Berapa banyak stiker yang saya perlukan untuk melengkapi album FIFA Panini saya?

Saya memainkan Album Stiker FIFA Panini Online , yang merupakan adaptasi Internet dari album Panini klasik yang biasanya diterbitkan untuk piala dunia sepakbola, kejuaraan Eropa, dan mungkin turnamen lainnya.

Album ini memiliki penampung untuk 424 stiker berbeda. Tujuan dari permainan ini adalah untuk mengumpulkan semua 424. Stiker datang dalam paket 5, yang dapat diperoleh melalui kode yang ditemukan online (atau, dalam kasus album cetak klasik, dibeli di kios lokal Anda).

Saya membuat asumsi berikut:

Semua stiker diterbitkan dalam jumlah yang sama.
Satu bungkus stiker tidak mengandung duplikat.

Bagaimana saya bisa mengetahui berapa banyak paket stiker yang perlu saya peroleh agar cukup yakin (misalkan 90%) bahwa saya memiliki semua 424 stiker unik?

probability coupon-collector-problem

— Vidar S. Ramdal
sumber

Sejumlah wawasan dapat diperoleh dari membaca pertanyaan-pertanyaan lain yang berkaitan dengan masalah kupon-pengumpul .

— Glen_b -Reinstate Monica

Anda membutuhkan 700 paket; peluang memperoleh 424 stiker kemudian sama dengan 90,0024%. Diperlukan 761 untuk membawa peluang menjadi 95% dan 898 untuk peluang 99%. (Rata-rata, hampir 560 paket dibutuhkan untuk menyelesaikan set. Tidak mungkin (kemungkinan kurang dari sekali dalam seribu) yang dibutuhkan kurang dari

— 352.

Saya tidak yakin asumsi pertama bisa dibuat. "Shinies" cenderung lebih jarang.

— James

Hmm, dari apa yang saya bisa baca dari dokumen yang diposting oleh Asuranceturix, mereka membuktikan bahwa tidak ada perbedaan yang signifikan.

— Vidar S. Ramdal

@ VidarS.Ramdal Saya berdiri dikoreksi.

— James

Jawaban:

Itu adalah Masalah Kolektor Kupon yang indah, dengan sedikit twist yang diperkenalkan oleh kenyataan bahwa stiker datang dalam kemasan 5 buah.

Jika stiker dibeli secara individual hasilnya diketahui, seperti yang Anda lihat di sini .

Semua perkiraan untuk batas atas 90% untuk stiker yang dibeli secara perorangan juga batas atas untuk masalah dengan paket 5, tetapi batas atas kurang dekat.

Saya berpikir bahwa mendapatkan batas atas 90% -kemungkinan yang lebih baik, menggunakan paket 5 ketergantungan, akan menjadi jauh lebih sulit dan tidak akan memberi Anda hasil yang jauh lebih baik.

Jadi, dengan menggunakan estimasi ekor dengan dan , Anda akan mendapatkan jawaban yang baik. $P[T>\beta n \log n] \leq n^{-\beta+1}$ $n=424$ $n^{-\beta+1} = 0.1$

EDIT :

Artikel "Masalah kolektor dengan gambar kelompok" (Wolfgang Stadje), referensi artikel yang dibawa oleh Assuranceturix, menyajikan solusi analitik yang tepat untuk Masalah Kolektor Kupon dengan "paket stiker".

$S$ $s = |S|$ $A \subset S$ $A = S$ $l = |A|$ $k$ $m$ $X_{k}(A)$ $A$

Teorema mengatakan bahwa:

P (X_{k} (A) = n) = (\binom{l}{n}) \sum_{j = 0}^{n} (- 1)^{j} (\binom{n}{j}) [(\binom{s + n - l - j}{m}) / (\binom{s}{m})]^{k}

$P(X_{k}(A) = n) = {l \choose n} \sum_{j=0}^{n}(-1)^j {n \choose j}[{s+n-l-j \choose m}/{s \choose m}]^k$

$l=s=n=424$ $m=5$ $k$

Jadi itu tidak begitu jauh dari batas atas :)

— Jundiaius
sumber

Dan jawaban yang bagus ini akan?

— ziggystar

Tentang 3642 stiker acak. Jadi batas atas untuk "paket 5 masalah" akan menjadi sesuatu yang kurang dari 729 paket.

— Jundiaius

Suatu hari saya menemukan sebuah makalah yang membahas pertanyaan terkait erat:

http://www.unige.ch/math/folks/velenik/Vulg/Paninimania.pdf

Jika saya telah memahaminya dengan benar, jumlah paket yang diharapkan yang perlu Anda beli adalah:

$\binom{424}{5}\sum_{j=1}^{424}\left(-1\right)^{j+1}\frac{\binom{424}{j}}{\binom{424}{5}-\binom{424-j}{5}}$

Namun, seperti yang ditunjukkan eqperes dalam komentar, pertanyaan spesifik yang ditanyakan OP sebenarnya dibahas secara terperinci dalam makalah lain yang tidak dapat diakses.

Kesimpulan akhir mereka menyarankan strategi berikut (untuk album 660 stiker):

Beli sekotak 100 bungkus 5 stiker (500 stiker, dijamin semuanya berbeda)
Beli 40 paket lebih dari 5 stiker dan tukarkan duplikat hingga Anda memiliki paling banyak 50 stiker yang hilang.
Beli stiker yang tersisa langsung dari Panini (biayanya sekitar 1,5 kali lipat).

Ini adalah total 140 paket + hingga 15 paket tambahan senilai stiker (berdasarkan biaya) yang dibeli dengan cara yang ditargetkan, setara dengan paling banyak 155 paket .

— Asuranceturix
sumber

Besar! Tampaknya argumen utama dari hasil mereka akan berada di artikel "Masalah kolektor dengan gambar kelompok" , yang sayangnya tidak di akses terbuka.

— Jundiaius

Haha, bagus sekali! Mereka juga masuk ke detail tentang bagaimana swapping mempengaruhi hasil (yang saya tinggalkan pertanyaan). Sangat menarik, terima kasih!

— Vidar S. Ramdal

Bisakah Anda meringkas solusi untuk masalah OP yang disediakan oleh kertas? Tautan terkadang kedaluwarsa dan kemudian jawaban ini menjadi kurang bermanfaat.

— Andy

@Andy: Saya telah mengedit jawaban untuk mengatasi masalah Anda, tetapi itu bukan jawaban untuk pertanyaan awal. Sayangnya, makalah asli yang menyediakan jawaban itu terlalu sulit untuk dibaca untuk saya, maaf.

— Asuranceturix

Saya ragu tentang kotak berisi 100 bungkus yang hanya berisi stiker berbeda. Ini sepertinya akan menyebabkan komplikasi manufaktur yang besar dan tidak perlu untuk sedikit manfaat.

— jwg