Kesalahpahaman Estimasi Monte Carlo Pi

Saya cukup yakin bahwa saya memahami bagaimana integrasi Monte Carlo bekerja tetapi saya tidak memahami formulasi bagaimana itu digunakan untuk memperkirakan Pi. Saya akan mengikuti prosedur yang dijelaskan dalam slide ke 5 dari presentasi ini http://homepages.inf.ed.ac.uk/imurray2/teaching/09mlss/slides.pdf

Saya mengerti langkah-langkah awal. Pi sama dengan 4 kali luas seperempat lingkaran unit. Dan area kuartal kanan atas dari lingkaran satuan berpusat pada (0,0) setara dengan integral dari kurva yang merupakan kuartal kanan atas dari lingkaran satuan dalam dan . $0<x<1$ $0<y<1$

Apa yang saya tidak mengerti adalah bagaimana integral ini

$\iint I((x^2+y^2)<1)P(x,y)dxdy$

di mana terdistribusi secara seragam dalam satuan persegi di sekitar lingkaran seperempat (yaitu selalu sama dengan 1 jika dan dan 0 sebaliknya). Jadi ini berarti bahwa adalah fungsi yang merupakan kuadran kanan-atas dari satuan lingkaran pada dan $P(x,y)$ $0<x<1$ $0<y<1$ $I((x^2+y^2)<1)P(x,y)$
$0<x<1$ tetapi saya tidak mengerti bagaimana ini benar karena fungsi indikator hanya bisa 1 atau 0. Saya mengerti bahwa ini mungkin ditulis dengan cara ini untuk mempermudah pengambilan sampel Monte Carlo (contohnya itu adalah harapan jadi hanya sampel dari dan dapatkan rata-rata sampel yang diterapkan pada ) tetapi itu tidak masuk akal bagi saya mengapa integral itu mewakili area di bawah kurva itu. $0<y<1$ $P(x,y)$ $I((x^2+y^2)<1)$

Bisakah seseorang memberikan penjelasan intuitif tentang hal ini. Mungkin menunjukkan bagaimana integral itu diturunkan secara bertahap?

EDIT:

Saya bisa mendapatkan pemahaman yang lebih baik dengan menghubungkan harapan dengan suatu area. Saya akan menjelaskannya di sini kalau-kalau itu membantu siapa pun. Pertama-tama mulailah dengan menghubungkan Pi dengan area kuadran kanan-atas dari satuan lingkaran

$\pi=4\times A_{tr}$

Lalu kami menempatkan kuadran kanan atas ke dalam unit square. Dan di bawah distribusi yang seragam di atas unit square, luas kuadran lingkaran sebanding dengan kemungkinan mendapatkan sampel dari itu. Oleh karena itu persamaan berikut berlaku

$P(x^2+y^2<1)=\frac{A_{tr}}{A_{square}}$

dan so $A_{square}=1$

$P(x^2+y^2<1)=A_{tr}$

Dan menggantikannya dengan persamaan aslinya

$\pi=4\times P(x^2+y^2<1)$

dan juga benar bahwa yang sama dengan integral ganda asli. $P(x^2+y^2<1)=E[I(x^2+y^2<1)]$

Jadi saya memahaminya dengan menghubungkan area ke probabilitas kemudian menghubungkan probabilitas itu dengan harapan yang setara dengan integral. Beri tahu saya jika saya melakukan kesalahan.

monte-carlo indicator-function

— pengguna1893354
sumber

Jawaban:

$l$ $\pi l^2$ $l^2\pi/4$ $area=l^2$

$\pi/4$

$(x,y)$ $0<x<1, 0<y<1$ $0<x<1, 0<y<1 ,x^2+y^2<1$

$∬I((x^2+y^2)<1)P(x,y)= ∬I((x^2+y^2)<1) I(0<x<1)I(0<y<1)$

masukkan deskripsi gambar di sini

— Donbeo
sumber

Saya kira saya hanya mengalami kesulitan menggambar hubungan antara istilah-istilah di dalam integral dan kurva itu sendiri. Jika Anda merencanakan I (x ^ 2 + y ^ 2 <1) I (0 <x <1) (0 <y <1) untuk nilai x dan y yang berbeda, Anda tidak akan mendapatkan kurva. Mengapa demikian?

— user1893354

{(x, y) : (x^{2} + y^{2} < 1), (0 < x < 1), (0 < y < 1)}

$\left\lbrace (x,y):(x^2+y^2<1), (0<x<1), (0<y<1) \right\rbrace$

Saya setuju dengan itu. Tetapi ketika Anda menerapkan fungsi indikator I (.), Mereka semua terdorong ke 1 atau 0.

— user1893354

Apa maksudmu?

— Donbeo

\int_{q u a r t e r o f c i r c l e} = \int 1 (x^{2} + y^{2} < 1) * 1 (0 < x < 1) * 1 (0 < y < 1)

$\int_{quarter~ of~ circle} = \int 1(x^2+y^2<1)*1(0<x<1)*1(0<y<1)$

$E(I(A)) = P(A)$ $\int \int I(x^2+y^2 < 1)dxdy = P(x^2 + y^2 < 1)$ $x$ $y$ $x^2 + y^2 <1$

$(x,y)$ $A$ $A$

— jsk
sumber

Ini adalah cara saya memahaminya juga. Tapi saya mengalami kesulitan menghubungkannya ke formulasi Pi = 4x (luas seperempat lingkaran). Tidaklah masuk akal secara intuitif untuk membandingkan area dengan sampel. Saya kira hubungannya adalah bahwa di bawah distribusi yang seragam, jumlah sampel sebanding dengan area.

— user1893354

@ user1893354 Jawaban telah direvisi. Beri tahu saya jika itu membantu intuisi Anda.

— jsk

$\pi$ $[0,1]$

$\pi/4$ $(x,y)$ $1 < \sqrt{(x^2+y^2)}$ $∬\textbf{1}((x^2+y^2)<1) \,\textbf{1}(0<x<1)\,\textbf{1}(0<y<1)$

x <- runif(1e4); y <- runif(1e4)
radius <- sqrt(x^2 + y^2)
# Selecting those values within the circle is obtained with radius[radius < 1]:
(pi = length(radius[radius < 1]) / length(radius)) * 4     =    3.1272

Kita dapat memplot nilai yang berada dalam radius di antara 10.000 undian:

Dan kita bisa, secara alami, mendekati dan mendekati perkiraan dengan memilih lebih banyak poin. Dengan 1 juta poin kita dapatkan:

(pi = length(radius[radius < 1]) / length(radius)) * 4 [1] 3.141644

hasil yang sangat perkiraan. Ini plotnya:

— Antoni Parellada
sumber