Pilihan konvensi dan notasi untuk transformasi Fourier?

Definisi transformasi Fourier dan transformasi Fourier terbalik yang saya pelajari di perguruan tinggi adalah

F (j ω) = \int_{- \infty}^{\infty} f (t) e^{- j ω t} d t

$F(j\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j\omega t}\ dt$

f (t) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} F (j ω) e^{j ω t} d ω

$f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(j\omega)e^{j\omega t} d\omega$

Karakteristik yang menonjol dari konvensi ini adalah

Transformasi non-kesatuan; unit domain frekuensi adalah radian (variabelnya adalah ) $\omega$
Unit "Domain-waktu" ada dalam waktu (variabel ) $t$
Transformasi fungsi dilambangkan dengan huruf kapital ( vs ) $F$ $f$
The di ketat menandakan bahwa fungsi adalah Transformasi Fourier $j$ $F(j\omega)$
Dan tentu saja, konvensi EE biasa yaitu . $j=\sqrt{-1}$

Saat ini saya menggunakan konvensi yang jauh berbeda, pada dasarnya yang digunakan pada wikipedias :

\hat{f} (ξ) = \int_{- \infty}^{\infty} f (x) e^{- j 2 π ξ x} d x

$\hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-j2\pi\xi x}dx$

f (x) = \int_{- \infty}^{\infty} \hat{f} (ξ) e^{j 2 π ξ x} d ξ

$f(x) = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\xi) e^{j2\pi\xi x} d\xi$ Karakteristik dari konvensi ini adalah

Transformasi kesatuan; unit domain frekuensi adalah frekuensi yang dinormalisasi (variabelnya ) $\xi$
Unit "Domain-waktu" tidak memiliki unit (variabelnya ) $x$
Fungsi mengubah topi pakai ( vs ) $\hat{f}$ $f$
Variabel dalam alfabet Yunani menunjukkan variabel yang diubah dalam alfabet Latin ( vs ) $\xi$ $x$

Saya sangat suka konvensi ini karena beberapa alasan.

Menggunakan konvensi kesatuan akan sangat meningkatkan simetri dan kejelasan dari Fourier duals: bandingkan
- $\mathrm{rect}(x)\leftrightarrow\mathrm{sinc}(\xi)$ ,
- $\mathrm{sinc}(x)\leftrightarrow\mathrm{rect}(\xi)$ ke
- $\mathrm{rect}(t)\leftrightarrow\mathrm{sinc}(\frac{\omega}{2\pi})$ ,
- $\mathrm{sinc}(t)\leftrightarrow\mathrm{rect}(\frac{\omega}{2\pi})$ .
Menggunakan alih-alih untuk variabel "domain waktu" menjadikan persamaan lebih agnostik dari domain masalah seseorang. Ini membuatnya lebih mudah untuk dianalogikan tentang konsep pemrosesan gambar 2D dalam hal konsep pemrosesan sinyal 1D, tanpa disonansi kognitif menggunakan sebagai variabel yang mewakili jarak , atau harus mengubah variabel sekitar ketika berpindah dari satu domain ke domain lainnya. $x$ $t$ $t$
Saya menemukan huruf kapital lebih berguna untuk menunjukkan variabel / fungsi bernilai diskrit daripada untuk mewakili fungsi yang diubah.
Menggunakan topi lebih jelas menunjukkan transformasi Fourier sebagai operator yang diterapkan ke , di mana fungsi yang dihasilkan menerima parameter domain frekuensi . Bandingkan ini dengan yang jauh lebih canggung , cara "tradisional" yang saya pelajari di perguruan tinggi untuk menunjukkan transformasi Fourier sebagai operator, yang sepertinya terlalu membingungkan bagi saya pada saat itu ( vs vs dll.) $f$ $\xi$ $\mathcal{F}\{f\}$ $\mathcal{F}{f(t)}$ $\mathcal{F}\{f\}(t)$ $\mathcal{F}\{f\}(\omega)$
Saya biasanya menemukan bahwa melakukan analisis pemrosesan sinyal dengan radian hanya ditaburi lebih banyak s sekitar daripada saya merasa perlu. Menggunakan unit frekuensi yang dinormalisasi jauh lebih masuk akal bagi saya, terutama ketika bekerja melalui masalah yang melibatkan teori sampling. $\pi$

Tentu saja, akan sangat sia-sia bagi saya untuk menganggap pilihan konvensi saya lebih unggul daripada yang digunakan oleh orang lain. Tetapi saya kesulitan menemukan alasan yang bagus untuk lebih menyukai kebaktian yang awalnya saya pelajari di perguruan tinggi (yaitu, alasan yang tidak melibatkan tradisi).

Saat ini, saya dapat memikirkan satu alasan yang layak untuk memilih konvensi "tradisional": Menggunakan transformasi non-kesatuan, dan notasi parameter , sangat meningkatkan konsistensi notaional dengan transformasi Laplace . Juga, topi mungkin lebih mudah hilang / membingungkan daripada huruf kapital. $F(j\omega)$

Adakah yang bisa memikirkan alasan lain untuk lebih menyukai konvensi "tradisional" (non-kesatuan)? Apakah konvensi "tradisional" ini sama dengan apa yang Anda pelajari pada kursus pemrosesan sinyal (jika Anda mengambilnya)? Kebaktian mana yang Anda sukai?

fourier-transform frequency

— rtollert
sumber

Pertanyaan yang meminta pendapat pribadi tidak terlalu konstruktif untuk situs ini. Jawabannya adalah bahwa tidak masalah apa konvensi Anda, selama Anda mendefinisikannya dengan benar, menggunakannya secara konsisten dan dalam banyak kasus, tetap menggunakan notasi umum yang digunakan di bidang Anda. Yang penting adalah untuk tidak menciptakan notasi baru yang gila untuk sengaja tumpul. Saya tidak yakin bagaimana preferensi dan pendapat pribadi berguna dalam semua ini ...

— Lorem Ipsum

Saya dapat memahami keinginan untuk menghindari opini belaka, tetapi saya pikir ada pertanyaan yang sah mengapa konvensi tradisional itu seperti apa adanya: kecil kemungkinannya mereka didefinisikan hanya sebagai kecelakaan historis. Saya akan bersedia untuk menulis ulang pertanyaan ini untuk menghindari meminta pendapat, dan untuk fokus pada pertanyaan tentang bagaimana keputusan konvensi / notasi dalam literatur pemrosesan sinyal muncul di tempat pertama.

— rtollert

Anda lupa mengganti semua 2π dengan τ . : D

— endolith

@endolith Kau mengalahkanku untuk itu :)

— datageist

Satu tempat di mana bentuk kesatuan sering digunakan adalah dalam buku teks komunikasi. Insinyur komunikasi seperti Hertz, jadi mentransformasikan ke lebih intuitif daripada ke .

x (t)

$x(t)$

X (f)

$X(f)$

X (ω)

$X(\omega)$

— Jason R

Pilihan konvensi harus menjadi yang paling tepat (atau familier) untuk audiens yang ingin Anda ajak berkomunikasi.

— hotpaw2
sumber

Satu hal tentang menggunakan x (t) untuk suatu sinyal adalah paralelnya

$y = x^2$

dan

$y(t) = x(t)^2$

di mana x masih merupakan input dan y masih merupakan output, hanya dalam hal ini mereka sinyal bukan angka.

— endolit
sumber