Apa penjelasan paling jelas dan intuitif untuk berbagai FT

30

Bahkan setelah mempelajari ini cukup lama, saya cenderung lupa [jika saya tidak terhubung untuk sementara waktu] bagaimana mereka berhubungan satu sama lain dan apa arti masing-masing [karena mereka memiliki nama yang mirip seperti itu]. Saya berharap Anda akan datang dengan penjelasan yang begitu intuitif dan indah secara matematis sehingga mereka akan tertanam dalam ingatan saya untuk selamanya dan utas ini akan berfungsi sebagai penyegaran super cepat setiap kali saya [atau orang lain] membutuhkannya.

fourier-transform

— Vighnesh
sumber

2

Mungkin harus dimulai dengan seri Fourier

— endolith

Apakah Anda akrab dengan dualitas Pontryagin?

— Lorem Ipsum

@yoda - Tidak. Bisakah Anda menjelaskan atau menunjuk saya ke beberapa referensi yang bagus? [Tentu saja saya akan google keluar.]

— Vighnesh

1

"Steve on Image Processing": Fourier mengubah alamat persis pertanyaan ini.

— nobar

Saya tidak kapan harus menulis ulang jawaban di sini (kecuali diminta untuk). Namun, jawaban yang mungkin diberikan dalam Dapatkah saya mempelajari waktu terus menerus Fourier Transform dan memperlakukan sisanya sebagai kasus khusus mengikuti trek dualitas Pontryagin yang diusulkan oleh @LoremIpsum

— Laurent Duval

24

Saya menulis selebaran ini sebagai pelengkap untuk Oppenheim dan Willsky . Silakan lihat Tabel 4.1 di halaman 14, direproduksi di bawah ini. (Klik untuk gambar yang lebih besar.) Saya menulis tabel itu secara khusus untuk menjawab pertanyaan seperti milik Anda.

Perhatikan persamaan dan perbedaan di antara empat operasi:

"Seri": periodik dalam waktu, frekuensi terpisah
"Transform": aperiodik dalam waktu, terus menerus dalam frekuensi
"Continuous Time": berkelanjutan dalam waktu, frekuensi aperiodik
"Discrete Time": diskrit dalam waktu, frekuensi secara berkala

Saya harap Anda menemukan catatan ini bermanfaat! Silakan distribusikan sesuai keinginan.

— Steve Tjoa
sumber

1

Ringkasan yang bagus. Perhatikan bahwa "Seri Fourier Waktu Diskrit" yang dirujuk dalam tabel di atas biasanya disebut sebagai transformasi Fourier Diskrit (DFT).

— Jason R

Untuk sedikit mengemukakan, jawaban ini memang ringkasan yang bagus seperti yang dikatakan Jason R, dan sesuatu yang layak dimiliki secara permanen di dsp.SE sehingga semua orang dapat menautkannya untuk referensi di masa mendatang, tetapi tidak benar-benar responsif terhadap pertanyaan yang diajukan untuk penjelasan intuitif dari masalah ini (kejernihan mungkin menjadi bonus tambahan dan tidak sepenuhnya diperlukan karena disebutkan dalam judul tetapi tidak dalam teks pertanyaan).

— Dilip Sarwate

2

Respons yang bagus Steve - Saya percaya inilah yang dicari OP. Pendek, manis, dan to the point.

— Spacey

Apakah ini salah cetak di bagian bawah halaman 2 handout Anda? Dinyatakan: . Bukankah itu berarti ?

x (t) b (t - t_{0}) = x (t_{0}) b (t - t_{0})

$x(t)b(t-t_0)=x(t_0)b(t-t_0)$

\int_{- \infty}^{\infty} x (t) b (t - t_{0}) d t = x (t_{0})

$\int_{-\infty}^{\infty}x(t)b(t-t_0)dt = x(t_0)$

— mbaitoff

1

Bukan salah cetak. Kedua pernyataan Anda itu benar, tetapi saya bermaksud untuk menulis yang pertama karena bagian panduan itu menjelaskan definisi dasar, aksiomatik dari unit impuls. Pernyataan kedua kemudian berasal dari definisi-definisi itu: .

\int_{\infty}^{\infty} x (t) δ (t - t_{0}) d t = \int_{\infty}^{\infty} x (t_{0}) δ (t - t_{0}) d t = x (t_{0}) \int_{\infty}^{\infty} δ (t - t_{0}) d t = x (t_{0})

$\int_{\infty}^{\infty} x(t)\delta(t-t_0) dt = \int_{\infty}^{\infty} x(t_0)\delta(t-t_0) dt = x(t_0) \int_{\infty}^{\infty} \delta(t-t_0) dt = x(t_0)$

— Steve Tjoa

9

Untuk penjelasan yang jelas dan benar dari konsep-konsep ini, Anda harus membaca beberapa buku teks standar (Oppenheim-Schafer, Proakis-Manolakis atau "Memahami Digital Signal Processing" oleh Richard Lyons yang merupakan buku yang sangat bagus tetapi relatif kurang populer) . Tetapi dengan asumsi diskusi meja kopi, saya akan membuat beberapa pernyataan yang sangat longgar di bagian selanjutnya. :)

Untuk sinyal waktu kontinu umum, Anda tidak akan mengharapkan frekuensi tertentu tidak ada, sehingga Fourier Transform (atau Continuous Fourier Transform) akan menjadi kurva kontinu dengan dukungan yang mungkin -inf ke + inf.

Untuk sinyal kontinu periodik (periode T), Fourier menyatakan sinyal sebagai kombinasi antara sinus dan cosinus yang memiliki periode yang sama (T, T / 2, T / 3, T / 4, ...). Secara efektif, spektrum sinyal ini adalah serangkaian paku di lokasi 1 / T, 2 / T, 3 / T, 4 / T, ... Ini disebut representasi Fourier Series. Ada teorema yang mengatakan bahwa deret deret Fourier dari setiap sinyal waktu kontinu periodik bertemu dengan sinyal ketika Anda memasukkan lebih banyak sinus dan cosinus (atau eksponensial kompleks) dalam arti kuadrat rata-rata.

Moral sejauh ini: periodisitas dalam waktu => spektrum runcing

Aktif untuk waktu diskrit ... Apa yang terjadi jika Anda mengambil sampel sinyal waktu kontinu? Seharusnya jelas bahwa untuk sinyal yang cukup tinggi, Anda tidak akan dapat merekonstruksi sinyal. Jika Anda tidak membuat asumsi tentang frekuensi dalam sinyal, kemudian diberi sinyal sampel, tidak ada cara Anda bisa mengatakan apa sinyal yang sebenarnya. Dengan kata lain, frekuensi yang berbeda disajikan secara ekivalen dalam sinyal waktu diskrit. Melewati beberapa matematika memberi tahu Anda bahwa Anda dapat memperoleh spektrum sinyal sampel dari sinyal kontinu asli. Bagaimana? Anda menggeser spektrum sinyal waktu kontinu dengan jumlah + -1 / T, + -2 / T, ... dan menambahkan semua salinan yang digeser (dengan beberapa penskalaan). Ini memberi Anda spektrum kontinu yang periodik dengan periode 1 / T. (catatan: spektrum adalah periodik sebagai hasil dari pengambilan sampel dalam waktu, sinyal waktu tidak (harus periodik) Karena spektrumnya kontinu, Anda juga bisa mewakilinya hanya dengan satu periode. Ini adalah DTFT ("Discrete-Time" Fourier Transform). Dalam kasus di mana sinyal waktu kontinu asli Anda memiliki frekuensi tidak lebih tinggi dari + -1 / 2T, salinan spektrum bergeser tidak tumpang tindih dan karenanya, Anda dapat memulihkan sinyal waktu kontinu asli dengan memilih satu periode spektrum ( teorema pengambilan sampel Nyquist).

Cara lain untuk diingat: sinyal waktu runcing => periodisitas dalam spektrum

Apa yang terjadi jika Anda mengambil sampel sinyal periodik kontinu dengan periode sampling T / k untuk beberapa k? Spektrum sinyal waktu kontinu adalah spiky, dan pengambilan sampel dengan beberapa pembagi T berarti bahwa paku dalam salinan bergeser jatuh tepat pada kelipatan 1 / T, sehingga spektrum yang dihasilkan adalah spektrum periodik runcing. . sinyal waktu periodik runcing <=> spektrum periodik runcing (dengan asumsi bahwa periode dan frekuensi sampling "terkait dengan baik" seperti di atas.) Inilah yang dikenal sebagai DFT (Discrete Fourier Transform). FFT (Fast Fourier Transform) adalah kelas algoritma untuk menghitung DFT secara efisien.

Cara DFT dipanggil adalah sebagai berikut: Katakan Anda ingin menganalisis urutan sampel N dalam waktu. Anda dapat mengambil DTFT dan berurusan dengan salah satu periode, tetapi jika Anda berasumsi bahwa sinyal Anda periodik dengan periode N, maka DTFT berkurang menjadi DFT dan Anda hanya memiliki sampel N dari satu periode DTFT yang sepenuhnya mencirikan sinyal. Anda dapat melakukan zero-pad sinyal pada waktunya untuk mendapatkan sampling spektrum yang lebih baik dan (banyak properti lainnya).

Semua hal di atas hanya bermanfaat jika disertai dengan studi DSP. Di atas hanyalah beberapa pedoman yang sangat kasar.

— rk2
sumber

7

$x(t)$ $T$ $t$ $x(t+T) = x(t)$ $\cos(2\pi t/T)$ $a_n\cos(2\pi nt/T)$ $a_n$

\int_{0}^{T} (x (t) - a_{n} \cos (2 π n t / T))^{2} d t,

$\int_0^T (x(t) - a_n\cos(2\pi nt/T))^2\,\mathrm dt,$

squared error = \int_{0}^{T} x^{2} (t) d t - 2 a_{n} \int_{0}^{T} x (t) \cos (2 π n t / T) d t + (a_{n})^{2} \int_{0}^{T} \cos^{2} (2 π n t / T) d t .

$\text{squared error} = \int_0^T x^2(t)\,\mathrm dt - 2a_n \int_0^T x(t)\cos(2\pi nt/T)\,\mathrm dt +(a_n)^2\int_0^T \cos^2(2\pi nt/T)\,\mathrm dt.$

E

$E$

x (t)

$x(t)$

T / 2

$T/2$

kesalahan kuadrat = E - 2 {Sebuah}_{n} \int_{0}^{T} x (t) \cos (2 π n t / T) d t + ({Sebuah}_{n})^{2} \frac{T}{2} .

$\text{squared error} = E - 2a_n \int_0^T x(t)\cos(2\pi nt/T)\,\mathrm dt +(a_n)^2\frac{T}{2}.$

a > 0

$a > 0$

a z^{2} + b z + c

$az^2 + bz + c$

z = - b / 2 a

$z = -b/2a$

(- b / 2 a) \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c} / 2 a

$(-b/2a) \pm \sqrt{b^2 - 4ac}/2a$

a_{n}

$a_n$

a_{n}

$a_n$

{Sebuah}_{n} = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} x (t) \cos (2 π n t / T) d t .

$a_n = \frac{2}{T}\int_0^T x(t)\cos(2\pi nt/T)\,\mathrm dt.$

b_{n}

$b_n$

b_{n} = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} x (t) dosa (2 π n t / T) d t

$b_n = \frac{2}{T}\int_0^T x(t)\sin(2\pi nt/T)\,\mathrm dt$

x (t)

$x(t)$

b_{n} \sin (2 π n t / T)

$b_n\sin(2\pi nt/T)$

x (t)

$x(t)$

— Dilip Sarwate
sumber

4

Endolith benar dalam hal itu, jika Anda benar-benar mulai dengan seri Fourier, dan melihat bagaimana itu diperluas ke transformasi Fourier, maka hal-hal mulai mulai masuk akal. Saya memberikan penjelasan singkat untuk ini di paruh pertama jawaban ini .

Cara yang baik (mungkin tidak sederhana) untuk melihat keluarga Transform Fourier (maksud saya 4 yang Anda sebutkan di atas), adalah melalui kacamata dualitas Pontryagin . Ini memberi Anda cara yang baik untuk mengingat berbagai transformasi oleh domain asli dan yang diubah.

$\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$

$n$ $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ $n$ $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$

$\mathbb{T}$ $\mathbb{Z}$ $\mathbb{Z}$ $\mathbb{T}$

Jawaban ini tidak sepenuhnya lengkap dan saya mungkin akan membangun jawaban ini untuk memperjelas beberapa poin ketika saya punya waktu, tetapi sampai saat itu, ini mungkin sesuatu untuk dikunyah sampai Anda mendapatkan penjelasan yang lebih intuitif dari orang lain. Coba juga membaca varian analisis Fourier di Wikipedia.

— Lorem Ipsum
sumber

3

Saya pikir hal terpenting adalah memahami secara mendasar mengapa kita membutuhkan transformasi empat tingkat. Mereka adalah salah satu dari banyak transformasi sinyal yang mungkin, tetapi juga salah satu yang paling berguna. Transformasi pada dasarnya mengubah sinyal menjadi domain lain yang mungkin memberi kita wawasan tentang sinyal di domain itu, atau mungkin domain itu secara matematis mudah dikerjakan. Setelah kami selesai bekerja di domain itu, kami dapat melakukan transformasi terbalik untuk mendapatkan hasil yang diinginkan dengan lebih mudah.

Blok bangunan paling dasar dalam teori fourier adalah monoton (sinus dan cosinus). Kita dapat menguraikan sinyal menjadi komponen frekuensinya (monoton) menggunakan matematika fourier. Jadi, transformasi fourier pada dasarnya mengubah sinyal dari domain waktu ke domain frekuensi. Koefisien masing-masing monoton dalam deret Fourier memberi tahu kita tentang kekuatan komponen frekuensi dalam sinyal. Transformasi Fourier (CFT, DFT) secara eksplisit memberi kita tampilan domain frekuensi dari sinyal. Di alam, sinus dan cosinus adalah bentuk gelombang yang menonjol. Sinyal sintetik seperti gelombang persegi, atau sinyal yang memiliki fluktuasi tajam lebih kecil kemungkinannya terjadi secara alami dan tidak mengherankan jika rentang frekuensi tak terbatas seperti dijelaskan dengan sangat jelas oleh transformasi fourier. Orang-orang ragu apakah ada sinyal yang dapat dibungkus sebagai jumlah sinus / cosinus. Fourier menunjukkan bentuk gelombang persegi (yang jauh dari sinus / cosinus) memang bisa. White noise berisi semua frekuensi dengan kekuatan yang sama.

Juga, jika Anda bekerja dengan deret Fourier, maka koefisien bersama dengan fase fase dapat dilihat sebagai yang diperlukan untuk menempatkan dengan benar bentuk gelombang konstituen sinosoidal sehingga superposisi memang sinyal yang diperlukan di mana Anda mengambil transformasi. Ketika bekerja dengan transformasi fourier, bilangan kompleks secara implisit memiliki syarat fase dan besarnya yang diperlukan dari masing-masing monoton. (Integrasi kira-kira seperti penjumlahan. kontinu => integrasi, diskrit => penjumlahan)

Saya pikir begitu Anda memiliki pemahaman tentang tema konsep, sisanya semua hanya detail yang Anda sendiri harus mengerti dengan membaca buku. Membaca tentang penerapan transformasi fourier ke berbagai bidang akan memberi Anda persepsi yang lebih baik.

— abhishek
sumber

2

DFT adalah transformasi vektor pasangan angka dari satu ruang ortogonal ke ruang lainnya. Sangat umum dilakukan sebagai perhitungan numerik. Untuk beberapa alasan, ketika mengambil satu ikat angka dari dunia nyata, ikat nomor 2 sering ternyata cukup dekat dengan sesuatu yang sangat berguna.

Saya diingatkan tentang Efektivitas Matematika yang Tidak Masuk Akal dalam Ilmu Pengetahuan Alam , khususnya mengenai penerapan DFT ke banyak sistem yang tampaknya didekati dengan berbagai macam persamaan diferensial derajat 2, bahkan suara sendok kopi yang baru saja saya jatuhkan.

3 XYZ-FT lainnya membuat asumsi tentang keberadaan entitas tak terbatas mitos untuk membantu solusi simbolis cocok di papan tulis sebelum kopi menjadi terlalu dingin. Mereka adalah "sapi bulat" dari pemrosesan sinyal. DTFT dan Fourier Series berpura-pura bahwa satu vektor dapat diperluas tanpa batas dengan biaya kepadatan tak terbatas dari entitas lain. Seri Fourier berpura-pura bahwa kedua entitas dapat menjadi fungsi kontinu tanpa batas.

Ambil kursus matematika yang cukup dan orang mungkin bahkan menentukan semua definisi dan asumsi yang diperlukan untuk membuat entitas fiksi ini tepat dan menyelesaikan dual dalam beberapa hal.

— hotpaw2
sumber

Apa yang dimaksud dengan "ruang ortogonal" dalam kalimat pertama Anda? Apa ruang ortogonal untuk , atau apa properti khusus yang ruang memiliki bahwa Anda membedakannya dari run-of-the-mill ruang lain dengan menganugerahkan pada itu kata sifat "ortogonal"?

— Dilip Sarwate

Mungkin "orthonormal" istilah yang lebih tepat untuk ruang vektor?

— hotpaw2

x

$\mathbf x$

y

$\mathbf y$

⟨ x, y ⟩ = 0

$\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\rangle=0$

A

$A$

A A^{T}

$AA^T$

A A^{T}

$AA^T$ vektor-vektor dalam ruang itu ortogonal satu sama lain atau ortogonal dan memiliki panjang satuan juga? Jika demikian, dapatkah Anda memberikan contoh ruang seperti itu?

— Dilip Sarwate

Produk titik antara semua sinus atau cosinus yang persis periodik dalam panjang bukaan DFT adalah nol, kecuali untuk fungsi frekuensi yang identik. Bahkan jika N lebih besar dari jumlah biji kopi di dalam tas. Buat mereka satuan amplitudo untuk ortonormal.

— hotpaw2

N

$N$

N

$N$

N

$N$

N

$N$

N

$N$

Apa penjelasan paling jelas dan intuitif untuk berbagai FT - CFT, DFT, DTFT, dan Fourier Series?