Solusi untuk kesalahan pembulatan floating point

18

Dalam membangun aplikasi yang berhubungan dengan banyak perhitungan matematis, saya telah menemui masalah bahwa angka-angka tertentu menyebabkan kesalahan pembulatan.

Meskipun saya mengerti bahwa floating point tidak tepat , masalahnya adalah bagaimana cara saya menangani angka yang tepat untuk memastikan bahwa ketika perhitungan dilakukan pada mereka, floating point rounding tidak menyebabkan masalah?

floating-point numeric-precision

— JNL
sumber

2

Apakah ada masalah khusus yang Anda hadapi? Ada banyak cara untuk melakukan pengujian, baik untuk beberapa masalah. Pertanyaan yang memiliki banyak jawaban tidak cocok untuk format tanya jawab. Akan lebih baik jika Anda bisa mendefinisikan masalah yang Anda miliki dengan cara yang bisa memiliki satu jawaban yang benar daripada melemparkan jaring untuk ide dan rekomendasi.

Saya membangun Aplikasi Perangkat Lunak dengan banyak perhitungan matematika. Saya mengerti pengujian NUNIT atau JUNIT akan bagus, tetapi akan senang memiliki ide tentang bagaimana mendekati masalah dengan Matematika Calulation.

— JNL

1

Bisakah Anda memberikan contoh perhitungan yang akan Anda uji? Satu biasanya bukan unit yang menguji matematika mentah (kecuali Anda menguji tipe numerik Anda sendiri), tetapi menguji sesuatu seperti distanceTraveled(startVel, duration, acceleration)akan diuji.

Salah satu contoh akan berurusan dengan poin desimal. Sebagai contoh, katakanlah kita sedang membangun dinding dengan pengaturan khusus untuk dist x-0 hingga x = 14,589 dan kemudian beberapa pengaturan dari x = 14,589 ke x = ujung dinding. Jarak 0,589 ketika dikonversi menjadi biner tidak sama .... Terutama jika kita menambahkan beberapa jarak ... seperti 14,589 + 0,25 tidak akan sama dengan 14,84 dalam biner .... Saya harap ini tidak membingungkan?

— JNL

1

@MichaelT terima kasih telah mengedit Pertanyaan. Banyak membantu. Karena saya baru dalam hal ini, tidak terlalu baik tentang bagaimana membingkai pertanyaan. :) ... Tapi akan segera baik.

— JNL

22

Ada tiga pendekatan mendasar untuk membuat jenis numerik alternatif yang bebas dari pembulatan titik mengambang. Tema umum dengan ini adalah bahwa mereka menggunakan bilangan bulat matematika sebagai gantinya dalam berbagai cara.

Rasional

Mewakili angka sebagai bagian keseluruhan dan angka rasional dengan pembilang dan penyebut. Jumlahnya 15.589akan direpresentasikan sebagai w: 15; n: 589; d:1000.

Ketika ditambahkan ke 0,25 (yaitu w: 0; n: 1; d: 4), ini melibatkan menghitung LCM, dan kemudian menambahkan dua angka. Ini berfungsi baik untuk banyak situasi, meskipun dapat menghasilkan angka yang sangat besar ketika Anda bekerja dengan banyak angka rasional yang relatif prima satu sama lain.

Titik pasti

Anda memiliki seluruh bagian, dan bagian desimal. Semua angka dibulatkan (ada kata itu - tetapi Anda tahu di mana itu) dengan presisi itu. Misalnya, Anda bisa memiliki titik tetap dengan 3 titik desimal. 15.589+ 0.250menjadi menambahkan 589 + 250 % 1000untuk bagian desimal (dan kemudian semua carry ke seluruh bagian). Ini berfungsi sangat baik dengan database yang ada. Seperti disebutkan, ada pembulatan tetapi Anda tahu di mana itu dan dapat menentukannya sedemikian rupa sehingga lebih tepat daripada yang dibutuhkan (Anda hanya mengukur sampai 3 titik desimal, jadi buatlah tetap 4).

Mengambang titik tetap

Menyimpan nilai dan presisi. 15.589disimpan sebagai 15589untuk nilai dan 3untuk presisi, sementara 0.25disimpan sebagai 25dan 2. Ini dapat menangani presisi sewenang-wenang. Saya percaya inilah yang digunakan oleh internal BigDecimal Java (belum melihatnya baru-baru ini). Pada titik tertentu, Anda ingin mengeluarkannya dari format ini dan menampilkannya - dan itu mungkin melibatkan pembulatan (sekali lagi, Anda mengontrol di mana itu berada).

Setelah Anda menentukan pilihan untuk representasi, Anda bisa menemukan perpustakaan pihak ketiga yang ada yang menggunakan ini, atau menulis sendiri. Saat menulis sendiri, pastikan untuk mengujinya dan pastikan Anda melakukan perhitungan dengan benar.

2

Itu awal yang baik, tapi tentu saja itu tidak sepenuhnya menyelesaikan masalah pembulatan. Bilangan irasional seperti π, e dan √2 tidak memiliki representasi numerik; Anda perlu mewakilinya secara simbolis jika Anda menginginkan representasi yang tepat, atau mengevaluasi mereka selambat mungkin jika Anda hanya ingin meminimalkan kesalahan pembulatan.

— Caleb

@ Caleb untuk orang yang irasional perlu mengevaluasinya di mana pembulatan dapat menyebabkan masalah. Misalnya, 22/7 akurat hingga 0,1% dari pi, 355/113 akurat hingga 10 ^ -8. Jika Anda hanya bekerja dengan angka ke 3 tempat desimal, memiliki 3.141592653 harus menghindari kesalahan pembulatan di 3 tempat desimal.

@MichaelT: Untuk penambahan bilangan rasional Anda tidak perlu menemukan LCM dan lebih cepat tidak (dan lebih cepat membatalkan "LSB nol" setelahnya, dan hanya akan sepenuhnya menyederhanakan bila benar-benar diperlukan). Untuk bilangan rasional pada umumnya biasanya hanya "pembilang / penyebut" saja, atau "pembilang / penyebut << eksponen" (dan bukan "seluruh bagian + pembilang / penyebut"). Juga "floating point tetap" Anda adalah representasi floating point, dan akan lebih baik digambarkan sebagai "floating point ukuran arbitrer" (untuk membedakannya dari "floating point ukuran tetap").

— Brendan

beberapa terminologi Anda agak rapuh - titik tetap mengambang tidak masuk akal - saya pikir Anda mencoba mengatakan desimal mengambang.

— jk.

10

Jika nilai floating point memiliki masalah pembulatan, dan Anda tidak ingin harus mengalami masalah pembulatan, secara logis mengikuti bahwa satu-satunya tindakan adalah tidak menggunakan nilai floating point.

Sekarang pertanyaannya menjadi, "bagaimana saya melakukan matematika yang melibatkan nilai-nilai non-integer tanpa variabel floating point?" Jawabannya adalah dengan tipe data presisi arbitrer . Perhitungannya lebih lambat karena harus diimplementasikan dalam perangkat lunak, bukan dalam perangkat keras, tetapi akurat. Anda tidak mengatakan bahasa apa yang Anda gunakan, jadi saya tidak bisa merekomendasikan paket, tetapi ada pustaka presisi sewenang-wenang yang tersedia untuk sebagian besar bahasa pemrograman populer.

— Mason Wheeler
sumber

Saya menggunakan VC ++ sekarang ... Tapi saya akan sangat menghargai informasi lebih lanjut mengenai bahasa pemrograman lain juga.

— JNL

Bahkan tanpa nilai floating point Anda masih akan mengalami masalah bulat.

— Chad

2

@Chad Benar, tetapi tujuannya bukan untuk menghilangkan masalah pembulatan (yang akan selalu ada, karena di basis apa pun yang Anda gunakan ada beberapa angka yang tidak memiliki representasi yang tepat, dan Anda tidak memiliki memori tak terbatas dan daya pemrosesan), itu untuk kurangi sampai tidak berpengaruh dalam perhitungan yang Anda coba lakukan.

— Iker

@Iker Anda benar. Meskipun Anda, orang yang mengajukan pertanyaan tidak menentukan perhitungan apa yang sebenarnya ingin mereka capai dan ketepatan yang mereka inginkan. Dia perlu menjawab pertanyaan itu terlebih dahulu sebelum melompat ke teori bilangan. Hanya mengatakan lot of mathematical calculationstidak membantu atau jawaban yang diberikan. Dalam sebagian besar kasus (jika Anda tidak berurusan dengan mata uang) maka float harus cukup.

— Chad

@Chad itu poin yang adil, tentu saja tidak ada cukup data dari OP untuk mengetahui apa sebenarnya tingkat presisi yang mereka butuhkan.

— Iker

7

Aritmatika titik apung biasanya cukup tepat (15 digit desimal untuk a double) dan cukup fleksibel. Masalah muncul ketika Anda melakukan matematika yang secara signifikan mengurangi jumlah digit ketepatan. Berikut ini beberapa contohnya:

Pembatalan pada pengurangan:, 1234567890.12345 - 1234567890.12300hasilnya 0.0045hanya memiliki dua digit desimal presisi. Ini menyerang setiap kali Anda mengurangi dua angka yang sama besarnya.
Menelan presisi: 1234567890.12345 + 0.123456789012345dievaluasi hingga 1234567890.24691, sepuluh digit terakhir dari operan kedua hilang.
Perkalian: Jika Anda mengalikan dua angka 15 digit, hasilnya memiliki 30 digit yang perlu disimpan. Tetapi Anda tidak dapat menyimpannya, sehingga 15 bit terakhir hilang. Ini sangat menjengkelkan bila dikombinasikan dengan sqrt()(seperti pada sqrt(x*x + y*y): Hasilnya hanya akan memiliki 7,5 digit presisi.

Ini adalah perangkap utama yang perlu Anda waspadai. Dan begitu Anda menyadarinya, Anda dapat mencoba merumuskan matematika Anda dengan cara yang menghindari mereka. Sebagai contoh, jika Anda perlu menambah nilai berulang-ulang dalam satu lingkaran, jangan lakukan ini:

for(double f = f0; f < f1; f += df) {

Setelah beberapa iterasi, bagian yang lebih besar fakan menelan presisi df. Lebih buruk lagi, kesalahan akan bertambah, mengarah ke situasi kontraintuitif yang lebih kecil dfdapat menyebabkan hasil keseluruhan yang lebih buruk. Lebih baik tulis ini:

for(int i = 0; i < (f1 - f0)/df; i++) {
    double f = f0 + i*df;

Karena Anda menggabungkan kenaikan dalam satu perkalian tunggal, hasilnya fakan tepat hingga 15 digit desimal.

Ini hanya contoh, ada cara lain untuk menghindari kehilangan presisi karena alasan lain. Tetapi sudah banyak yang membantu untuk berpikir tentang besarnya nilai-nilai yang terlibat, dan untuk membayangkan apa yang akan terjadi jika Anda mengerjakan matematika Anda dengan pena dan kertas, membulatkan ke jumlah digit tetap setelah setiap langkah.

— cmaster - mengembalikan monica
sumber

2

Cara memastikan bahwa Anda tidak memiliki masalah: Pelajari tentang masalah aritmatika floating-point, atau pekerjakan seseorang yang memiliki masalah, atau gunakan akal sehat.

Masalah pertama adalah presisi. Dalam banyak bahasa Anda memiliki "float" dan "double" (singkatan ganda untuk "double precision"), dan dalam banyak kasus "float" memberi Anda presisi sekitar 7 digit, sementara double memberi Anda 15. Akal sehat adalah bahwa jika Anda memiliki situasi di mana presisi mungkin menjadi masalah, 15 digit jauh lebih baik daripada 7 digit. Dalam banyak situasi yang sedikit bermasalah, menggunakan "ganda" berarti Anda berhasil, dan "melayang" berarti Anda tidak melakukannya. Katakanlah kapitalisasi pasar perusahaan adalah 700 miliar dolar. Hasilkan ini dalam float, dan bit terendah adalah $ 65536. Sebutkan menggunakan ganda, dan bit terendah adalah sekitar 0,012 sen. Jadi kecuali Anda benar-benar tahu apa yang Anda lakukan, Anda menggunakan double, bukan float.

Masalah kedua lebih merupakan masalah prinsip. Jika Anda melakukan dua perhitungan berbeda yang harus memberikan hasil yang sama, mereka sering tidak melakukannya karena kesalahan pembulatan. Dua hasil yang harus sama akan "hampir sama". Jika dua hasil berdekatan, maka nilai sebenarnya mungkin sama. Atau mungkin juga tidak. Anda harus mengingatnya dan harus menulis dan menggunakan fungsi yang mengatakan "x jelas lebih besar dari y" atau "x jelas lebih kecil dari y" atau "x dan y mungkin sama".

Masalah ini menjadi jauh lebih buruk jika Anda menggunakan pembulatan, misalnya "bulat x ke bilangan bulat terdekat". Jika Anda mengalikan 120 * 0,05, hasilnya harus 6, tetapi yang Anda dapatkan adalah "beberapa angka sangat dekat dengan 6". Jika Anda kemudian "membulatkan ke bilangan bulat terdekat", "angka yang sangat dekat dengan 6" mungkin "sedikit kurang dari 6" dan dibulatkan menjadi 5. Dan perhatikan bahwa tidak masalah seberapa presisi yang Anda miliki. Tidak masalah seberapa dekat dengan 6 hasil Anda, asalkan kurang dari 6.

Dan ketiga, beberapa masalah sulit . Itu berarti tidak ada aturan yang cepat dan mudah. Jika kompiler Anda mendukung "long double" dengan lebih presisi Anda dapat menggunakan "long double" dan melihat apakah ada bedanya. Jika tidak ada bedanya, berarti Anda baik-baik saja, atau Anda memiliki masalah yang sangat rumit. Jika itu membuat perbedaan yang Anda harapkan (seperti perubahan pada desimal ke-12) maka Anda cenderung baik-baik saja. Jika itu benar-benar mengubah hasil Anda, maka Anda memiliki masalah. Meminta bantuan.

— gnasher729
sumber

1

Tidak ada "akal sehat" tentang matematika floating point.

— whatsisname

Pelajari lebih lanjut tentang itu.

— gnasher729

0

Kebanyakan orang membuat kesalahan ketika mereka melihat dua kali lipat mereka menjerit BigDecimal, padahal sebenarnya mereka baru saja memindahkan masalah ke tempat lain. Dobel memberi Tanda bit: 1 bit, Lebar eksponen: 11 bit. Presisi signifikan dan signifikan: 53 bit (52 disimpan secara eksplisit). Karena sifat ganda, semakin besar interger Anda kehilangan akurasi relatif. Untuk menghitung akurasi relatif yang kami gunakan di sini adalah di bawah.

Keakuratan relatif ganda dalam perhitungan kami menggunakan foluma 2 ^ E <= abs (X) <2 ^ (E + 1)

epsilon = 2 ^ (E-10)% Untuk pelampung 16-bit (setengah presisi)

 Accuracy Power | Accuracy -/+| Maximum Power | Max Interger Value
 2^-1           | 0.5         | 2^51          | 2.2518E+15
 2^-5           | 0.03125     | 2^47          | 1.40737E+14
 2^-10          | 0.000976563 | 2^42          | 4.39805E+12
 2^-15          | 3.05176E-05 | 2^37          | 1.37439E+11
 2^-20          | 9.53674E-07 | 2^32          | 4294967296
 2^-25          | 2.98023E-08 | 2^27          | 134217728
 2^-30          | 9.31323E-10 | 2^22          | 4194304
 2^-35          | 2.91038E-11 | 2^17          | 131072
 2^-40          | 9.09495E-13 | 2^12          | 4096
 2^-45          | 2.84217E-14 | 2^7           | 128
 2^-50          | 8.88178E-16 | 2^2           | 4

Dengan kata lain Jika Anda menginginkan Akurasi +/- 0,5 (atau 2 ^ -1), ukuran maksimum angka tersebut adalah 2 ^ 52. Lebih besar dari ini dan jarak antara angka floating point lebih besar dari 0,5.

Jika Anda menginginkan keakuratan +/- 0,0005 (sekitar 2 ^ -11), ukuran maksimum angka tersebut adalah 2 ^ 42. Lebih besar dari ini dan jarak antara angka floating point lebih besar dari 0,0005.

Saya tidak bisa memberikan jawaban yang lebih baik dari ini. Pengguna akan perlu mencari tahu presisi apa yang mereka inginkan ketika melakukan perhitungan yang diperlukan dan nilai unit mereka (Meter, Kaki, Inci, mm, cm). Untuk sebagian besar kasus, float akan cukup untuk simulasi sederhana tergantung pada skala dunia yang ingin Anda tiru.

Meskipun itu sesuatu yang bisa dikatakan, jika Anda hanya ingin mensimulasikan dunia 100 meter kali 100 meter, Anda akan memiliki suatu tempat dalam urutan akurasi dekat 2 ^ -45. Ini bahkan tidak membahas bagaimana FPU modern di dalam cpu akan melakukan perhitungan di luar ukuran tipe asli dan hanya setelah perhitungan selesai mereka akan membulatkan (tergantung pada mode pembulatan FPU) ke ukuran tipe asli.

— Chad
sumber