Alat matematika apa yang ada untuk memahami suara termodulasi?

Misalkan kita memiliki sinyal yang terdiri dari Gaussian white noise. Jika kita memodulasi sinyal ini dengan mengalikannya dengan , sinyal yang dihasilkan masih memiliki spektrum daya putih, tetapi jelas suara sekarang "berkumpul" dalam waktu. Ini adalah contoh dari proses cyclostationary . $n$ $\sin 2\omega t$

x (t) = n (t) dosa 2 ω t

$x(t) = n(t) \sin2\omega t$

Misalkan kita sekarang mendemodulasi sinyal ini pada frekuensi dengan mencampurkan dengan osilator lokal sinus dan kosinus, membentuk sinyal I dan Q: $\omega$

saya = x (t) \times dosa ω t

$I = x(t) \times \sin\omega t$

Q = x (t) \times \cos ω t

$Q = x(t) \times \cos\omega t$

Mengamati secara naif bahwa spektrum daya (diambil pada interval waktu yang jauh lebih besar dari ) adalah putih, kita berharap dan keduanya mengandung noise Gaussian putih dengan amplitudo yang sama. Namun, apa yang sebenarnya terjadi adalah bahwa quadrature selektif sampel bagian dari deret waktu dengan varians tinggi, sementara , sembilan puluh derajat keluar dari fase, sampel yang lebih rendah bagian varians: $x(t)$ $1/f$ $I$ $Q$ $I$ $x(t)$ $Q$

penggambaran kebisingan yang dimodulasi

Hasilnya adalah bahwa kepadatan kebisingan spektral di I adalah kali dari . $\sqrt{3}$ $Q$

Jelas harus ada sesuatu di luar spektrum daya yang berguna dalam menggambarkan kebisingan termodulasi. Literatur dari bidang saya memiliki sejumlah makalah yang dapat diakses yang menggambarkan proses di atas, tetapi saya ingin belajar bagaimana hal itu diperlakukan secara lebih umum oleh komunitas pemrosesan sinyal / EE.

Apa sajakah alat matematika yang berguna untuk memahami dan memanipulasi kebisingan cyclostationary? Referensi literatur juga akan dihargai.

Referensi:

Niebauer et al, "Kebisingan tembakan non-stasioner dan pengaruhnya terhadap sensitivitas interferometer". Phys Pdt. A 43, 5022-5029 .

noise modulation cyclostationary-random-process

— nibot
sumber

Untuk mendapatkan hasil yang Anda tunjukkan, demodulator Anda harus turun dengan frekuensi operator yang sama, , bukan hanya .

2 ω

$2 \omega$

ω

$\omega\$

— Jason R

@Jason R, Ah, saya melihat saya membuat kesalahan dengan modulasi . Itu karena kesalahan dalam mengubah dari Poisson noise ke Gaussian noise.

2 ω

$2\omega$

— nibot

Saya tidak yakin secara spesifik apa yang Anda cari di sini. Noise biasanya digambarkan melalui kerapatan spektral kekuatannya, atau fungsi autokorelasi ekivalennya; fungsi autokorelasi dari proses acak dan PSD-nya adalah pasangan transformasi Fourier. White noise, misalnya, memiliki autokorelasi impulsif; ini berubah menjadi spektrum daya datar dalam domain Fourier.

Contoh Anda (walaupun agak tidak praktis) analog dengan penerima komunikasi yang mengamati white noise yang dimodulasi oleh operator pada frekuensi pembawa . Penerima contoh cukup beruntung, karena memiliki osilator yang koheren dengan pemancar; tidak ada offset fasa antara sinusoid yang dihasilkan pada modulator dan demodulator, memungkinkan untuk kemungkinan "downconversion" sempurna ke baseband. Ini tidak praktis sendiri; ada banyak struktur untuk penerima komunikasi yang koheren. Namun, noise biasanya dimodelkan sebagai elemen aditif dari saluran komunikasi yang tidak berkorelasi dengan sinyal termodulasi yang ingin dipulihkan oleh penerima; $2 \omega$

Dengan demikian, dengan melihat matematika di belakang contoh Anda dapat menjelaskan pengamatan Anda. Untuk mendapatkan hasil yang Anda gambarkan (setidaknya dalam pertanyaan awal), modulator dan demodulator memiliki osilator yang beroperasi pada frekuensi dan fase referensi yang sama. Modulator menghasilkan yang berikut:

\begin{aligned} n (t) & \sim N (0, σ^{2}) \\ x (t) & = n (t) dosa (2 ω t) \end{aligned}

$\begin{align} n(t) &\sim \mathcal{N}(0, \sigma^2) \\ x(t) & = n(t) \sin(2\omega t) \end{align}$

Penerima menghasilkan sinyal I dan Q yang dikonversi ke bawah sebagai berikut:

\begin{aligned} I (t) & = x (t) \sin (2 ω t) = n (t) \sin^{2} (2 ω t) \\ Q (t) & = x (t) \cos (2 ω t) = n (t) \sin (2 ω t) \cos (2 ω t) \end{aligned}

$\begin{align} I(t) &= x(t) \sin(2 \omega t) = n(t) \sin^2(2 \omega t)\\ Q(t) &= x(t) \cos(2 \omega t) = n(t) \sin(2 \omega t) \cos(2 \omega t) \end{align}$

Beberapa identitas trigonometri dapat membantu menyempurnakan dan lagi: $I(t)$ $Q(t)$

\begin{aligned} {dosa}^{2} (2 ω t) & = \frac{1 - \cos (4 ω t)}{2} \\ \sin (2 ω t) \cos (2 ω t) & = \frac{\sin (4 ω t) + \sin (0)}{2} = \frac{1}{2} \sin (4 ω t) \end{aligned}

$\begin{align} \sin^2(2 \omega t) &= \frac{1 - \cos(4 \omega t)}{2}\\ \sin(2 \omega t) \cos(2 \omega t) &= \frac{\sin(4 \omega t) + \sin(0)}{2} = \frac{1}{2} \sin(4 \omega t) \end{align}$

Sekarang kita dapat menulis ulang pasangan sinyal yang dikonversi menjadi:

\begin{aligned} I (t) & = n (t) \frac{1 - \cos (4 ω t)}{2} \\ Q (t) & = \frac{1}{2} n (t) \sin (4 ω t) \end{aligned}

$\begin{align} I(t) &= n(t) \frac{1 - \cos(4 \omega t)}{2}\\ Q(t) &= \frac{1}{2} n(t) \sin(4 \omega t) \end{align}$

Bunyi input nol-rata-rata, jadi dan juga nol-rata-rata. Ini berarti varians mereka adalah: $I(t)$ $Q(t)$

\begin{aligned} σ_{I (t)}^{2} & = E (I^{2} (t)) = E (n^{2} (t) {[\frac{1 - \cos (4 ω t)}{2}]}^{2}) = E (n^{2} (t)) E ({[\frac{1 - \cos (4 ω t)}{2}]}^{2}) \\ σ_{Q (t)}^{2} & = E (Q^{2} (t)) = E (n^{2} (t) \sin^{2} (4 ω t)) = E (n^{2} (t)) E (\sin^{2} (4 ω t)) \end{aligned}

$\begin{align} \sigma^{2}_{I(t)} &= \mathbb{E}(I^2(t)) = \mathbb{E}\left(n^2(t) \left[\frac{1 - \cos(4 \omega t)}{2}\right]^2\right) = \mathbb{E}\left(n^2(t)\right) \mathbb{E}\left(\left[\frac{1 - \cos(4 \omega t)}{2}\right]^2\right) \\ \sigma^{2}_{Q(t)} &= \mathbb{E}(Q^2(t)) = \mathbb{E}\left(n^2(t) \sin^2(4 \omega t)\right) = \mathbb{E}\left(n^2(t)\right) \mathbb{E}\left(\sin^2(4 \omega t)\right) \end{align}$

Anda mencatat rasio antara varian dan dalam pertanyaan Anda. Ini dapat disederhanakan untuk: $I(t)$ $Q(t)$

\frac{σ_{I (t)}^{2}}{σ_{Q (t)}^{2}} = \frac{E ({[\frac{1 - \cos (4 ω t)}{2}]}^{2})}{E (\sin^{2} (4 ω t))}

$\frac{\sigma^{2}_{I(t)}}{\sigma^{2}_{Q(t)}} = \frac{\mathbb{E}\left(\left[\frac{1 - \cos(4 \omega t)}{2}\right]^2\right)}{\mathbb{E}\left(\sin^2(4 \omega t)\right)}$

Harapan diambil dari proses acak variabel waktu . Karena fungsinya deterministik dan periodik, ini sebenarnya hanya setara dengan nilai rata-rata kuadrat dari masing-masing fungsi sinusoidal selama satu periode; untuk nilai yang ditampilkan di sini, Anda mendapatkan rasio , seperti yang Anda catat. Fakta bahwa Anda mendapatkan lebih banyak kekuatan noise di saluran I adalah artefak noise yang dimodulasi secara koheren (yaitu dalam fase) dengan referensi sinusoidal dari demodulator itu sendiri. Berdasarkan matematika yang mendasarinya, hasil ini diharapkan. Namun, seperti yang saya nyatakan sebelumnya, situasi seperti ini tidak tipikal. $n(t)$ $t$ $\sqrt 3$

Meskipun Anda tidak langsung bertanya tentang hal itu, saya ingin mencatat bahwa jenis operasi ini (modulasi oleh pembawa sinusoidal diikuti dengan demodulasi reproduksi pembawa yang identik atau hampir identik) adalah blok bangunan mendasar dalam sistem komunikasi. Akan tetapi, penerima komunikasi nyata akan memasukkan langkah tambahan setelah demodulasi pembawa: filter lowpass untuk menghapus komponen sinyal I dan Q pada frekuensi . Jika kita menghilangkan komponen frekuensi pembawa ganda, rasio energi I ke energi Q terlihat seperti: $4 \omega$

\frac{σ_{saya (t)}^{2}}{σ_{Q (t)}^{2}} = \frac{E ((\frac{1}{2})^{2})}{E (0)} = \infty

$\frac{\sigma^{2}_{I(t)}}{\sigma^{2}_{Q(t)}} = \frac{\mathbb{E}\left((\frac{1}{2})^2\right)}{\mathbb{E}(0)} = \infty$

Ini adalah tujuan dari penerima modulasi quadrature yang koheren: sinyal yang ditempatkan di saluran fase (I) dibawa ke sinyal I penerima tanpa kebocoran ke sinyal quadrature (Q).

Sunting: Saya ingin membahas komentar Anda di bawah ini. Untuk penerima quadrature, frekuensi pembawa dalam banyak kasus akan berada di pusat bandwidth sinyal yang ditransmisikan, jadi alih-alih menjadi terbatas pada frekuensi pembawa , sinyal komunikasi yang khas akan menjadi bandpass selama interval , di mana adalah bandwidth modulasinya. Penerima quadrature bertujuan untuk mengkonversi sinyal ke baseband sebagai langkah awal; ini dapat dilakukan dengan memperlakukan saluran I dan Q sebagai komponen nyata dan imajiner dari sinyal bernilai kompleks untuk langkah analisis selanjutnya. $\omega\$ $[\omega - \frac{B}{2}, \omega + \frac{B}{2}]$ $B$

Berkenaan dengan komentar Anda pada statistik orde kedua dari cyclostationary , Anda memiliki kesalahan. Sifat siklostasioner dari sinyal ditangkap dalam fungsi autokorelasi. Biarkan fungsinya menjadi : $x(t)$ $R(t, \tau)$

R (t, τ) = E (x (t) x (t - τ))

$R(t, \tau) = \mathbb{E}(x(t)x(t - \tau))$

R (t, τ) = E (n (t) n (t - τ) \sin (2 ω t) \sin (2 ω (t - τ)))

$R(t, \tau) = \mathbb{E}(n(t)n(t - \tau) \sin(2 \omega t) \sin(2 \omega(t - \tau)))$

R (t, τ) = E (n (t) n (t - τ)) \sin (2 ω t) \sin (2 ω (t - τ))

$R(t, \tau) = \mathbb{E}(n(t)n(t - \tau)) \sin(2 \omega t) \sin(2 \omega(t - \tau))$

Karena putihnya proses noise asli , ekspektasi (dan karenanya seluruh sisi kanan persamaan) adalah nol untuk semua nilai bukan nol dari . $n(t)$ $\tau$

R (t, τ) = σ^{2} δ (τ) \sin^{2} (2 ω t)

$R(t, \tau) = \sigma^2 \delta(\tau) \sin^2(2 \omega t)$

Autokorelasi bukan lagi sekadar dorongan sederhana pada titik nol; sebaliknya, itu adalah varian waktu dan periodik karena faktor penskalaan sinusoidal. Ini menyebabkan fenomena yang awalnya Anda amati, yaitu ada periode "varians tinggi" di dan periode lain di mana variansnya lebih rendah. Periode "varians tinggi" dipilih dengan mendemodulasi oleh sinusoid yang koheren dengan yang digunakan untuk memodulasi, yang masuk akal. $x(t)$

— Jason R
sumber

Re: "Ini adalah tujuan dari penerima modulasi quadrature koheren ..." - ini benar hanya jika sinyal asli terbatas pada frekuensi kurang dari frekuensi pembawa, bukan?

— nibot

Re: "Noise biasanya digambarkan melalui kerapatan spektral kekuatannya, atau ekuivalen dengan fungsi autokorelasi". Derau siklostasioner ini ( ) berwarna putih spektral dan memiliki fungsi autokorelasi, sama seperti derau Gaussian biasa (stasioner). Saya mencari deskripsi yang merangkum sifat cyclostationary-nya.

n (t) \cdot \sin ω t

$n(t)\cdot\sin\omega t$

δ (t)

$\delta(t)$

— nibot

Saya mengedit jawaban untuk berbicara tentang dua komentar Anda.

— Jason R

@ Jason, postingan bagus. Namun saya mencoba memahami, bagian di mana Anda berbicara tentang proses cyclostationarity. Saya mengalami kesulitan memahami mengapa 't' di sini adalah fungsi R ... - setelah operator ekspektasi, tidak ada variabel 't' (waktu) lagi ... hanya fungsi tau.

— Spacey

@Jason nevermind, saya baru menyadari 't' harus ada di sana karena statistik berubah seiring waktu, (meskipun secara siklis), dan karenanya fungsi autocorr juga akan menjadi fungsi waktu dan penundaan ... tapi apa yang saya tidak mengerti di kasus ini adalah bagaimana Anda mendapatkan delta * sin ^ 2 ... apakah ini menjamin pertanyaan aktual bagi saya untuk dikirim?

— Spacey