Kompleksitas waktu 2 ^ sqrt (n)


11

Saya memecahkan pertanyaan algoritma dan analisis saya adalah bahwa itu akan berjalan pada O (2 ^ sqrt (n)). Seberapa besar itu? Apakah ini sama dengan O (2 ^ n)? Apakah ini masih waktu non-polinomial?


3
Silakan lakukan alasan komentar untuk memilih pertanyaan. Terima kasih!
Gaara

4
Sejujurnya, saya menduga orang salah mengira ini sebagai pertanyaan yang sangat sepele, tetapi tidak segera jelas bagi saya bagaimana membuktikannya, jadi saya akan menulis jawaban dan melihat apakah itu mengubah pikiran orang.
Ixrec

3
Waktu sub-eksponensial, definisi kedua, menurut artikel Wikipedia (Penafian: Saya tidak melakukan downvote; dan saya tidak cukup tahu tentang topik ini untuk mengatakan apakah ini benar atau tidak.)
rwong

1
Bagus! Waktu subeksponensial: "waktu berjalan beberapa algoritma dapat tumbuh lebih cepat daripada polinomial apa pun tetapi masih jauh lebih kecil daripada eksponensial". Ini pasti menjawab pertanyaan saya dan memperluas pengetahuan saya tentang analisis Big O. Terima kasih banyak
Gaara

1
Ini jauh lebih kecil dari O (2 ^ n), terutama untuk jumlah besar. Ambil contoh memiliki koleksi 10.000 elemen. 2 ^ 10.000 adalah angka dengan sekitar 3000 digit, itu adalah berapa banyak siklus yang diperlukan untuk melakukan operasi O (2 ^ n) di atasnya. Dengan O (2 ^ sqrt (n)) Anda turun ke angka dengan 30 digit. Perbedaannya sangat besar untuk jumlah besar yang mendukung solusi sqrt (untuk 1 juta elemen itu (angka dengan 300.000 digit) * siklus cpu dibandingkan (angka dengan 300 digit) * siklus cpu).
Andy

Jawaban:


16

Ini pertanyaan yang menarik. Untungnya, begitu Anda tahu bagaimana menyelesaikannya, itu tidak terlalu sulit.

Untuk fungsi f : NR + dan g : NR + , kita memiliki fO ( g ) jika dan hanya jika lim sup n → ∞ f ( n ) / g ( n ) ∈ R .

Fungsi f : NR + memiliki paling banyak pertumbuhan polinomial jika dan hanya jika ada konstanta kN sedemikian rupa sehingga fO ( nn k ). Mari kita bekerja keluar ini untuk sewenang-wenang tetapi tetap kN .

lim sup n → ∞ 2 ( n 1/2 ) / n k =
lim n → ∞ 2 ( n 1/2 ) / n k =
lim n → ∞ e log (2) n 1/2 / e log ( n ) k =
lim n → ∞ e log (2) n 1/2 - log ( n ) k = ∞ ∉ R

Kesetaraan pertama benar karena keduanya, nominator dan denominator, adalah fungsi stabil yang tumbuh secara monoton. Kesetaraan kedua menggunakan identitas x y = e log ( x ) y . Batas tidak terbatas karena eksponen dalam ekspresi akhir tidak dibatasi di atas. Tanpa memberikan bukti formal, dapat diasumsikan diketahui bahwa n 1/2 mendominasi log ( n ) asimptotik. Oleh karena itu, fungsi yang dimaksud melebihi pertumbuhan polinomial.

Namun, pertumbuhannya benar-benar kurang dari eksponensial, di mana eksponensial didefinisikan (oleh saya, untuk tujuan ini) sebagai O ( n ↦ 2 c n ) untuk c > 0. Menunjukkan ini bahkan lebih lurus ke depan.

lim sup n → ∞ 2 c n / 2 ( n 1/2 ) = lim n → ∞ 2 c n - n 1/2 = ∞ ∉ R

untuk c tetap 0.> Oleh karena itu, kompleksitas fungsi berada di suatu tempat di antara polinomial dan eksponensial.


6

Seberapa besar itu? Nah, O (2 ^ sqrt (n)) persis seberapa besar :-(

Untuk mendapatkan gambaran tentang apa artinya, bayangkan algoritma Anda bukan hanya O (2 ^ sqrt (n)), tetapi sebenarnya dibutuhkan 2 ^ sqrt (n) nanodetik di komputer Anda:

n = 100: 2 ^ 10 = 1024 nanodetik. Tidak ada waktu sama sekali. n = 1000: 2 ^ 31.xxx = 2 miliar nanodetik. Dua detik, itu terlihat. n = 10.000: 2 ^ 100 ≈ 10 ^ 30 nanodetik = 10 ^ 21 detik = 30 triliun tahun.

Ini jauh lebih baik daripada 2 ^ nanodetik, di mana n = 100 akan memakan waktu 30 triliun tahun, tetapi ukuran masalah yang masih bisa Anda pecahkan sangat terbatas. Jika Anda menganggap masalah "dapat dipecahkan" jika komputer Anda dapat menyelesaikannya dalam satu minggu, itu sekitar 6 x 10 ^ 14 nanodetik, itu sekitar n = 2.400. Di sisi lain, hingga n = 400 dapat diselesaikan dalam milidetik.

(Dalam praktiknya, untuk n = 10.000 baik O (2 ^ sqrt (n)) dan O (2 ^ n) mengambil waktu yang persis sama: Terlalu lama untuk menunggu.)

Itu melebihi polinomial apa pun. Ambil algoritma lain yang membutuhkan n ^ 1000 detik. Yang praktis tidak dapat dipecahkan untuk n = 2. Algoritma ini membutuhkan waktu lebih lama hingga n adalah sekitar 885 juta. Tapi sungguh, siapa yang peduli? Pada saat itu, jumlah tahun yang dibutuhkan kedua algoritma adalah angka 9.000 digit.

Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.