Kondisi untuk matriks pendahuluan untuk mempertahankan simetri konjugat kompleks pada vektor DFT

10

Misalkan ada vektor DFT dengan panjang N, yang menyajikan simetri konjugat kompleks di sekitar titik tengahnya, yaitu , dan seterusnya sebagainya dan masing-masing adalah frekuensi DC dan Nyquist, oleh karena itu adalah bilangan real. Elemen yang tersisa rumit. $\mathbf{X}$ $X(1) = X(N-1)^*$ $X(2) = X(N - 2)^*$ $X(0)$ $X(N/2)$

Sekarang, misalkan ada matriks , dengan ukuran , yang mengalikan vektor X. $\mathbf{T}$ $N \times N$

\begin{aligned} Y = T X \end{aligned}

$\begin{align} \mathbf{Y} = \mathbf{T}\mathbf{X} \end{align}$

Pertanyaannya adalah:

Dalam kondisi apa, untuk matriks , simetri konjugat kompleks di sekitar titik tengah vektor dihasilkan dipertahankan? $\mathbf{T}$ $\mathbf{Y}$

Motivasi untuk pertanyaan ini adalah mencoba untuk menghasilkan matriks prekoder yang menghasilkan simbol pra-disamakan (pra-disamakan) yang IFFT-nya nyata. $\mathbf{T}$ $\mathbf{Y}$

EDIT:

Terima kasih @MattL. dan @niaren. Kesulitan tentang pertanyaan ini adalah menemukan kondisi yang diperlukan. Jawaban Matt memang cukup. Ini juga cukup untuk membuat modifikasi berikut:

Baris pertama dan kolom pertama tidak harus nol. Alih-alih, mereka bisa saja bukan nol, selama nilainya menghadirkan simetri konjugasi kompleks di sekitar titik tengah, nilai pertamanya adalah nyata dan nilai -nya nyata, persis seperti simbol. Hal yang sama dapat dinyatakan untuk kolom -th, baris -th, dan diagonal utama. $(N/2+1)$ $(N/2+1)$ $(N/2+1)$

Kedua, korespondensi yang sama antara matriks di sudut kiri atas dan sudut kanan bawah dapat dibuat antara sudut kanan atas dan sudut kiri bawah, yaitu, memilih matriks mulai dari hingga , flip dari kiri ke kanan, flip terbalik dan ambil konjugat, lalu letakkan di sudut kiri bawah. Pada MATLAB, itu akan menjadi: $(N/2 -1)\times(N/2-1)$ $t_{2,N/2 + 2}$ $t_{N/2,N}$

T(N/2+2:N,2:N/2) = conj(fliplr(flipud(Tisi(2:(N/2),N/2+2:N))))

Struktur ini mirip dengan struktur matriks DFT. Apakah itu syarat yang perlu?

EDIT (2):

Kode berikut mengimplementasikan operator yang valid untuk setiap matriks bernilai riil : $N \times N$ $\mathbf{A}$

N = 8;  
A = rand(N,N); %must be real-valued  
w = exp(-1j*2*pi/N); % twiddle factor  
W = w.^(repmat(0:N-1,N,1).*repmat(0:N-1,N,1).'); % DFT matrix  
T = W*A*W'

EDIT (3):

Menarik juga untuk dicatat bahwa menyajikan kondisi yang cukup juga. Ini berasal dari fakta bahwa: $\mathbf{T}^{-1}$

manaadalah matriks DFT.

\begin{aligned} T^{- 1} & = {(W A W^{H})}^{- 1} \\ = {(W^{H})}^{- 1} A^{- 1} W^{- 1} \end{aligned}

$\begin{align} \mathbf{T}^{-1} &= \mathbf{\left(W A W^{H}\right)}^{-1}\\ &= \mathbf{\left(W^{H}\right)}^{-1} \mathbf{A}^{-1} \mathbf{W}^{-1} \end{align}$

W

$\mathbf{W}$

Karena . Persamaan ini menjadi: $\mathbf{W^{H}} = N\mathbf{W}^{-1}$

\begin{aligned} T^{- 1} & = {(N W^{- 1})}^{- 1} A^{- 1} \frac{1}{N} W^{H} \\ = W A^{- 1} W^{H} \end{aligned}

$\begin{align} \mathbf{T}^{-1} &= \left(N\mathbf{W}^{-1}\right)^{-1} \mathbf{A}^{-1} \frac{1}{N}\mathbf{W^{H}}\\ &= \mathbf{W} \mathbf{A}^{-1} \mathbf{W^{H}} \end{align}$

$\mathbf{A}^{-1}$ $\mathbf{A}$ $\mathbf{T}^{-1}$

dft equalization linear-algebra

— igorauad
sumber

T

$\mathbf{T}$

Y

$\mathbf{Y}$

Tentu, saya setuju dengan itu.

— igorauad

1

$\bf{T}$ $a_{N-n+1,N-m+1} = a^*_{n,m}$ $N-n+1$ $\bf{T}$ $N=4$

$T_4 = \left[ \begin{smallmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24} \\ a^*_{24}&a^*_{23}&a^*_{22}&a^*_{21} \\ a^*_{14}&a^*_{13}&a^*_{12}&a^*_{11}\end{smallmatrix} \right]$

Saya yakin seseorang akan datang dengan jawaban yang lebih baik dan lebih tepat.

— niaren
sumber

Y

$\mathbf{Y}$

T

$\mathbf{T}$

X

$\mathbf{X}$

1

Saya meninggalkannya sebagai latihan bagi OP untuk mengisi dua baris batuk itu . Tapi saya tidak melihat bagaimana Anda sampai pada kesimpulan bahwa hanya matriks diagonal akan bekerja (tidak mengatakan bahwa Anda salah).

— niaren

Aku mungkin memang salah. Ketika saya memiliki lebih banyak waktu saya akan memikirkannya lagi ... Mari kita katakan seperti ini: matriks diagonal (dengan simetri konjugat) akan bekerja dalam hal apa pun.

— Matt L.

-1

$\mathbf{T}$ $\mathbf{X}$

$\mathbf{T}$ $t_{11}$ $t_{N/2+1,N/2+1}$ $t_{11}$ $t_{22}$ $t_{N/2,N/2}$ $(N/2-1)\times (N/2-1)$ $\mathbf{T}$ $\mathbf{T}$

— Matt L.
sumber