Dalam proses Poisson diukur dengan beberapa efisiensi, apakah jumlah yang diukur masih Poisson?

Situasi:

Katakanlah saya memiliki proses Poisson, seperti peluruhan radioaktif, menghasilkan partikel R per detik. Saya mengukur dengan detektor. Ada probabilitas P bahwa partikel akan dideteksi oleh detektor.

Hal-hal yang saya rasa saya tahu:

1. Waktu antar kedatangan emisi partikel secara eksponensial didistribusikan dengan parameter berdasarkan R .
2. Jumlah partikel yang dipancarkan sebelum deteksi diberikan oleh binomial negatif berdasarkan P .
3. Jika sejumlah N sampel dari (2), satu sampel waktu antar kedatangan untuk partikel yang terdeteksi dapat diberikan dengan jumlah sampel N dari (1). Jumlah ini dapat diperoleh dengan sampling dari distribusi gamma dengan parameter berdasarkan N dan R .

Pertanyaan saya:

Jika waktu antar kedatangan tunggal dapat dihitung dengan pengambilan sampel dari gamma berdasarkan N dan R , bagaimana jumlah detektor dalam interval akhirnya menjadi Poisson lagi? (Untuk menjadi Poisson, waktu antar kedatangan untuk detektor harus eksponensial, tidak didistribusikan menurut beberapa hal gamma aneh.) Tentu saja N berfluktuasi, tetapi saya tidak bisa melihat bagaimana ini bekerja.

Namun, saya hampir sepenuhnya yakin jumlah detektor sebenarnya didistribusikan Poisson. Bisakah seseorang menunjukkan matematika kepada saya? Terima kasih untuk bantuannya!

EDIT:

Saya menemukan makalah ini: Fried, DL "Noise in photoemission current." Optik Terapan 4.1 (1965): 79-80.

Yang menunjukkan hasil bahwa variabel acak poisson terpilih secara binomi juga Poisson dengan nilai yang diberikan oleh PR. Ini mengkonfirmasi komentar oleh jbowman. Namun, saya akan tertarik melihat penjelasan tentang bagaimana proses saya menghasilkan waktu antar kedatangan di detektor menggunakan distribusi binomial dan gamma negatif tidak benar. Ini adalah gangguan mental utama saya. Terima kasih.

EDIT 2:

Saya menulis skrip matlab ini untuk menguji apakah apa yang saya coba dengan distribusi gamma berhasil. Ternyata, entah bagaimana, waktu kedatangan antar gamma yang dihasilkan dengan N yang didistribusikan secara geometris adalah eksponensial dan sesuai dengan waktu antar kedatangan yang disarankan oleh Poisson (PR). (ia2 dan ia3 didistribusikan secara identik). Adakah yang tahu bagaimana ini bekerja secara analitik? Bagi saya itu tidak begitu jelas bagi saya!

close all
n = 100000;
ia1 = exprnd(1,n,1); % create exponentially distributed inter-arrival times
t1 = cumsum(ia1); % running sum (the real experiment time)

mask = (rand(n,1) > 0.5); % flip a coin
t2 = t1(mask); % get only the events for which "the coin landed on heads"
ia2 = diff(t2); % calculate the inter-arrival times at the detector.

% plot the distributions
figure; hist(ia1,100); title('exponential inter-arrival times');
figure; hist(ia2,100); title('binomial sampled inter-arrival times');

%%
spacing = geornd(0.5,n,1) + 1; % how many events before we get heads
ia3 = gamrnd(spacing,ones(n,1)); % generate the interarrival times with gamma
figure; hist(ia3,100); title('geom/gamma inter-arrival times');

Argumen non-teknis yang cepat mungkin menggunakan jaringan Jackson . Dalam kasus Anda, total kedatangan eksternal adalah tarif$R$, dan tidak ada transisi internal (partikel yang diamati tidak beralih ke antrian yang tidak teramati). Proporsi pemisahan antara node yang diamati dan tidak teramati$p_{0i}$ adalah $P$, sehingga

$\lambda_{obs}=RP$

Jika Anda mencari prinsip pertama, teleponlah $O(t)$ proses penghitungan yang diamati, dan $N(t)\sim PP(r)$total proses penghitungan. Di mana setiap kedatangan$N(t)$ masuk $O(t)$ dengan probabilitas $p$. Jadi kalau untuk beberapa$s$ kita punya $N(s)=n$ kemudian $O(s)$ memiliki binomial ($n,p$) distribusi.

Pendekatan ini menggunakan fungsi-fungsi yang menghasilkan probabilitas:

$E[z^{O(t)}|N(t)=n]=\sum_{j=0}^{n}z^{j} {n \choose j}p^j(1-p)^{n-j}=(1-p+pz)^{n}$

Kesetaraan terakhir oleh teorema binomial. Kemudian, tanpa syarat, sejak itu$N(t)\sim Poisson(rt)$:

$E[z^{O(t)}]=E[E[z^{O(t)}|N(t)=n]]=\sum_{n=0}^{\infty}(1-p+pz)^{n}\frac{rt^n}{n!}e^{-rt}=e^{-rt}e^{rt(1-p+pz)}=e^{rpt(z-1)}$

Yang merupakan fungsi menghasilkan probabilitas dari Poisson ($rpt$) variabel acak.