Mengapa menambahkan versi waktu yang tertunda dari sinyal itu sendiri membuat sinyal yang difilter?

9

Saya ditanya pertanyaan ini dan tidak dapat memberikan jawaban di tempat yang tidak melibatkan domain frekuensi (pada dasarnya bahwa koefisien dari urutan penundaan adalah respons impuls filter FIR).

Adakah yang punya wawasan yang membuat proses ini 'jelas'?

filters

— Tom Kealy
sumber

9

Ketika Anda menunda sinyal oleh detik dan menambahkannya ke sinyal itu sendiri, Anda membatalkan keluar atau nulling komponen sinyal pada frekuensi $T$ Hz karena komponen sinyal akan berubah fase dengan tepat: $\frac{1}{2T}$ $\pi$ Hal serupa terjadi pada kelipatan ganjil

\begin{aligned} dosa (2 π \frac{1}{2 T} t + θ) + dosa (2 π \frac{1}{2 T} (t - T) + θ) & = dosa (2 π \frac{1}{2 T} t + θ) + dosa (2 π \frac{1}{2 T} t + θ - π) \\ = dosa (2 π \frac{1}{2 T} t + θ) + dosa (2 π \frac{1}{2 T} t + θ) \cos (π) \\ - \cos (2 π \frac{1}{2 T} t + θ) dosa (π) \\ = dosa (2 π \frac{1}{2 T} t + θ) - dosa (2 π \frac{1}{2 T} t + θ) - 0 \\ = 0. \end{aligned}

$\begin{align} \sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right) + \sin\left(2\pi\frac{1}{2T}(t-T) + \theta\right) &= \sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right) + \sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta - \pi\right)\\ &= \sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right) +\sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right)\cos(\pi)\\ &\ \hspace{0.2in}-\cos\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right)\sin(\pi)\\ &= \sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right) -\sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right)-0\\ &= 0. \end{align}$

Hz juga. Untuk frekuensi terdekat, pembatalan tidak selengkap, dan tentu saja, bahkan pada kelipatan

\frac{1}{2 T}

$\frac{1}{2T}$

Hz, komponen sinyal nilainya dua kali lipat bukannya dibatalkan. Demikian pula, jika sinyal yang tertunda berkurang dalam amplitudo, pembatalan tidak lengkap pada

\frac{1}{2 T}

$\frac{1}{2T}$

Hz dll.

\frac{1}{2 T}

$\frac{1}{2T}$

Untuk meringkas, sinyal tersebut disaring karena frekuensi yang berbeda sedang melewati dengan keuntungan yang berbeda.

Jika Anda menginginkan penjelasan domain frekuensi, fungsi transfer sistem adalah transformasi Fourier dari apa yang diberikan jawaban Matt sebagai respons impuls, yaitu. yang merupakan fungsi tidak konstan dari (pada kenyataannya, bervariasi secara sinusoidal dari maksimum $H(f)$

F [δ (t) + δ (t - T)] = 1 + \exp (- j 2 π f T)

$\mathcal F\left[\delta(t) + \delta(t-T)\right] = 1+\exp(-j2\pi fT)$

f

$f$

| H (f) |

$|H(f)|$

2

$2$ ke minimum

seperti dibahas di atas), dan jadi

bukan kelipatan skalar dari

. Penyaringan!

0

$0$

Y (f) = H (f) X (f)

$Y(f)=H(f)X(f)$

X (f)

$X(f)$

— Dilip Sarwate
sumber

Maaf atas keterlambatan - bagaimana saya akan pergi dari sini (bahwa penyaringan adalah gangguan) untuk keperluan bahwa penyaringan adalah konvolusi dari dua sinyal? Saya dapat melihatnya (secara aljabar) dari jumlah dua rumus cosinus, tetapi saya tidak dapat menjelaskan alasannya.

— Tom Kealy

Tolong jelaskan apa yang Anda maksud dengan "pemfilteran adalah gangguan". Saya tidak mengerti gagasan ini sama sekali

— Dilip Sarwate

Ya, kita baru saja menetapkan (atau sudahkah kita?) Bahwa menambahkan dua sinyal bersama-sama dengan fase yang berbeda sama dengan menyaring dengan penundaan waktu karena gelombang mengganggu. Bagaimana saya pergi (dalam domain waktu) dari sana ke konvolusi?

— Tom Kealy

x (t) + x (t - T) = y (t)

$x(t)+x(t-T) = y(t)$

h (t) = δ (t) + δ (t - T)

$h(t) = \delta(t)+\delta(t-T)$

x (t)

$x(t)$

y (t) = x ⋆ h = \int_{- \infty}^{\infty} x (t - kamu) h (kamu) d kamu = \int_{- \infty}^{\infty} x (t - kamu) [δ (kamu) + δ (kamu - T)] d kamu

$y(t) = x\star h = \int_{-\infty}^\infty x(t-u)h(u)\,du = \int_{-\infty}^\infty x(t-u)[\delta(u)+\delta(u-T)]\,du$

x (t) + x (t - T)

$x(t)+x(t-T)$

6

$h(t)$

h (t) = δ (t) + δ (t - T)

$h(t) = \delta(t) + \delta(t-T)$

T

$T$

— Matt L.
sumber

4

Jika waktu tunda versi tambahan sinyal yang tertunda tepat satu siklus dari setiap konten periodik, maka output akan meningkat secara aditif. Jika keterlambatan tepat setengah periode komponen sinusoidal apa pun, maka komponen itu akan mengganggu secara destruktif, dan dengan demikian menjadi nol-ed dari output. Jika penundaannya nol, maka sinyal akan berlipat ganda. Untuk kombinasi frekuensi / fase yang berada di antara interferensi destruktif lengkap atau penambahan lengkap, hasil aditif juga akan berada di antaranya.

Menambah dan mengurangi output tergantung pada konten frekuensi input penyaringan yang umum.

— hotpaw2
sumber