Penjelasan PSD (Power spectral density)

Saya mencoba memahami bagaimana PSD dihitung. Saya telah melihat beberapa buku teks Teknik Komunikasi saya tetapi tidak berhasil. Saya juga sudah mencari online. Wikipedia tampaknya memiliki penjelasan terbaik; Namun, saya tersesat di bagian di mana mereka memutuskan untuk membuat CDF (Fungsi Penyebaran Kumulatif) dan kemudian untuk beberapa alasan memutuskan untuk mengaitkannya dengan fungsi autokorelasi.

Saya kira yang tidak saya mengerti adalah, bagaimana hubungan autokorelasi dengan perhitungan PSD? Saya akan berpikir bahwa PSD sederhana menjadi Transformasi Fourier (di mana adalah kekuatan sinyal sehubungan dengan waktu). $P(t)$ $P(t)$

power-spectral-density psd

— pengguna968243
sumber

Bagaimana Anda mendefinisikan

P (t)

$P(t)$

— Phonon

Saya tidak benar-benar mendefinisikannya sebagai apa pun. Itu hanya sinyal kekuatan. Saya kira jika saya harus mendefinisikannya, itu akan menjadi

... Saya kira intinya adalah bahwa PSD bukan

dan memiliki ada hubungannya dengan autocorrelation dan saya tidak mendapatkan apa ...

P (t) = v (t) \cdot i (t)

$P(t) = v(t) \cdot i(t)$

F {P (t)}

$\mathcal{F}\{P(t)\}$

— user968243

Anda tidak dapat benar-benar mendefinisikan kekuatan seperti itu untuk sinyal yang berubah-ubah. Tidak ada konsep tegangan dan arus. Kekuatan dalam hal ini didefinisikan sebagai kekuatan gelombang (elektromagnetik jika Anda suka). Jadi

, dan ini adalah angka tunggal, bukan kuantitas yang bervariasi waktu.

\frac{1}{T} \int_{0}^{T} x^{2} (t) d t

$\frac{1}{T} \int_0^Tx^2(t)dt$

— Telepon

Baca tentang Teorema Wiener-Khinchin . Anda menolak untuk memahami apa yang ditunjukkan Phonon kepada Anda bahwa batas yang Anda hitung adalah konstan dan karenanya transformasi Fourier-nya hanya merupakan dorongan pada

dalam domain frekuensi. Jika itu mengapungkan kapal Anda, lakukan saja tetapi itu bukan kepadatan spektral daya seperti yang dipahami semua orang.

f = 0

$f=0$

— Dilip Sarwate

Saya telah membaca tentang teorema itu ... Dan saya mengerti bagaimana menghubungkan transformasi Fourier ke autokorelasi. Dan saya tidak menolak untuk mengerti apa yang dikatakan Phonon ... Saya mengerti persis apa yang dikatakan @Phonon. Apa yang saya tidak mengerti adalah mengapa rumus autokorelasi digunakan dan saya juga tidak mengerti mengapa cara transformasi fourier digunakan (untuk mendapatkan PSD Anda dapat mengambil transformasi fourier, mengambil besarnya, persegi, dll.) ... Saya tidak tahu mengapa melakukan itu akan memberikan PSD dan saya belum dapat menemukan derivasi yang layak.

— user968243

Jawaban:

Anda benar, PSD ada hubungannya dengan menghitung Transformasi Fourier dari kekuatan sinyal dan tebak apa ..... itu. Tapi pertama-tama mari kita lihat hubungan matematika antara PSD dan fungsi autokorelasi.

Notasi:
- Fourier Transform: $F [x (t)] = X (ω) = \int_{- \infty}^{\infty} x (t) e^{- j ω t} d t$ $\mathcal{F}[ x(t)] = X(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-j\omega t}dt$
- (Waktu) Fungsi Korelasi-Otomatis: $R (τ) = x (τ) * x (- τ) = \int_{- \infty}^{\infty} x (t) x (t + τ) d t$ $R(\tau) = x(\tau) * x(-\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)x(t + \tau)dt$
Mari kita buktikan bahwa Transformasi Fourier dari fungsi Korelasi Otomatis memang sama dengan kepadatan Spektrum Daya sinyal sinyal stokastik kita . $x(t)$

F [R (τ)] = \int_{- \infty}^{\infty} R (τ) e^{- j ω τ} d τ

$\mathcal{F}[ R(\tau)]= \int_{-\infty}^{\infty} R(\tau)e^{-j\omega \tau}d\tau$

= \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} x (t) x (t + τ) e^{- j ω τ} d t d τ

$= \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} x(t)x(t + \tau) e^{-j\omega \tau} dtd\tau$

= \int_{- \infty}^{\infty} x (t) \underset{F [x (t + τ)] = X (ω) e^{j ω t}}{\underset{⏟}{\int_{- \infty}^{\infty} x (t + τ) e^{- j ω τ} d τ}} d t

$= \int_{-\infty}^{\infty}x(t) \underbrace{\int_{-\infty}^{\infty} x(t + \tau) e^{-j\omega \tau} d\tau}_{\mathcal{F}[x(t + \tau) ] = X(\omega)e^{j\omega t}} dt$

= X (ω) \int_{- \infty}^{\infty} x (t) e^{j ω t} d t

$= X(\omega) {\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{j\omega t} dt}$

= X (ω) X^{*} (ω) = | X (ω) |^{2}

$= X(\omega)X^*(\omega)= |X(\omega)|^2$

Apa artinya semua itu? Catatan: Penjelasan ini agak "retas". Tapi ini dia

$\mathcal{F}[x(t)]$

Bagaimana jika Anda mengambil Transformasi Nilai Fourier yang Diharapkan? Ini tidak akan berhasil. Sebagai contoh, mari kita ambil sinyal nol berarti.

E {F [x (t)]} = F [E {x (t)}] = 0

$\mathbb{E}\{ \mathcal{F}[x(t)] \} = \mathcal{F}[\mathbb{E}\{ x(t) \}] = 0$

Sebaliknya, bagaimana jika Anda mengambil transformasi Fourier dari kuadrat sinyal.

E {F [x^{2} (t)]} = F [\underset{Av. Kekuatan Sinyal}{\underset{⏟}{E {x^{2} (t)}}}]

$\mathbb{E}\{ \mathcal{F}[x^2(t)] \} = \mathcal{F}[\underbrace{\mathbb{E}\{ x^2(t) \}}_{\text{Av. Power of the Signal}}]$

Fungsi autokorelasi pada dasarnya adalah $P(t)$ yang Anda singgung.

Referensi:

[1] Komunikasi 1, PL. Dragotti, Imperial College London

[2] White Noise and Estimation, F. Tobar [Unpublished Report]

— ssk08
sumber

Fantastic Explanation! A small calculus question - are you able to interchange the

d t

$dt$ and the

d τ

$d\tau$ inside the double integrals, only because their limits are both from -

\infty

$\infty$ to +

\infty

$\infty$ ?

— Spacey

yes that's right.

— ssk08

Okay, I think that I kind of get it. I can see how the fourier transform is related to autocorrelation. I don't really understand, though, what the issue is with taking the fourier transform of

x (t)

$x(t)$ or

x^{2} (t)

$x^2(t)$ . I don't really see why the expected value needs to be taken (I know it averages it, but I don't know why that is necessary) and I don't really understand what you mean by 'for every realisation of the random process, you will have different expressions for'. If you could elaborate a little, that'd be great! Thank you for your time!

— user968243

@user968243 As far as the "for every realization" part, think of it this way: Your original signal, lets say length

N

$N$ , that you want to find the PSD for, is a random vector. So it is a vector with

N

$N$ components. Now, since this is a random vector, every time you 'roll the dice', you get different values for its components. One possibility might be [3 4 1 9 ...]. Another possibility might be [2.9 4.2 1.1 9.02...]. This is what he means when he says, "For every realization of a random process, (your vector), you get different expressions for" (the fourier transform. Make sense?

— Spacey

@Mohammad summed it up perfectly.

— ssk08

Nice derivation but I think you can do this even easier

Auto correlation $r(t) = x(t)*x(-t)$ , it's the convolution of the signal with it's time flipped self.

Convolution in the time domain is multiplication in the frequency domain.

Time flip in the time domain is "complex conjugate" in the frequency domain.

Hence we get

R (ω) = F {r (t)} = F {x (t)} F {x (- t)} = X (ω) X^{*} (ω) = | X (ω) |^{2} = P S D

$R(\omega) = \mathcal{F}\{r(t)\} = \mathcal{F}\{x(t)\}\mathcal{F}\{x(-t)\} = X(\omega) X^*(\omega) = |X(\omega)|^2 = PSD$

— Hilmar
sumber

Isn't the auto-correlation the convolution of the signal with it's complex conjugate, time-flipped self?

— Jim Clay

I think he is assuming that the signal is real.

— ssk08

@Jim & ssk08: you are both correct, of course. Thanks for cleaning up the equations.

— Hilmar

Penjelasan PSD (Power spectral density)

Fungsi autokorelasi pada dasarnya adalah P( t )P(t)P(t) yang Anda singgung.

Fungsi autokorelasi pada dasarnya adalah $P(t)$ yang Anda singgung.