Apa teknik aproksimasi yang ada untuk fungsi super-root kuadrat?

Saya perlu menerapkan pendekatan ke kebalikan dari , yaitu fungsi kuadrat super root (ssrt). Misalnya, berarti bahwa . Saya tidak tertarik pada akurasi / bit-kedalaman tertentu karena saya memahami apa pilihan saya berbeda dengan pendekatan yang lebih mudah menggunakan seri daya. $x^x$ $\mathrm{ssrt}(2) \approx 1.56$ $1.56^{1.56} \approx 2$

Wolfram Alpha memberikan solusi simbolik yang bagus dalam hal fungsi Lambert W (yaitu ). Wikipedia memberikan rumus yang sama , serta persamaan . Mengingat ada cukup banyak informasi tentang komputasi [1] [2], secara teknis itu semua yang diperlukan untuk mengimplementasikan sesuatu $\ln(x)/W(\ln(x))$ $e^{W(\ln(x))}$ $W(x)$ untuk berbagai persyaratan. Aku tahu setidaknya dua buku yang masuk ke detail luas tentang mendekati [3] [4], sehingga bahkan ada banyak ruang untuk mengoptimalkan dari arah itu. $\ln(x)$

Namun, saya punya dua pertanyaan:

Sudahkah teknik pendekatan khusus untuk fungsi ini dipublikasikan di mana saja?
Apakah itu pergi dengan nama lain selain "kuadrat-root" yang akan membuat mencari referensi sedikit lebih mudah?

Wikipedia / Google telah muncul beberapa referensi yang didedikasikan untuk lebih umum "tetration" fungsi yang meliputi sebagai kasus khusus, tetapi kebanyakan dari mereka tampaknya akan lebih diarahkan untuk menjelajahi / mendefinisikan kasus umum. $\mathrm{ssrt}(x)$

Tanpa biji, R .; Gonnet, G.; Hare, D .; Jeffrey, D .; Knuth, Donald (1996), "Pada fungsi Lambert W" http://www.apmaths.uwo.ca/~djeffrey/Offprints/W-adv-cm.pdf
Perpustakaan Digital Fungsi Matematika . http://dlmf.nist.gov/4.13
Crenshaw, Jack W. (2000), Toolkit Matematika untuk Pemrograman Real-Time.
Hart, John F. (1978), Perkiraan Komputer.
Chapeau-Blondeau, F. dan Monir, A. (2002). Evaluasi numerik fungsi Lambert W dan aplikasi untuk menghasilkan derau Gaussian umum dengan eksponen 1/2. Transaksi IEEE pada Pemrosesan Sinyal 50, 2160-2165. http://www.istia.univ-angers.fr/~chapeau/papers/lambertw.pdf
Minero, Paul. Cepat perkiraan Lambert W . http://www.machinedlearnings.com/2011/07/fast-approximate-lambert-w.html

Memperbarui

Setelah melakukan penelitian lebih lanjut dalam beberapa hari terakhir, saya masih belum menemukan jenis hands-on "Crenshaw gaya" pengobatan aku berharap untuk, tapi aku menemukan baru referensi layak didokumentasikan di sini. Pada halaman tiga dalam , ada bagian berjudul "Aproksimasi Cepat" yang menjelaskan secara detail tentang aproksimasi dalam konteks menghasilkan derau. Sebagai tambahan yang menarik, kepadatan probabilitas "Gaussian noise dengan eksponen 1/2" [di koran] terlihat sangat mirip dengan histogram dalam jawaban Kellenjb untuk $[3]$ $\mathrm{ssrt}(x)$ $[5]$ $W(x)$ pertanyaan ini tentang mendeteksi kliping sinyal .

Selain itu, tautan yang diberikan oleh rwong dalam komentar adalah sumber yang bagus untuk benar-benar mengimplementasikan , dan bahkan tautan ke proyek berlisensi BSD penulis yang disebut fastapprox , yang mencakup implementasi yang dijelaskan. $[6]$ $W(x)$

approximation

— datageist
sumber

machinedlearnings.com/2011/07/fast-approximate-lambert-w.html

— rwong

Saya bertanya tentang ini di Meta, karena bidang komentar tidak dimaksudkan untuk diskusi panjang. Tolong sarankan bagaimana kita harus menangani pertanyaan-pertanyaan ini di sini: Apakah pertanyaan tentang analisis numerik sesuai topik?

@datageist - Kesimpulan awal dari pertanyaan meta adalah bahwa jika Anda ingin menggunakan analisis numerik ini untuk memproses data DSP, maka itu sesuai topik. Jika tidak, maka tidak. Bagaimana hubungannya dengan DSP?

— Kevin Vermeer

@Kevin Itu muncul dalam konteks mengembangkan efek audio.

— datageist

Setiap kali saya perlu menulis rutin untuk fungsi Lambert, saya biasanya menggunakan perkiraan yang diberikan dalam makalah ini dan kemudian memolesnya dengan Newton-Raphson, Halley, atau metode iteratif lainnya. Anda dapat mengadaptasi pendekatan ini untuk membalik

...

x^{x}

$x^x$

Beberapa penusukan numerik dalam gelap menghasilkan yang berikut untuk pendekatan berulang:

Kami sedang mencari solusi y = f (x) di mana y ^ y = x.

y dalam y = dalam x

$y \ln y = \ln x$

y = g (x, y) = e^{\frac{dalam x}{y}}

$y = g(x,y) = e^{\frac{\ln x}{y}}$

Nilai untuk adalah titik tetap dari persamaan di atas, dan secara empiris tampaknya konvergen untuk beberapa nilai , tetapi untuk nilai lebih besar berosilasi atau menyimpang. $y$ $x$ $x$

Lalu saya mencoba pendekatan yang mirip dengan iterative square-root Newton:

y = \frac{y_{hal r e v saya Hai kamu s} + y_{*}}{2} = \frac{y + e^{\frac{dalam x}{y}}}{2}

$y = \frac{y_{previous} + y_{*}}{2} = \frac{y + e^{\frac{\ln x}{y}}}{2}$

di mana y * seharusnya mewakili jawaban yang tidak konvergen tetapi optimis yang menjaga akurasi jika Anda menebak nilai awal yang akurat (dalam akar kuadrat y ² = x, itu y * = x / y).

$x$ $x_{min} = (\frac{1}{e})^{\frac{1}{e}}$

$y_0 = \ln(x)+1$

Jadi saya pikir mungkin ada solusi konvergen yang lebih baik:

$y = (1-a) \times y + a \times g(x,y)$ $a$ $x$

Kemudian saya menemukan sesuatu yang menarik.

$y$ $y^y = x$ $y_2 = g(x,y+ \epsilon) = e^{\frac{\ln(x)}{y+\epsilon}}$ $y_2-y$ $\epsilon \times (-\ln(y))$ $y_1 = y + \epsilon$ $\epsilon$ $y_2 = g(x,y_1)$ $(y_2 - y) \approx \epsilon \times (-\ln(y)) = (y_1 - y) \times (-\ln(y))$

$y$ $y = \dfrac{y_2 + \ln(y) \times y_1}{1 + \ln(y)}$ $\ln(y_1)$ $\ln(y)$

\begin{aligned} y [n + 1] & = \frac{g (x, y [n]) + dalam (y [n]) \times y [n]}{1 + dalam (y [n])} \\ = \frac{e^{\frac{dalam (x)}{y [n]}} + dalam (y [n]) \times y [n]}{1 + dalam (y [n])} \end{aligned}

$\begin{align*} y[n+1] &= \frac{g(x,y[n]) + \ln(y[n])\times y[n]}{1+\ln(y[n])}\\ &= \frac{e^{\frac{\ln(x)}{y[n]}} + \ln(y[n])\times y[n]}{1+\ln(y[n])} \end{align*}$

$y = 1+\ln(x)$

(Seseorang mungkin bisa menunjukkan bahwa ini setara dengan Newton-Raphson dalam beberapa hal, tapi saya pikir itu di luar kemampuan saya.)

— Jason S
sumber