Mengapa transformasi bilinear manual ini menghasilkan hasil yang berbeda dari Matlab?

10

Saya mendapat filter Butterworth orde pertama dengan frekuensi cutoff . Fungsi transfernya kemudian $\omega_c$

H (s) = \frac{ω_{c}}{s + ω_{c}}

$H(s) = \frac{\omega_c}{s+\omega_c}$

Menggunakan transformasi bilinear untuk menemukan (apa fungsi itu disebut?), Saya dapatkan $H(z)$

H (z) = \frac{ω_{c}}{\frac{2}{T} \frac{z - 1}{z + 1} + ω_{c}} = \frac{ω_{c} z + ω_{c}}{(\frac{2}{T} + ω_{c}) z + ω_{c} - \frac{2}{T}}

$H(z)=\frac{\omega_c}{\frac{2}{T}\frac{z-1}{z+1} + \omega_c} = \frac{\omega_c z + \omega_c}{\left(\frac{2}{T}+\omega_c\right)z + \omega_c-\frac{2}{T}}$

Namun, saya tidak bisa merekonsiliasi hasil ini dengan apa yang dilakukan Matlab. Tampaknya salah, tidak peduli apa nilai . Saya berasumsi bahwa dan di bawah ini adalah koefisien . $T$ BA $H(z)$

>> [B,A] = butter(1,0.5)
B = 0.5000    0.5000
A = 1.0000   -0.0000
>> [B,A] = butter(1,0.6)
B = 0.5792    0.5792
A = 1.0000    0.1584
>> [B,A] = butter(1,0.7)
B = 0.6625    0.6625
A = 1.0000    0.3249
>> [B,A] = butter(1,0.8)
B = 0.7548    0.7548
A = 1.0000    0.5095

Apa yang saya salah pahami?

filters matlab

— Andreas
sumber

MATLAB tidak menggunakan konversi analog ke digital. Ini mendesain filter secara digital, oleh karena itu ide transformasi bilinear mungkin tidak berlaku.

— Phonon

1

@ Phonon: Jawaban ini tampaknya menunjukkan bahwa Matlab menggunakan transformasi bilinear dalam beberapa cara.

— Andreas

Terlambat ke permainan di sini tetapi semua fungsi huruf besar H dari z / s / \ omega biasanya disebut fungsi transfer. Ketika argumennya waktu atau sampel, itu disebut respon impuls dan biasanya lebih rendah, h. Jadi fungsi transfer adalah transformasi (Z, Fourier, Laplace tergantung aplikasi) dari respon impuls.

— Emanuel Landeholm

10

Beberapa hal:

Sebelum melakukan substitusi $s = \frac{2}{T} \frac{z-1}{z+1}$

ω_{c, w} = \frac{2}{T} \tan (ω_{c} \frac{T}{2})

$\omega_{c,w} = \frac{2}{T} \tan (\omega_c\frac{T}{2})$

$\omega_{c,w}$ $z$ $\pm \pi$

butter $T$ $(0,1)$

ω_{n} = \frac{ω_{c}}{2 π \frac{f_{s}}{2}}

$\omega_n = \frac{\omega_c}{2 \pi \frac{f_s}{2}}$

ω_{n} = \frac{ω_{c}}{π f_{s}}

$\omega_n = \frac{\omega_c}{\pi f_s}$

ω_{n} = \frac{ω_{c} T}{π}

$\omega_n = \frac{\omega_c T}{\pi}$

— Jason R
sumber

ω_{c}

$\omega_c$

o m e g a_{c}, w

$omega_c,w$

H (z)

$H(z)$

H (s)

$H(s)$

H (s)

$H(s)$

s

$s$

z

$z$

5

Saat membuka kode untuk butterfungsi MATLAB , kita melihat bahwa ia menggunakan frekuensi pra-pembengkokan :

%# step 1: get analog, pre-warped frequencies
if ~analog,
    fs = 2;
    u = 2*fs*tan(pi*Wn/fs);
else
    u = Wn;
end

— Phonon
sumber