Apa tanggapan fase dan besarnya noise putih?

Saya ingin membuat white noise di domain frekuensi, dan kemudian mengubahnya ke domain waktu menggunakan python. Untuk memahami masalahnya, saya hanya menghasilkan white noise di domain waktu, dan mengubahnya menjadi domain freq:

import scipy.signal as sg
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

e = np.random.normal(0,1,1e3)
E = sg.fft(e)

plt.figure("Bode plot")
plt.subplot(211)
plt.title("Magitude")
plt.plot(abs(E))
plt.subplot(212)
plt.title("Phase")
plt.plot(np.angle(E))
plt.show()

Saya tidak melihat sama sekali seperti yang saya harapkan: Bode plot white noise Pertanyaan:

Bukankah white noise seharusnya memiliki respons yang besar? (jumlah yang sama untuk semua frekuensi)
Apa hubungan antara deviasi standar (1 dalam contoh saya) dan besarnya dan fase?

Terima kasih sebelumnya!

fft noise python

— Uffe
sumber

Bukankah white noise seharusnya memiliki respons yang besar? (jumlah yang sama untuk semua frekuensi)

The diharapkan besarnya respons dari white noise adalah datar (ini adalah apa JasonR menyebut spektral daya density). Contoh tertentu dari urutan derau putih tidak akan memiliki respons datar (inilah yang disebut komentar JasonR sebagai spektrum daya).

Faktanya, transformasi Fourier dari white noise adalah ... white noise!

Apa hubungan antara deviasi standar (1 dalam contoh saya) dan besarnya dan fase?

$n(t)$ $\sigma$

R_{n n} (τ) = E [n (t) n (t + τ)] = σ^{2} δ (τ)

$R_{nn}(\tau) = E[n(t)n(t+\tau)] = \sigma^2\delta(\tau)$

$\sigma^2$

Pertanyaan dari komentar:

Ketika Anda mengatakan bahwa transformasi Fourier juga white noise, bagaimana saya bisa mengukur std-dev ketika transformasi kompleks? Nyata, bagian imajiner atau kombinasi?

$n[m]$ $\sigma^2$

\begin{array}{rcl} N [k] & = & \sum_{m = 0}^{M. - 1} n [m] e^{- j 2 π m k / M.} \\ = & \sum_{m = 0}^{M. - 1} n [m] \cos (2 π m k / M.) + j n [m] dosa (2 π m k / M.) \end{array}

$\begin{eqnarray} N[k] &=& \sum_{m=0}^{M-1} n[m] e^{-j2\pi mk/M} \\ &=& \sum_{m=0}^{M-1} n[m] \cos(2\pi mk/M) + j n[m] \sin(2\pi mk/M) \end{eqnarray}$

dan nilai yang diharapkan adalah:

\begin{array}{rcl} E [N [k]] & = & E [\sum_{m = 0}^{M. - 1} n [m] e^{- j 2 π m k / M.}] \\ = & \sum_{m = 0}^{M. - 1} E [n [m]] e^{- j 2 π m k / M.} \\ = & 0 \end{array}

$\begin{eqnarray} E\left[N[k]\right] &=& E\left[\sum_{m=0}^{M-1} n[m] e^{-j2\pi mk/M} \right]\\ &=& \sum_{m=0}^{M-1} E\left[n[m]\right] e^{-j2\pi mk/M} \\ &=& 0 \end{eqnarray}$

Varian dari bagian nyata diberikan oleh:

\begin{array}{rcl} E [(ℜ N [k])^{2}] & = & E [\sum_{m = 0}^{M. - 1} n [m] \cos (2 π m k / M.) \cdot \sum_{hal = 0}^{M. - 1} n [hal] \cos (2 π hal k / M.)] \\ = & E [\sum_{m = 0}^{M. - 1} \sum_{hal = 0}^{M. - 1} n [m] n [hal] δ [n - hal] \cos (2 π m k / M.) \cos (2 π hal k / M.)] \\ = & \sum_{m = 0}^{M. - 1} E [n [m]^{2}] \cos^{2} (2 π m k / M.) \\ = & σ^{2} \sum_{m = 0}^{M. - 1} \cos^{2} (2 π m k / M.) \\ = & σ^{2} (\frac{M.}{2} + \frac{\cos (M. + 1) 2 π k / M. dosa (2 π M. k / M.)}{2 dosa (2 π k / M.)}) \\ = & \frac{σ^{2} M.}{2} \end{array}

$\begin{eqnarray} E\left[ (\Re N[k])^2 \right] &=& E \left [ \sum_{m=0}^{M-1} n[m] \cos(2\pi mk/M) \cdot \sum_{p=0}^{M-1} n[p] \cos(2\pi pk/M) \right ]\\ &=& E\left[ \sum_{m=0}^{M-1} \sum_{p=0}^{M-1} n[m]n[p] \delta[n-p] \cos(2\pi mk/M)\cos(2\pi pk/M) \right]\\ &=& \sum_{m=0}^{M-1} E\left[ n[m]^2 \right]\cos^2(2\pi mk/M)\\ &=& \sigma^2\sum_{m=0}^{M-1} \cos^2(2\pi mk/M)\\ &=& \sigma^2 \left( \frac{M}{2} + \frac{\cos(M+1) 2\pi k/M \sin(2\pi Mk/M) }{ 2 \sin (2\pi k/M) } \ \ \ \right)\\ &=& \frac{\sigma^2 M}{2} \end{eqnarray}$

Saya percaya bagian imajiner akan berperilaku dengan cara yang sama.

Bisakah Anda menjelaskan kepada saya bagaimana durasi sinyal berkaitan dengan kepadatan spektral daya (untuk situasi waktu diskrit)

Saya percaya bahwa (berdasarkan derivasi di atas), kepadatan spektral daya (nilai yang diharapkan dari kuadrat DFT) akan skala secara linear sebagai durasi.

Jika fase tidak terpengaruh oleh std-dev, apa yang menentukan amplitudo 3 derajat, dan jenis distribusinya (tampaknya seragam daripada normal)

Lihat tabel di halaman 2 file PDF ini . ia mengatakan bahwa argumen (fase) dari koefisien akan terdistribusi secara seragam, seperti yang Anda nyatakan. Cuplikan layar tabel termasuk di bawah ini.

masukkan deskripsi gambar di sini

— Peter K.
sumber

Secara khusus, dua konsep yang membingungkan OP adalah kepadatan spektral daya white noise dan spektrum daya dari satu realisasi tertentu dari proses acak white noise.

— Jason R

Terima kasih! Saya punya beberapa pertanyaan lanjutan. 1: Ketika Anda mengatakan bahwa transformasi Fourier juga white noise, bagaimana saya bisa mengukur std-dev ketika transformasi itu kompleks? Nyata, bagian imajiner atau kombinasi? 2: Bisakah Anda menjelaskan kepada saya bagaimana durasi sinyal berkaitan dengan kepadatan spektral daya (untuk situasi waktu diskrit) 3: Jika fase tidak terpengaruh oleh std-dev, apa yang menentukan amplitudo 3 derajat, dan jenis dari distribusi (tampaknya seragam daripada normal)

— Uffe

Sempurna! Ini menjelaskan semua fitur respons frekuensi. Sekarang jelas bagi saya bahwa amplitudo fase bukan 3, tetapi

π

$\pi$ , dan bahwa std-dev dari bagian nyata dan imajiner hanya tergantung pada jumlah elemen dalam vektor. Saya juga dapat mengkonfirmasi, dengan percobaan, bahwa bagian imajiner juga memiliki varian

\frac{σ^{2} M}{2}

$\frac{\sigma^2 M}{2}$ .

— Uffe

Ini adalah tautan saat ini ke dokumen PDF yang dirujuk di atas ( radarsp.weebly.com/uploads/2/1/4/7/21471216/dft_of_noise.pdf ), yang rusak.

— Tamu

@Tamu Terima kasih! Di masa depan, coba edit jawaban dengan tautan baru. Itu tidak akan langsung karena perlu ditinjau oleh pengguna yang lebih tinggi, tetapi itu akan sampai di sana (dan membuat Anda +2 perwakilan dalam proses).

— Peter K.