebelumnya, kita dapat menulis sinyal sebagai kombinasi linear dari banyak fungsi eksponensial kompleks pada frekuensi yang berbeda-beda. Jika kita memasukkan ke sistem LTI, maka (karena eksponensial itu adalah fungsi eigen dari sistem), output berisi eksponensial kompleks pada frekuensi yang sama, hanya diskalakan dalam amplitudo dan digeser dalam fase. Efek-efek ini pada amplitudo dan fase eksponensial, sebagai fungsi frekuensi, adalah respons frekuensi sistem . Yaitu, untuk sinyal input dengan transformasi Fourier dilewatkan ke sistem untuk menghasilkan output dengan transformasi Fourier$x(t)$$x(t)$$X(f)$$H$$Y(f)$,

$$Y(f) = H(f) X(f) = A(f) e^{j \phi(f)} X(f)$$

Ringkasnya: Jadi, jika kita mengetahui respons frekuensi sistem dan transformasi Fourier dari sinyal yang kita masukkan ke dalamnya , maka mudah untuk menghitung transformasi Fourier dari output sistem; ini hanyalah produk dari respons frekuensi dan transformasi sinyal input. Untuk setiap frekuensi eksponensial kompleks yang ada dalam spektrum , sistem memiliki efek penskalaan bahwa eksponensial dalam amplitudo oleh dan menggeser eksponensial dalam fase oleh radian .X ( f ) X ( f ) A ( f ) ϕ ( f $H(f)$$X(f)$$X(f)$$A(f)$$\phi(f)$

Menyatukan mereka:

Respons impuls sistem LTI dan respons frekuensi sangat erat terkait. Respons frekuensi hanyalah transformasi Fourier dari respons impuls sistem (untuk melihat mengapa hubungan ini berlaku, lihat jawaban untuk pertanyaan lain ini ). Jadi, untuk sistem waktu kontinu:

$$H(f) = \int_{-\infty}^{\infty} h(t) e^{-j 2 \pi ft} dt$$

Jadi, mengingat respons impuls sistem atau respons frekuensinya, Anda dapat menghitung yang lain. Salah satunya cukup untuk sepenuhnya mencirikan perilaku sistem; respons impuls berguna ketika beroperasi dalam domain waktu dan respons frekuensi berguna ketika menganalisis perilaku dalam domain frekuensi.

Gedor sesuatu dengan tajam sekali dan plot responsnya dalam domain waktu (seperti dengan osiloskop atau plotter pena). Itu akan dekat dengan respons impuls.

Dapatkan generator nada dan getar sesuatu dengan frekuensi yang berbeda. Beberapa frekuensi resonansi itu akan menguatkan. Lainnya mungkin tidak merespons sama sekali. Plot ukuran dan fase respons versus frekuensi input. Itu akan dekat dengan respons frekuensi.

Untuk kelas umum sistem tertentu (di mana sistem tidak banyak berubah dari waktu ke waktu, dan non-linearitas cukup kecil untuk diabaikan untuk tujuan yang dihadapi), kedua respons terkait, dan transformasi Laplace atau Fourier mungkin berlaku untuk memperkirakan hubungan.

Respons impuls adalah respons suatu sistem terhadap satu pulsa dengan durasi yang sangat kecil dan energi satuan (pulsa Dirac). Respons frekuensi menunjukkan seberapa besar setiap frekuensi dilemahkan atau diperkuat oleh sistem.

Respons frekuensi suatu sistem adalah respons impuls yang ditransformasikan ke domain frekuensi. Jika Anda memiliki respons impuls, Anda dapat menggunakan FFT untuk menemukan respons frekuensi, dan Anda dapat menggunakan FFT terbalik untuk beralih dari respons frekuensi ke respons impuls.

Singkatnya, kami memiliki dua jenis respons dasar: respons waktu dan respons frekuensi . Respons waktu menguji bagaimana sistem bekerja dengan gangguan sesaat sementara respons frekuensi mengujinya dengan gangguan terus menerus. Respons waktu berisi hal-hal seperti respons langkah, respons ramp, dan respons impuls . Respons frekuensi mengandung respons sinusoidal .

Aalto University memiliki beberapa materi Mat-2.4129 saja secara gratis di sini , mungkin yang paling relevan adalah file Matlab karena sebagian besar barang dalam bahasa Finlandia. Jika Anda lebih tertarik, Anda dapat memeriksa video di bawah ini untuk video pengantar. Saya menemukan mereka membantu saya sendiri.

Saya hanya memiliki pengetahuan yang sangat mendasar tentang masalah LTI jadi saya akan membahasnya di bawah ini - tetapi pasti ada lebih banyak jenis masalah yang berbeda!

Respons dengan masalah waktu-invarian Linear

Dengan masalah LTI (linear time-invariant), input dan output harus memiliki bentuk yang sama: input sinusoidal memiliki output sinusoidal dan sama-sama memasukkan hasil input ke dalam output step. Jika Anda tidak memiliki sistem LTI - katakanlah Anda memiliki umpan balik atau kontrol / kebisingan dan input berkorelasi - maka semua pernyataan di atas mungkin salah. Dengan LTI, Anda akan mendapatkan dua jenis perubahan: perubahan fase dan perubahan amplitudo tetapi frekuensinya tetap sama. Jika Anda melanggar beberapa asumsi katakanlah dengan asumsi non-korelasi, maka input dan output mungkin memiliki bentuk yang sangat berbeda.

Jika Anda perlu menyelidiki apakah suatu sistem LTI atau tidak, Anda bisa menggunakan alat seperti persamaan Wiener-Hopf dan analisis korelasi. Persamaan Wiener-Hopf digunakan dengan sistem bising. Sangat penting untuk memvalidasi hasil dan memverifikasi tempat, jika tidak mudah membuat kesalahan dengan tanggapan yang berbeda. Lebih lanjut tentang menentukan respons impuls dengan sistem berisik di sini .

Referensi

1. Artikel Wikipedia tentang LTI di sini

2. Video pengantar yang sangat bagus tentang berbagai respons di sini dan di sini - beberapa poin utama di bawah ini.