Misalkan ada vektor DFT dengan panjang N, yang menyajikan simetri konjugat kompleks di sekitar titik tengahnya, yaitu X ( 1 ) = X ( N - 1 ) ∗ , X ( 2 ) = X ( N - 2 ) ∗ dan seterusnya sebagainya X ( 0 ) dan X ( N / 2 ) masing-masing adalah frekuensi DC dan Nyquist, oleh karena itu adalah bilangan real. Elemen yang tersisa rumit.
Sekarang, misalkan ada matriks , dengan ukuran N × N , yang mengalikan vektor X.
Pertanyaannya adalah:
Dalam kondisi apa, untuk matriks , simetri konjugat kompleks di sekitar titik tengah vektor Y yang dihasilkan dipertahankan?
Motivasi untuk pertanyaan ini adalah mencoba untuk menghasilkan matriks prekoder yang menghasilkan simbol Y pra-disamakan (pra-disamakan) yang IFFT-nya nyata.
EDIT:
Terima kasih @MattL. dan @niaren. Kesulitan tentang pertanyaan ini adalah menemukan kondisi yang diperlukan. Jawaban Matt memang cukup. Ini juga cukup untuk membuat modifikasi berikut:
Baris pertama dan kolom pertama tidak harus nol. Alih-alih, mereka bisa saja bukan nol, selama nilainya menghadirkan simetri konjugasi kompleks di sekitar titik tengah, nilai pertamanya adalah nyata dan nilai -nya nyata, persis seperti simbol. Hal yang sama dapat dinyatakan untuk kolom ( N / 2 + 1 ) -th, baris ( N / 2 + 1 ) -th, dan diagonal utama.
Kedua, korespondensi yang sama antara matriks di sudut kiri atas dan sudut kanan bawah dapat dibuat antara sudut kanan atas dan sudut kiri bawah, yaitu, memilih matriks mulai dari t 2 , N / 2 + 2 hingga t N / 2 , N , flip dari kiri ke kanan, flip terbalik dan ambil konjugat, lalu letakkan di sudut kiri bawah. Pada MATLAB, itu akan menjadi:
T(N/2+2:N,2:N/2) = conj(fliplr(flipud(Tisi(2:(N/2),N/2+2:N))))
Struktur ini mirip dengan struktur matriks DFT. Apakah itu syarat yang perlu?
EDIT (2):
Kode berikut mengimplementasikan operator yang valid untuk setiap matriks A bernilai riil :
N = 8;
A = rand(N,N); %must be real-valued
w = exp(-1j*2*pi/N); % twiddle factor
W = w.^(repmat(0:N-1,N,1).*repmat(0:N-1,N,1).'); % DFT matrix
T = W*A*W'
EDIT (3):
Menarik juga untuk dicatat bahwa menyajikan kondisi yang cukup juga. Ini berasal dari fakta bahwa:
manaWadalah matriks DFT.
Karena . Persamaan ini menjadi: