Mengapa transformasi Fourier begitu penting?

129

Semua orang mendiskusikan transformasi Fourier ketika mendiskusikan pemrosesan sinyal. Mengapa pemrosesan sinyal sangat penting dan apa yang kami informasikan tentang sinyal?

Apakah ini hanya berlaku untuk pemrosesan sinyal digital atau apakah berlaku untuk sinyal analog juga?

fourier-transform

— jcolebrand
sumber

10

Baru-baru ini sebuah diskusi tentang transformasi Fourier dihidupkan kembali dalam matematika. SE, dan saya pikir orang-orang di situs ini mungkin menganggapnya bermanfaat, dan bahkan mungkin ingin berpartisipasi.

— Dilip Sarwate

1

lih. jawaban ini untuk latar belakang sejarah yang sangat baik. Tanggal seri Fourier setidaknya sejauh astronomi epiklikus Ptolemy . Menambahkan lebih banyak eksentrik dan epiklus, mirip dengan menambahkan lebih banyak istilah ke seri Fourier, orang dapat menjelaskan setiap gerakan terus menerus dari suatu objek di langit.

— Geremia

144

Ini adalah pertanyaan yang cukup luas dan memang sulit untuk menunjukkan mengapa transformasi Fourier penting dalam pemrosesan sinyal. Jawaban yang paling sederhana dan bisa dilambaikan dengan tangan yang bisa diberikan adalah bahwa itu adalah alat matematika yang sangat kuat yang memungkinkan Anda untuk melihat sinyal Anda di domain yang berbeda, di mana beberapa masalah sulit menjadi sangat mudah untuk dianalisis.

Keberadaannya di hampir setiap bidang teknik dan ilmu fisika, semuanya karena berbagai alasan, membuat semakin sulit untuk mempersempit suatu alasan. Saya berharap bahwa melihat beberapa sifat-sifatnya yang menyebabkan adopsi yang meluas bersama dengan beberapa contoh praktis dan sedikit sejarah dapat membantu seseorang untuk memahami pentingnya.

Sejarah:

Untuk memahami pentingnya transformasi Fourier, penting untuk mundur sedikit dan menghargai kekuatan seri Fourier yang diajukan oleh Joseph Fourier. Dalam sebuah shell-nut, setiap fungsi periodik dapat diintegrasikan pada domain dapat ditulis sebagai jumlah tak terbatas dari sinus dan cosinus sebagai $g(x)$ $\mathcal{D}=[-\pi,\pi]$

g (x) = \sum_{k = - \infty}^{\infty} τ_{k} e^{ȷ k x}

$g(x)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\tau_k e^{\jmath k x}$

τ_{k} = \frac{1}{2 π} \int_{D} g (x) e^{- ȷ k x} d x

$\tau_k=\frac{1}{2\pi}\int_{\mathcal{D}}g(x)e^{-\jmath k x}\ dx$

di mana . Gagasan bahwa suatu fungsi dapat dipecah menjadi frekuensi konstituennya (yaitu, menjadi sinus dan cosinus dari semua frekuensi) adalah yang kuat dan membentuk tulang punggung transformasi Fourier. $e^{\imath\theta}=\cos(\theta)+\jmath\sin(\theta)$

Transformasi Fourier:

Transformasi Fourier dapat dilihat sebagai perpanjangan dari seri Fourier di atas untuk fungsi non-periodik. Untuk kelengkapan dan kejelasan, saya akan mendefinisikan transformasi Fourier di sini. Jika adalah sinyal kontinu, dapat diintegrasikan, maka transformasi Fouriernya, diberikan oleh $x(t)$ $X(f)$

X (f) = \int_{R} x (t) e^{- ȷ 2 π f t} d t, \forall f \in R

$X(f)=\int_{\mathbb{R}}x(t)e^{-\jmath 2\pi f t}\ dt,\quad \forall f\in\mathbb{R}$

dan transformasi terbalik diberikan oleh

x (t) = \int_{R} X (f) e^{ȷ 2 π f t} d f, \forall t \in R

$x(t)=\int_{\mathbb{R}}X(f)e^{\jmath 2\pi f t}\ df,\quad \forall t\in\mathbb{R}$

Pentingnya pemrosesan sinyal:

Pertama dan terpenting, transformasi Fourier dari sinyal memberi tahu Anda frekuensi apa yang ada dalam sinyal Anda dan dalam proporsi apa .

Contoh: Pernahkah Anda memperhatikan bahwa masing-masing tombol angka ponsel Anda terdengar berbeda ketika Anda menekan selama panggilan dan itu terdengar sama untuk setiap model telepon? Itu karena masing-masing terdiri dari dua sinusoid berbeda yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi tombol secara unik. Saat Anda menggunakan ponsel untuk memencet kombinasi untuk menavigasi menu, cara pihak lain mengetahui tombol apa yang Anda tekan adalah dengan melakukan transformasi Fourier dari input dan melihat frekuensi yang ada.

Terlepas dari beberapa sifat dasar yang sangat berguna yang membuat matematika terlibat sederhana, beberapa alasan lain mengapa ia memiliki kepentingan luas dalam pemrosesan sinyal adalah:

Kuadrat transformasi Fourier, instan memberi tahu kita seberapa besar daya yang dimiliki sinyal pada frekuensi tertentu . $\vert X(f)\vert^2$ $x(t)$ $f$
Dari teorema Parseval (lebih umum teorema Plancherel), kita memiliki yang berarti bahwa energi total dalam sinyal di semua waktu adalah sama dengan total energi dalam transformasi di semua frekuensi . Jadi, transformasinya adalah pengawetan energi. $\int_{R} | x (t) |^{2} d t = \int_{R} | X (f) |^{2} d f$ $\int_\mathbb{R}\vert x(t)\vert^2\ dt = \int_\mathbb{R}\vert X(f)\vert^2\ df$
Konvolusi dalam domain waktu sama dengan perkalian dalam domain frekuensi, yaitu, diberi dua sinyal dan , maka jika $x(t)$ $y(t)$

mana menunjukkan konvolusi, maka transformasi Fourier dari hanyalah
$z (t) = x (t) ⋆ y (t)$ $z(t)=x(t)\star y(t)$ $\star$ $z(t)$
$Z (f) = X (f) \cdot Y (f)$ $Z(f)=X(f)\cdot Y(f)$
Untuk sinyal diskrit, dengan pengembangan algoritma FFT yang efisien, hampir selalu, lebih cepat untuk mengimplementasikan operasi konvolusi dalam domain frekuensi daripada dalam domain waktu.
Mirip dengan operasi konvolusi, korelasi silang juga mudah diimplementasikan dalam domain frekuensi sebagai , di mana menunjukkan konjugat kompleks. $Z(f)=X(f)^*Y(f)$ $^*$
Dengan dapat membagi sinyal menjadi frekuensi konstituennya, seseorang dapat dengan mudah memblokir frekuensi tertentu secara selektif dengan membatalkan kontribusi mereka.

Contoh: Jika Anda seorang penggemar sepak bola, Anda mungkin merasa terganggu oleh drone konstan vuvuzelas yang cukup banyak menenggelamkan semua komentar selama piala dunia 2010 di Afrika Selatan. Namun, vuvuzela memiliki nada konstan ~ 235Hz yang membuatnya mudah bagi penyiar untuk menerapkan filter takik untuk memotong kebisingan yang menyinggung. ^[1]
Sinyal bergeser (tertunda) dalam domain waktu bermanifestasi sebagai perubahan fase dalam domain frekuensi. Meskipun ini termasuk dalam kategori properti dasar, ini adalah properti yang banyak digunakan dalam praktik, terutama dalam aplikasi pencitraan dan tomografi,

Contoh: Ketika sebuah gelombang bergerak melalui media yang heterogen, ia melambat dan mempercepat menurut perubahan kecepatan perambatan gelombang dalam medium tersebut. Jadi dengan mengamati perubahan fase dari apa yang diharapkan dan apa yang diukur, seseorang dapat menyimpulkan keterlambatan waktu berlebih yang pada gilirannya memberi tahu Anda seberapa besar kecepatan gelombang telah berubah dalam medium. Ini tentu saja, penjelasan orang awam yang sangat sederhana, tetapi membentuk dasar untuk tomografi.
Derivatif sinyal (n ^th derivatif juga) dapat dengan mudah dihitung (lihat 106) menggunakan transformasi Fourier.

Pemrosesan sinyal digital (DSP) vs. Pemrosesan sinyal analog (ASP)

Teori transformasi Fourier dapat diterapkan terlepas dari apakah sinyalnya kontinu atau diskrit, asalkan "bagus" dan benar-benar dapat diintegrasikan. Jadi ya, ASP menggunakan transformasi Fourier selama sinyal memenuhi kriteria ini. Namun, mungkin lebih umum untuk berbicara tentang transformasi Laplace, yang merupakan transformasi Fourier umum, di ASP. Transformasi Laplace didefinisikan sebagai

X (s) = \int_{0}^{\infty} x (t) e^{- s t} d t, \forall s \in C

$X(s)=\int_{0}^{\infty}x(t)e^{-st}\ dt,\quad \forall s\in\mathbb{C}$

Keuntungannya adalah bahwa seseorang tidak harus terbatas pada "sinyal yang bagus" seperti pada transformasi Fourier, tetapi transformasi hanya valid dalam wilayah konvergensi tertentu. Hal ini banyak digunakan dalam mempelajari / menganalisis / merancang sirkuit LC / RC / LCR, yang pada gilirannya digunakan dalam radio / gitar listrik, pedal wah-wah, dll.

Ini hampir semua yang dapat saya pikirkan saat ini, tetapi perlu dicatat bahwa tidak ada jumlah tulisan / penjelasan yang dapat sepenuhnya menangkap pentingnya transformasi Fourier dalam pemrosesan sinyal dan dalam sains / teknik

— Lorem Ipsum
sumber

2

Jawaban yang bagus dalam memberikan beberapa aplikasi dunia nyata menggunakan FT dan propertinya. +1.

— goldenmean

3

\sin (α x)

$\sin(\alpha x)$

0

$0$

α x - α^{3} x^{3} / 3! + α^{5} x^{5} / 5! \dots

$\alpha x-\alpha^3x^3/3!+\alpha^5x^5/5!\ldots$

\sin (α x)

$\sin(\alpha x)$

[δ (ω - α) - δ (ω + α)] / (2 ȷ)

$\left[\delta(\omega-\alpha)-\delta(\omega+\alpha)\right]/(2\jmath)$

6

Ketika saya mulai membaca jawaban ini, entah bagaimana saya tahu @ yoda menulisnya sebelum saya menggulir ke bawah untuk melihat siapa itu sebenarnya =)

— Phonon

2

Untuk menguraikan # 3: Konvolusi adalah apa yang Anda lakukan ketika Anda menerapkan filter ke gambar, seperti filter rata-rata, atau filter Gaussian (meskipun Anda tidak dapat mengubah filter non-linear Fourier).

— Jonas

1

Maksud Peter K sangat kritis. Sinyal dapat diwakili sehubungan dengan banyak basis yang berbeda. Sine dan cosinus adalah istimewa karena mereka adalah fungsi eigen dari sistem LTI.

— nibot

53

Jawaban hebat Lorem Ipsum melewatkan satu hal: Transformasi Fourier mengurai sinyal menjadi eksponensial kompleks konstituen:

e^{ȷ ω t}

$e^{\jmath \omega t}$

dan eksponensial kompleks adalah fungsi eigen untuk sistem linear, waktu invarian .

$H$ $\phi$ $A$

y = H [e^{ȷ ω t}] = SEBUAH e^{ȷ ϕ} e^{ȷ ω t}

$y = H[e^{\jmath \omega t}] = A e^{\jmath \phi} e^{\jmath \omega t}$

Jadi transformasi Fourier adalah alat yang berguna untuk menganalisis sistem linear, waktu-invarian.

— Peter K.
sumber

@ Peter K. Saya pikir mengikuti filosofi pilihan pada kebenaran (akademis) atas "popularitas" jawaban, jawaban Anda harus diintegrasikan ke dalam jawaban di atas yang diberikan oleh Lorem Ipsum, yang meskipun dipilih sebagai jawaban dengan 96 poin oleh pengguna, tidak memiliki sudut pandang yang sangat penting ini.

— Fat32

@ Peter Maaf mengganggu Anda dengan permintaan ini, tetapi Anda adalah 1) moderator, 2) nama Anda muncul di daftar pengguna "aktif" dengan tag beamforming Anda. Bisakah Anda memberikan pendapat cepat apakah posting ini dalam Math.SE akan diterima dengan baik di sini? Saya tidak yakin, apakah DSP.SE, Math.SE atau EE.SE memiliki peluang terbaik untuk membantu penanya itu. Saya sedang mempertimbangkan migrasi (yang dapat saya lakukan sebagai moderator Math.SE).

— Jyrki Lahtonen

@ Peter K., Bisakah Anda membuka kembali pertanyaan di: dsp.stackexchange.com/questions/37468 . Aku telah memperbaikinya. Terima kasih.

— Royi

@Royi sudah terbuka?

— Peter K.

Peter (Kenapa beberapa orang bisa didekati menggunakan @dan beberapa tidak bisa? Di mana pilihan untuk itu?), Sepertinya seseorang membukanya. Terima kasih.

— Royi

16

Alasan lain:

Ini cepat (misalnya berguna untuk konvolusi), karena kompleksitas waktu linearitmiknya (khususnya, FFT ).
Saya berpendapat bahwa, jika ini tidak terjadi, kami mungkin akan melakukan lebih banyak dalam domain waktu, dan jauh lebih sedikit dalam domain Fourier.

Sunting: Karena orang-orang meminta saya untuk menulis mengapa FFT cepat ...

Itu karena secara cerdik menghindari melakukan pekerjaan ekstra.

$a_0 x^0 + a_1 x^1 + \ldots + a_nx^n$ $b_0 x^0 + b_1 x^1 + \ldots + b_nx^n$

$n^2$

Namun, kita dapat membuat pengamatan yang tampaknya biasa saja: untuk melipatgandakan dua polinomial, kita tidak perlu MEMILIKI koefisien . Sebaliknya, kita hanya dapat mengevaluasi polinomial pada (cukup) jumlah poin, melakukan pointwise perkalian dari nilai-nilai dievaluasi, dan kemudian interpolasi untuk mendapatkan kembali hasilnya.

$n$ $2n$ $\approx n^2$

Tetapi itu benar, jika kita melakukannya dengan benar! Mengevaluasi polinomial tunggal pada banyak titik sekaligus lebih cepat daripada mengevaluasinya pada titik-titik tersebut secara individual, jika kita mengevaluasi pada titik "benar" . Apa poin "benar"?

$z$ $z^n = 1$

Kita dapat melakukan proses yang sangat mirip untuk melakukan interpolasi melalui titik-titik untuk mendapatkan kembali koefisien polinomial hasilnya, hanya dengan menggunakan akar kebalikan dari persatuan.

$n \log n$ $n^2$

Dengan demikian kemampuan untuk menggunakan FFT untuk melakukan operasi yang khas (seperti penggandaan polinomial) jauh lebih cepat adalah apa yang membuatnya berguna, dan itulah sebabnya orang sekarang senang dengan penemuan baru MIT dari algoritma FFT Sparse .

— Mehrdad
sumber

Apa kompleksitas waktu linearitmik? Saya tidak akan menurunkan jawaban ini, tetapi saya pikir itu tidak menambah nilai apa pun untuk diskusi tentang transformasi Fourier ini .

— Dilip Sarwate

1

@DilipSarwate Saya curiga dia menggunakannya sebagai singkatan untuk O (n * log (n)).

— Jim Clay

@DilipSarwate: Jim benar. Ini memiliki segala sesuatu harus dilakukan dengan (diskrit) transformasi Fourier. Tanpa FFT, transformasi Fourier Anda akan memakan waktu sebanding dengan kuadrat ukuran input, yang akan membuatnya jauh lebih tidak berguna. Tetapi dengan FFT, mereka mengambil waktu secara proporsional dengan ukuran input (kali logaritma), yang membuat mereka jauh lebih berguna, dan yang mempercepat banyak perhitungan. Juga ini mungkin bacaan yang menarik.

— Mehrdad

Anda harus menyebutkan MENGAPA cepat. Di mana cepat dan mengapa kita peduli itu cepat?

— CyberMen

1

Saya pikir jawaban ini sah. Itu harus diparafrasekan - "Selain semua karakteristik bagus yang dijelaskan dalam jawaban orang lain, FFT memungkinkannya untuk menjadi pendekatan yang layak dalam aplikasi waktu nyata".

— Andrey Rubshtein

15

$e^{kx}$ $\frac{d^n}{dx^n}$ $k$ $k$

$e^{kx}$

EDIT: Sebenarnya, operator diferensial (dan integral) adalah operator LSIV, lihat di sini .

— chaohuang
sumber

8

Beberapa jawaban lain di utas ini memiliki diskusi matematis yang bagus tentang definisi dan sifat-sifat transformasi Fourier; sebagai programmer audio, saya hanya ingin memberikan intuisi pribadi saya mengapa hal itu penting bagi saya.

Transformasi Fourier memungkinkan saya untuk menjawab pertanyaan tentang suara yang sulit atau tidak mungkin dijawab dengan metode lain. Itu membuat masalah sulit menjadi mudah.

Rekaman berisi satu set tiga not musik. Apa catatannya? Jika Anda meninggalkan rekaman sebagai satu set amplitudo dari waktu ke waktu, ini bukan masalah yang mudah. Jika Anda mengonversi rekaman ke satu set frekuensi dari waktu ke waktu, itu sangat mudah.

Saya ingin mengubah nada rekaman tanpa mengubah durasinya. Bagaimana saya melakukan ini? Itu mungkin, tetapi tidak mudah dilakukan, dengan hanya memanipulasi amplitudo sinyal input. Tetapi mudah jika Anda tahu frekuensi yang terdiri dari sinyal.

Apakah rekaman ini mengandung ucapan atau mengandung musik? Sangat sulit dilakukan hanya dengan menggunakan metode berbasis amplitudo. Tetapi ada solusi bagus yang menebak jawaban yang benar hampir sepanjang waktu berdasarkan transformasi Fourier dan keluarganya.

Hampir setiap pertanyaan yang ingin Anda tanyakan tentang rekaman audio digital menjadi lebih mudah dengan mengubah rekaman menggunakan versi diskrit dari transformasi Fourier.

Dalam praktiknya, setiap perangkat audio digital modern sangat bergantung pada fungsi yang sangat mirip dengan transformasi Fourier.

Sekali lagi, maafkan deskripsi yang sangat informal itu; ini hanyalah intuisi pribadi saya mengapa transformasi Fourier itu penting.

— Johnwbyrd
sumber

Hei John, saya punya pertanyaan konyol. Saya ingin menghitung TWA ( osha.gov/pls/oshaweb/… ) dari suara yang kami rekam di tempat kerja, saya bertanya-tanya apakah saya bisa mengukur nilai ini lebih tepat jika saya menggunakan Fourier Transformation dalam menganalisis file audio saya.

— Hossein Sarshar

Tidak kecuali mikrofon dan lingkungan rekaman dikalibrasi, tidak.

— johnwbyrd

6

Orang lain telah memberikan jawaban yang bagus dan bermanfaat. Coba pikirkan beberapa sinyal: Anda hanya peduli frekuensi apa yang ada di dalamnya (dan fase mereka), bukan tentang domain waktu. Saya tidak tahu bahwa ini adalah jawaban final atau lengkap, tetapi hanya alasan lain mengapa transformasi Fourier bermanfaat.

Ketika Anda memiliki beberapa sinyal, itu bisa terdiri dari jumlah frekuensi yang tak terbatas (atau mendekati), tergantung pada laju sampling Anda. Tapi, bukan itu masalahnya: kita tahu bahwa sebagian besar sinyal memiliki frekuensi sesedikit mungkin, atau kita mengambil sampel pada tingkat yang cukup tinggi.

Jika kita tahu itu, mengapa kita tidak bisa menggunakannya? Itulah yang dilakukan bidang penginderaan terkompresi. Mereka tahu bahwa sinyal yang paling mungkin adalah yang memiliki kesalahan paling sedikit dan memiliki frekuensi paling sedikit. Jadi, mereka meminimalkan kesalahan keseluruhan relatif terhadap pengukuran kami serta besarnya transformasi Fourier.

Sinyal beberapa frekuensi sering memiliki transformasi Fourier minimal, atau sebagian besar nol (alias "jarang," seperti yang mereka katakan dalam penginderaan terkompresi). Sinyal satu frekuensi hanya memiliki fungsi delta sebagai transformasi, misalnya.

Kita dapat menggunakan definisi matematika formal juga.

$\bar{x} = \textrm{arg min } ||y-Ax|| + \lambda||F(x)||$

$||\cdot||$ $||\cdot||$

$\bar{x}$
$y$
$A$
$x$
$\lambda$
$F(x)$

Anda mungkin ingat bahwa Nyquist mengatakan bahwa Anda harus mengukur dua kali frekuensi tertinggi untuk mendapatkan representasi yang baik. Nah, itu dengan asumsi Anda memiliki frekuensi tak terbatas dalam sinyal Anda. Kita bisa melewati itu!

Bidang penginderaan terkompresi dapat merekonstruksi sinyal apa pun yang sebagian besar nol (atau jarang) di beberapa domain. Nah, itulah yang terjadi untuk transformasi Fourier.

— Scott
sumber

5

Pentingnya transformasi Fourier terletak pada analisis sistem. Konstituen utama dari alam semesta kita adalah ruang hampa udara, dan ruang hampa udara adalah pembawa bidang yang linier dan tidak berubah-ubah secara mendasar: bidang-bidang berbeda bertumpukan dengan menambahkan vektornya masing-masing, dan terlepas dari kapan Anda mengulangi penerapan bidang-bidang tertentu, hasilnya akan sama .

Sebagai konsekuensinya, banyak sistem yang juga melibatkan materi fisik memiliki pendekatan yang baik yang berperilaku sebagai sistem linier, waktu-invarian.

Sistem LTI seperti itu dapat dijelaskan oleh "respons impuls" mereka, dan respons terhadap sinyal berdistribusi waktu dijelaskan dengan menggabungkan sinyal dengan respons impuls.

Konvolusi adalah operasi komutatif dan asosiatif, tetapi juga cukup mahal secara komputasional dan konseptual. Namun, konvolusi fungsi dipetakan oleh Fourier transform menjadi multiplikasi piecewise.

Itu berarti bahwa sifat-sifat sistem invarian waktu linier dan kombinasinya jauh lebih baik dijelaskan dan dimanipulasi setelah transformasi Fourier.

Akibatnya, hal-hal seperti "respons frekuensi" cukup khas untuk menggambarkan perilaku banyak sistem dan menjadi berguna untuk mengkarakterisasi mereka.

Transformasi Fourier cepat berada di kelas "hampir, tetapi tidak sepenuhnya, tidak sepenuhnya berbeda dengan transformasi Fourier" karena hasilnya tidak benar-benar dapat ditafsirkan sebagai transformasi Fourier meskipun dengan tegas diarahkan dalam teori mereka. Mereka berhubungan dengan transformasi Fourier sepenuhnya hanya ketika berbicara tentang sinyal sampel dengan periodisitas interval transformasi. Khususnya kriteria "periodisitas" hampir selalu tidak terpenuhi.

Ada beberapa teknik untuk mengatasinya, seperti penggunaan fungsi windowing yang tumpang tindih.

Namun FFT dapat digunakan untuk melakukan konvolusi waktu diskrit ketika melakukan hal-hal yang benar, dan apakah itu algoritma yang efisien, yang membuatnya berguna untuk banyak hal.

Seseorang dapat menggunakan algoritma FFT dasar juga untuk transformasi angka teoretik (yang bekerja di bidang angka diskrit daripada "real" nyata) untuk melakukan konvolusi cepat, seperti ketika mengalikan angka humongous atau polinomial. Dalam hal ini, "domain frekuensi" tidak dapat dibedakan dari white noise pada dasarnya input apa pun dan tidak memiliki interpretasi yang berguna sebelum Anda melakukan transformasi terbalik lagi.

— David
sumber

2

relevansi fisika dari transformasi fourier adalah bahwa ia memberitahu amplitudo relatif dari frekuensi yang ada dalam sinyal. dapat didefinisikan untuk waktu diskrit dan sinyal waktu kontinu. Sinyal apa pun dapat direpresentasikan sebagai campuran dari banyak frekuensi harmonik. Fourier transform help dalam aplikasi filter, di mana kita hanya perlu rentang frekuensi tertentu maka pertama-tama kita perlu tahu apa amplitudo frekuensi yang terkandung dalam sinyal.

— vatsyayan
sumber