Kapan seharusnya fungsi trigonometri, dengan argumen derajat, mengembalikan -0.0?

Dalam menciptakan fungsi trigonometri my_sind(d), my_cosd(d), my_tand(d), yang digunakan argumen gelar daripada satu radian dan memberikan jawaban yang tepat pada kelipatan 90, saya melihat bahwa hasilnya kadang-kadang -0.0bukan 0.0.

my_sind( 0.0) -->  0.0
my_sind(-0.0) --> -0.0

my_sind(180.0) --> -0.0
my_sind(360.0) -->  0.0

sin()dan tan()biasanya mengembalikan hasil tanda nol yang sama untuk input tanda nol yang diberikan. Masuk akal bahwa my_sin()harus cocok sin()dengan input tersebut.

my_sind( 0.0) alike sin( 0.0) -->  0.0
my_sind(-0.0) alike sin(-0.0) --> -0.0

Pertanyaannya adalah : untuk apa seluruh nomor non_zero_nharus / mungkin hasilnya pernah kembali -0.0untuk my_sind(180*non_zero_n), my_cosd(180*n + 180), my_tand(180*non_zero_n)?

Kode ini cukup mudah sehingga hanya f(-0.0)menghasilkan -0.0dan dilakukan dengan itu. Sederhana bertanya-tanya apakah ada alasan untuk membuat pengembalian lain untuk yang lain ( tidak nol ) dan pentingnya mengasuransikan tanda itu.f(x)-0.0x

Catatan: Ini bukan pertanyaan mengapa 0.0vs -0.0terjadi. Ini bukan mengapa cos(machine_pi/4)tidak kembali 0.0. Ini juga bukan pertanyaan tentang bagaimana mengendalikan generasi 0.0atau -0.0. Saya melihatnya sebagai pertanyaan desain.

Prinsip desain "kejutan terkecil" menunjukkan bahwa kita melihat fungsi yang telah ditetapkan sebelumnya untuk panduan. Dalam hal ini, fungsionalitas yang didirikan terdekat disediakan oleh sinpidan cospifungsi yang diperkenalkan dalam IEEE Std 754-2008 (Standar IEEE untuk Aritmatika Floating-Point), bagian 9. Fungsi-fungsi ini bukan bagian dari standar ISO C dan ISO C ++ saat ini, tetapi telah dimasukkan ke dalam perpustakaan matematika dari berbagai platform pemrograman, misalnya CUDA.

Fungsi-fungsi ini menghitung sin (πx) dan cos (πx), di mana multiplikasi dengan π terjadi secara implisit di dalam fungsi. tanpitidak didefinisikan, tetapi dapat, berdasarkan kesetaraan matematika, diasumsikan untuk menyediakan fungsionalitas sesuai dengan tanpi(x) = sinpi(x) / cospi(x).

Kita sekarang dapat menentukan sind(x) = sinpi(x/180), cosd(x) = cospi(x/180), tand(x) = tanpi(x/180)secara intuitif. Bagian 9.1.2 dari IEEE-754 menjabarkan penanganan argumen khusus untuk sinpidan cospi. Khususnya:

sinPi (+ n) adalah +0 dan sinPi (−n) adalah −0 untuk bilangan bulat positif n. Ini menyiratkan, dalam mode pembulatan yang sesuai, bahwa sinPi (−x) dan −sinPi (x) adalah angka yang sama (atau keduanya NaN) untuk semua x. cosPi (n + ½) adalah +0 untuk sembarang bilangan bulat ketika n + ½ mewakili.

Standar IEEE 754-2008 tidak memberikan alasan untuk persyaratan yang dikutip, namun, konsep awal dari bagian yang relevan menyatakan:

Jika nilai fungsi adalah nol, tanda 0 ini paling baik ditentukan dengan mempertimbangkan perpanjangan fungsi tanda dari fungsi matematika.

Pembacaan dari 754 Kelompok Kerja Arsip Surat dapat menghasilkan wawasan tambahan, saya belum punya waktu untuk menggali melalui itu. Menerapkan sind(),, cosd()dan tand()seperti dijelaskan di atas, kita sampai pada tabel contoh kasus ini:

SIND
 angle value 
  -540 -0
  -360 -0
  -180 -0
     0  0
   180  0
   360  0
   540  0

COSD
 angle value
  -630  0
  -450  0
  -270  0
   -90  0
    90  0
   270  0
   450  0

TAND
 angle value
  -540  0
  -360 -0
  -180  0
     0  0
   180 -0
   360  0
   540 -0

sin () dan tan () biasanya mengembalikan hasil tanda nol yang sama untuk input nol tanda yang diberikan

Secara umum ini bisa benar karena:

• Kecepatan / akurasi . Untuk ganda yang cukup kecil, jawaban terbaik sin(x)adalah x. Yaitu, untuk angka yang lebih kecil dari sekitar 1.49e-8, dobel paling dekat dengan sinus x sebenarnya x itu sendiri (lihat kode sumber glibc untuk sin () ).

• Penanganan kasus khusus .

  Beberapa operasi aritmatika yang luar biasa dipengaruhi oleh tanda nol; misalnya "1/(+0) = +inf"tetapi "1/(-0) = -inf". Untuk mempertahankan kegunaannya, bit tanda harus merambat melalui operasi aritmatika tertentu sesuai dengan aturan yang berasal dari pertimbangan kontinuitas.

  Implementasi fungsi transendental elementer seperti sin (z) dan tan (z) dan invers dan analog hiperboliknya, meskipun tidak ditentukan oleh standar IEEE, diharapkan mengikuti aturan yang sama. Implementasi sin(z) diharapkan mereproduksi tanda z serta nilainya diz = ±O .

  ^{( Pemotongan Cabang untuk Fungsi Dasar yang Kompleks atau Banyak yang Dikisahkan Tentang Nothing's Sign Bit oleh W. Kahan)}

  Nol yang ditandatangani secara negatif menggemakan konsep analisis matematika mendekati 0 dari bawah sebagai batas satu sisi (pertimbangkan 1 / sin(x): tanda nol membuat perbedaan besar).

EDIT

Mempertimbangkan poin kedua saya akan menulis my_sindsehingga:

my_sind(-0.0) is -0.0
my_sind(0.0) is 0.0

Standar C terbaru (F.10.1.6 sindan F.10.1.7 tan, implementasi dengan nol yang ditandatangani), menetapkan bahwa jika argumennya dikembalikan±0 , ia tidak dimodifikasi .

EDIT 2

Untuk nilai-nilai lain saya pikir ini masalah perkiraan. Diberikan M_PI<π:

0 = sin(π) < sin(M_PI) ≈ 1.2246467991473532e-16 ≈ +0.0
0 = sin(-π) > sin(-M_PI) ≈ -1.2246467991473532e-16 ≈ -0.0
0 = sin(2*π) > sin(2*M_PI) ≈ -2.4492935982947064e-16
0 = sin(-2*π) < sin(-2*M_PI) ≈ 2.4492935982947064e-16

Jadi jika my_sindmemberikan jawaban yang tepat pada kelipatan 180 ° dapat kembali +0.0atau -0.0(saya tidak melihat alasan yang jelas untuk lebih memilih satu daripada yang lain).

Jika my_sindmenggunakan beberapa perkiraan (misalnya degree * M_PI / 180.0rumus konversi), ia harus mempertimbangkan cara mendekati nilai kritis.

Perpustakaan tidak mencoba membedakan +0 dari -0. IEEE 754 khawatir sedikit tentang perbedaan ini ... Saya menemukan fungsi [dalam math.h] cukup sulit untuk menulis tanpa khawatir tentang tanda tidak ada. - PJ Plauger, The Standard C Library , 1992, halaman 128.

Secara formal, fungsi trigonometri harus mengembalikan tanda nol sesuai dengan standar C ... yang membuat perilaku tidak terdefinisi.

Dalam menghadapi perilaku yang tidak terdefinisi, prinsip paling tidak heran menyarankan duplikasi perilaku dari fungsi yang sesuai math.h. Ini bau dibenarkan, sementara menyimpang dari perilaku fungsi yang sesuai dalam math.hbau seperti cara untuk memperkenalkan bug ke dalam persis kode yang tergantung pada tanda nol.