Bagaimana Mengurangi Respon Impuls Sistem Linear dari Seperangkat Sinyal Input dan Output?

Saya ingin tahu bagaimana menyelesaikan masalah-masalah itu .. apakah dengan inspeksi?

Pertimbangkan sistem linier di bawah ini. Ketika input ke sistem , dan , respons dari sistem adalah , dan seperti yang ditunjukkan. $x_1[n]$ $x_2[n]$ $x_3[n]$ $y_1[n]$ $y_2[n]$ $y_3[n]$

masukkan deskripsi gambar di sini

Tentukan apakah sistem itu invarian waktu atau tidak. Hanya jawaban anda
Apa tanggapan impuls?

EDIT: Dengan asumsi kasus umum di mana input yang diberikan tidak mengandung impuls skala seperti $x_2[n]$

— Belbesy
sumber

Petunjuk: Gunakan dan untuk menentukan seperti apa respons impuls (karena hanyalah impuls skala). Itu memberi Anda jawaban untuk bagian (b). Kemudian, periksa dua kasus lainnya untuk melihat apakah input / output konsisten dengan respons impuls (menggunakan properti superposisi sistem linear) untuk mendapatkan jawaban untuk bagian (a).

x_{2} [n]

$x_2[n]$

y_{2} [n]

$y_2[n]$

T

$T$

x_{2} [n]

$x_2[n]$

— Jason R

Itu masalah yang lebih sulit dalam kasus umum. Jika semuanya pendek seperti ini, Anda tahu batas atas pada durasi respons impuls, dan Anda memiliki cukup pasangan input / output, maka Anda dapat mengatur sistem persamaan linear yang dapat Anda selesaikan untuk sampai pada impuls yang tidak diketahui nilai respons.

— Jason R

Dalam kasus umum itu juga sangat mungkin bahwa tidak ada solusi FIR atau tidak ada solusi sama sekali. Petunjuk: periksa nilai DC x1 [n] dan y1 [n].

— Hilmar

Petunjuk: Seperti apa sinyal ? Untuk sistem LTI , responsnya harus , bukan? Apakah itu? Juga, perhatikan bahwa untuk sistem varian -waktu linear diskrit-waktu , tidak ada satu respons unit-pulsa tetapi tak terhingga dari respons unit-pulsa, satu untuk setiap waktu instan ketika pulsa unit terjadi.

x_{2} [n] - x_{2} [n - 2]

$x_2[n]-x_2[n-2]$

y_{2} [n] - y_{2} [n - 2]

$y_2[n]-y_2[n-2]$

— Dilip Sarwate

@DilipSarwate: Saya setuju bahwa ini adalah masalah pekerjaan rumah yang mengerikan. Namun, sistem memang terlihat kausal. Sementara bukan nol untuk , begitu juga , sehingga output sistem tidak memimpin input pada waktunya.

y_{3} [n]

$y_3[n]$

n = - 2

$n=-2$

x_{3} [n]

$x_3[n]$

— Jason R

Jawaban:

Saya tidak yakin apa yang aneh tentang kausalitas atau ketiadaannya. Anda dapat mendekati masalah ini hanya dengan memikirkan aljabar linier. adalah transformasi linear. Menerapkan ke input hanyalah perkalian matriks. Jadi kita memiliki Jika adalah impuls maka hanya memilih kolom , jadi kolom adalah respon impuls. Tentu saja, 3 pasang input-output tidak cukup untuk sepenuhnya menentukan sebagai matriks 5x5. $L$ $L$

L x = y

$Lx = y$

x

$x$

L

$L$

L

$L$

L

$L$

$L$ $L$

L = (\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 2 \end{array})

$L = \left(\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 2 \end{array}\right)$

Jadi, untuk menjawab pertanyaan pertama, Anda hanya perlu membangun cukup dua kolom untuk melihat bahwa mereka berbeda untuk menyangkal invarian-waktu. Cara langsung untuk melakukan ini adalah dengan menganggap itu invarian waktu dan mendapatkan kontradiksi. Namun, untuk menunjukkan bahwa itu adalah time-invariant memerlukan lebih banyak informasi, yaitu memerlukan sepenuhnya menentukan matriks. Jika tidak invarian waktu, maka ada respons impuls yang berpotensi berbeda untuk setiap sampel, tidak satu pun, seperti yang telah disebutkan orang lain.

$L$

— Derek Elkins meninggalkan SE
sumber

Tampaknya ada gambar yang hilang sekarang dan karenanya saya mungkin kehilangan sesuatu.

$x_1[n-m]$ $y_1[n-m]$
Jika sinyal input dibatasi oleh band dan bandwidth mereka kurang dari sistem Anda, Anda tidak akan dapat mengembalikan respons impuls.
Anda hanya akan bisa mendapatkan respons dalam frekuensi input memiliki energi.
Ini bisa dilakukan dengan analisis frekuensi input dan output.
Jika sistem Anda memang LTI, koneksi antara input dan output diberikan oleh konvolusi dengan respons impuls.
Konvolusi adalah perkalian dalam domain frekuensi, maka Anda dapat dengan mudah mendapatkan respons impuls (Sekali lagi, hanya pada frekuensi input memiliki energi).

Memperbarui

Ini adalah kasus yang bagus untuk menunjukkan sifat komutatif konvolusi.

$y \left[ n \right] = \left( h \ast x \right) \left[ n \right] = \left( x \ast h \right) \left[ n \right]$

Seperti yang ditulis di atas, salah satu cara untuk melakukannya adalah menulis masalah dalam bentuk matriks.

— Royi
sumber

Gambar sudah kembali sekarang. Sepertinya Anda memiliki pertanyaan yang sangat spesifik. Maka jawaban saya yang jauh lebih umum tidak cukup fokus.

— Royi