Mengambil nilai maksimum dari rentang dalam array yang tidak disortir


9

Saya memiliki array yang tidak disortir . Saya memiliki pertanyaan di mana saya memberikan rentang dan kemudian nilai maksimum dari rentang itu harus dikembalikan. Sebagai contoh:

array[]={23,17,9,45,78,2,4,6,90,1};
query(both inclusive): 2 6
answer: 78

Algoritme atau struktur data mana yang saya buat untuk dengan cepat mengambil nilai maksimum dari rentang apa pun. (Ada banyak pertanyaan)

EDIT: Ini memang versi sederhana dari masalah aktual. Saya dapat memiliki ukuran array sebesar 100000 dan jumlah permintaan hingga 100000. Jadi saya pasti memerlukan beberapa preprocessing yang akan memfasilitasi respon permintaan yang cepat.


5
Mengapa tidak disortir? Masalahnya sepele jika diurutkan, jadi pendekatan yang jelas adalah mengurutkannya.

1
@delnan Tanpa mekanisme tambahan, Anda kehilangan jejak nilai mana yang semula berada dalam kisaran yang akan ditanyakan ...
Thijs van Dien

Tentukan seluruh masalah Anda. Jika pengetahuan ini (atau informasi lain) penting, seseorang harus tahu untuk memasukkan faktor itu ke dalam solusi.

1
Apakah saya melewatkan sesuatu, atau apakah ini hanya masalah mengunjungi item 2 hingga 6 dan menemukan nilai maksimum dari elemen-elemen itu?
Blrfl

@ Blrfl: Saya rasa Anda tidak melewatkan apa pun, kecuali mungkin bagian tentang banyak pertanyaan. Tidak terlalu jelas apakah ada gunanya membangun struktur yang membuat kueri secara substansial lebih murah daripada pencarian berurutan. (Meskipun tidak ada banyak gunanya mengajukan pertanyaan di sini jika itu bukan idenya.)
Mike Sherrill 'Cat Recall'

Jawaban:


14

Saya pikir Anda bisa membangun semacam pohon biner di mana setiap node mewakili nilai maksimum anak-anaknya:

            78           
     45            78     
  23    45     78      6  
23 17  9 45   78 2    4 6   

Maka Anda hanya perlu menemukan cara untuk menentukan node mana yang paling tidak perlu Anda periksa untuk menemukan nilai maksimum dalam rentang yang ditanyakan. Dalam contoh ini, untuk mendapatkan nilai maksimum dalam rentang indeks [2, 6](inklusif) yang Anda miliki max(45, 78, 4)sebagai gantinya max(9, 45, 78, 2, 4). Saat pohon tumbuh, keuntungannya akan lebih besar.


1
Agar ini berfungsi, ada informasi yang hilang dari pohon contoh Anda: Setiap simpul internal harus memiliki maksimum, dan jumlah total simpul anak yang dimilikinya. Kalau tidak, pencarian tidak memiliki cara untuk mengetahui bahwa (misalnya) tidak perlu melihat semua anak-anak 78(dan melewatkan 2), karena untuk semua yang tahu indeks 6ada di subtree itu.
Izkata

Kalau tidak, +1 karena menurut saya ini agak inventif
Izkata

+1: Ini adalah teknik yang kuat untuk menjawab pertanyaan tentang subrange daftar dalam log (N) waktu, dapat digunakan setiap kali data di simpul akar dapat dihitung dalam waktu yang konstan dari data pada anak-anak.
kevin cline

Gagasan ini luar biasa. Ini memberi O (logn) waktu permintaan. Saya pikir @Izkata membuat poin yang bagus juga. Kita dapat menambah simpul pohon dengan informasi tentang rentang kiri dan kanan yang dicakupnya. Jadi diberi rentang, ia tahu bagaimana membagi masalah menjadi dua. Dari segi ruang, semua data disimpan di tingkat daun. Jadi itu membutuhkan 2 * N ruang, yaitu O (N) untuk menyimpan. Saya tidak tahu apa itu pohon segmen, tetapi apakah ini ide di balik pohon segmen?
Kay

Dan dalam hal preprocessing, dibutuhkan O (n) untuk membangun pohon.
Kay

2

Untuk melengkapi jawaban ngoaho91.

Cara terbaik untuk mengatasi masalah ini adalah menggunakan struktur data Segment Tree. Ini memungkinkan Anda untuk menjawab pertanyaan seperti di O (log (n)), itu berarti kompleksitas total algoritma Anda akan menjadi O (Q logn) di mana Q adalah jumlah permintaan. Jika Anda menggunakan algoritma naif, kompleksitas totalnya adalah O (Q n) yang jelas lebih lambat.

Namun, ada kelemahan dari penggunaan Pohon Segmen. Membutuhkan banyak memori, tetapi seringkali Anda tidak terlalu peduli dengan memori daripada kecepatan.

Saya akan menjelaskan secara singkat algoritma yang digunakan oleh DS ini:

Pohon segmen hanya kasus khusus dari Pohon Pencarian Biner, di mana setiap node memegang nilai rentang itu ditugaskan. Simpul root, diberikan kisaran [0, n]. Anak kiri diberi kisaran [0, (0 + n) / 2] dan anak kanan [(0 + n) / 2 + 1, n]. Dengan cara ini pohon akan dibangun.

Buat Pohon :

/*
    A[] -> array of original values
    tree[] -> Segment Tree Data Structure.
    node -> the node we are actually in: remember left child is 2*node, right child is 2*node+1
    a, b -> The limits of the actual array. This is used because we are dealing
                with a recursive function.
*/

int tree[SIZE];

void build_tree(vector<int> A, int node, int a, int b) {
    if (a == b) { // We get to a simple element
        tree[node] = A[a]; // This node stores the only value
    }
    else {
        int leftChild, rightChild, middle;
        leftChild = 2*node;
        rightChild = 2*node+1; // Or leftChild+1
        middle = (a+b) / 2;
        build_tree(A, leftChild, a, middle); // Recursively build the tree in the left child
        build_tree(A, rightChild, middle+1, b); // Recursively build the tree in the right child

        tree[node] = max(tree[leftChild], tree[rightChild]); // The Value of the actual node, 
                                                            //is the max of both of the children.
    }
}

Pohon Permintaan

int query(int node, int a, int b, int p, int q) {
    if (b < p || a > q) // The actual range is outside this range
        return -INF; // Return a negative big number. Can you figure out why?
    else if (p >= a && b >= q) // Query inside the range
        return tree[node];
    int l, r, m;
    l = 2*node;
    r = l+1;
    m = (a+b) / 2;
    return max(query(l, a, m, p, q), query(r, m+1, b, p, q)); // Return the max of querying both children.
}

Jika Anda perlu penjelasan lebih lanjut, beri tahu saya.

BTW, Segment Tree juga mendukung pembaruan elemen tunggal atau serangkaian elemen di O (log n)


apa kerumitan mengisi pohon itu?
Pieter B

Anda harus melalui semua elemen, dan O(log(n))setiap elemen harus ditambahkan ke pohon. Oleh karena itu, kompleksitas totalnya adalahO(nlog(n))
Andrés

1

Algoritma terbaik adalah dalam waktu O (n) seperti di bawah ini mari kita mulai, akhir menjadi indeks batas jangkauan

int findMax(int[] a, start, end) {
   max = Integer.MIN; // initialize to minimum Integer

   for(int i=start; i <= end; i++) 
      if ( a[i] > max )
         max = a[i];

   return max; 
}

4
-1 untuk sekadar mengulangi algoritma yang OP coba tingkatkan.
kevin cline

1
+1 untuk memposting solusi untuk masalah yang disebutkan. Ini benar-benar satu-satunya cara untuk melakukannya jika Anda memiliki array dan tidak tahu batas apa yang akan menjadi apriori . (Meskipun saya akan menginisialisasi maxuntuk a[i]dan memulai forlingkaran di i+1.)
Blrfl

@ kevincline Ini bukan hanya ulangan - ini juga mengatakan "Ya, Anda sudah memiliki algoritma terbaik untuk tugas ini", dengan perbaikan kecil (melompat ke start, berhenti di end). Dan saya setuju, ini adalah yang terbaik untuk pencarian satu kali. Jawaban @ ThijsvanDien hanya lebih baik jika pencarian akan terjadi beberapa kali, karena dibutuhkan waktu lebih lama untuk mengatur awalnya.
Izkata

Memang, pada saat memposting jawaban ini, pertanyaannya tidak termasuk suntingan yang mengkonfirmasi bahwa ia akan melakukan banyak pertanyaan atas data yang sama.
Izkata

1

Solusi berbasis pohon biner / segmen pohon memang menunjuk ke arah yang benar. Orang mungkin keberatan bahwa mereka membutuhkan banyak memori tambahan. Ada dua solusi untuk masalah ini:

  1. Gunakan struktur data implisit alih-alih pohon biner
  2. Gunakan pohon M-ary alih-alih pohon biner

Poin pertama adalah bahwa karena pohon sangat terstruktur, Anda dapat menggunakan struktur seperti tumpukan untuk secara implisit mendefinisikan pohon daripada mewakili pohon dengan node, pointer kiri dan kanan, interval dll. Itu menghemat banyak memori dengan dasarnya tidak ada hit kinerja - Anda perlu melakukan aritmatika pointer sedikit lebih.

Poin kedua adalah bahwa, dengan biaya sedikit lebih banyak pekerjaan selama evaluasi, Anda dapat menggunakan pohon M-ary daripada pohon biner. Misalnya jika Anda menggunakan pohon 3-ary Anda akan menghitung maks 3 elemen sekaligus, lalu 9 elemen sekaligus, kemudian 27, dll. Penyimpanan tambahan yang diperlukan adalah N / (M-1) - Anda dapat buktikan menggunakan rumus deret geometri. Jika Anda memilih M = 11, misalnya, Anda akan membutuhkan 1/10 penyimpanan metode pohon biner.

Anda dapat memverifikasi bahwa implementasi naif dan dioptimalkan ini di Python memberikan hasil yang sama:

class RangeQuerier(object):
    #The naive way
    def __init__(self):
        pass

    def set_array(self,arr):
        #Set, and preprocess
        self.arr = arr

    def query(self,l,r):
        try:
            return max(self.arr[l:r])
        except ValueError:
            return None

vs.

class RangeQuerierMultiLevel(object):
    def __init__(self):
        self.arrs = []
        self.sub_factor = 3
        self.len_ = 0

    def set_array(self,arr):
        #Set, and preprocess
        tgt = arr
        self.len_ = len(tgt)
        self.arrs.append(arr)
        while len(tgt) > 1:
            tgt = self.maxify_one_array(tgt)
            self.arrs.append(tgt)

    def maxify_one_array(self,arr):
        sub_arr = []
        themax = float('-inf')
        for i,el in enumerate(arr):
            themax = max(el,themax)
            if i % self.sub_factor == self.sub_factor - 1:
                sub_arr.append(themax)
                themax = float('-inf')
        return sub_arr

    def query(self,l,r,level=None):
        if level is None:
            level = len(self.arrs)-1

        if r <= l:
            return None

        int_size = self.sub_factor ** level 

        lhs,mid,rhs = (float('-inf'),float('-inf'),float('-inf'))

        #Check if there's an imperfect match on the left hand side
        if l % int_size != 0:
            lnew = int(ceil(l/float(int_size)))*int_size
            lhs = self.query(l,min(lnew,r),level-1)
            l = lnew
        #Check if there's an imperfect match on the right hand side
        if r % int_size != 0:
            rnew = int(floor(r/float(int_size)))*int_size
            rhs = self.query(max(rnew,l),r,level-1)
            r = rnew

        if r > l:
            #Handle the middle elements
            mid = max(self.arrs[level][l/int_size:r/int_size])
        return max(max(lhs,mid),rhs)

0

coba "segmen pohon" struktur data
ada 2 langkah
build_tree () O (n)
permintaan (int min, int max) O (nlogn)

http://en.wikipedia.org/wiki/Segment_tree

edit:

kalian tidak membaca wiki yang saya kirim!

algoritma ini adalah:
- Anda melintasi array 1 kali untuk membangun pohon. O (n)
- 10.000.000 berikutnya + kali Anda ingin tahu maks dari setiap bagian dari array, panggil saja fungsi permintaan. O (logn) untuk setiap kueri
- c ++ implementasikan di sini geeksforgeeks.org/segment-tree-set-1-range-minimum-query/
algoritma lama adalah:
setiap kueri, cukup lintasi area yang dipilih dan temukan.

jadi, jika Anda akan menggunakan algoritma ini untuk memproses sekali, OK, itu lebih lambat daripada cara lama. tetapi jika Anda akan memproses sejumlah besar query (miliar), itu sangat efisien Anda dapat menghasilkan file teks seperti ini, untuk uji

baris 1: 50.000 nomor acak 0-1.000.000, split oleh '(space)' (itu array)
baris 2: 2 angka acak dari 1 hingga 50.000, dibagi dengan '(spasi)' (ini permintaan)
...
baris 200000: suka baris 2, itu juga kueri acak

ini adalah contoh masalah, maaf tapi ini dalam bahasa Vietnam
http://vn.spoj.com/problems/NKLINEUP/
jika Anda menyelesaikannya dengan cara lama, Anda tidak akan pernah lulus.


3
Saya pikir itu tidak relevan. Pohon interval memegang interval, bukan bilangan bulat, dan operasi yang mereka ijinkan terlihat tidak seperti yang diminta OP. Anda bisa, tentu saja, menghasilkan semua interval yang mungkin dan menyimpannya dalam pohon interval, tetapi (1) ada banyak dari mereka secara eksponensial, jadi ini tidak skala, dan (2) operasi masih tidak terlihat seperti OP apa meminta.

kesalahan saya, maksud saya segmen pohon, bukan interval pohon.
ngoaho91

Menarik, saya pikir saya belum pernah menemukan pohon ini! IIUC ini masih membutuhkan penyimpanan semua interval yang mungkin, meskipun. Saya pikir ada O (n ^ 2) dari mereka, yang agak mahal. (Juga, bukankah seharusnya kueri menjadi O (log n + k) untuk hasil k?

ya, void build_tree () harus melewati lintas array. dan menyimpan nilai maks (atau minimum) untuk setiap node. tetapi dalam banyak kasus, biaya memori tidak penting daripada kecepatan.
ngoaho91

2
Saya tidak bisa membayangkan ini menjadi lebih cepat daripada O(n)pencarian sederhana dari array, seperti yang dijelaskan dalam jawaban tarun_telang. Insting pertama adalah yang O(log n + k)lebih cepat daripada O(n), tetapi O(log n + k)hanya pengambilan sub-array - setara dengan O(1)akses array mengingat titik awal dan akhir. Anda masih perlu melewatinya untuk menemukan yang maksimal.
Izkata

0

Anda dapat mencapai O (1) per kueri (dengan O (n log n) konstruksi) menggunakan struktur data yang disebut tabel jarang. Untuk setiap kekuatan 2 mari kita simpan maksimum untuk setiap segmen sepanjang ini. Sekarang diberikan segmen [l, r) Anda mendapatkan maksimum maksimum pada [l + 2 ^ k) dan [r-2 ^ k, r) untuk k yang sesuai. Mereka tumpang tindih tapi tidak apa-apa

Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.