Momen Menghasilkan Fungsi dan Transformasi Fourier?

Apakah fungsi yang menghasilkan momen merupakan transformasi Fourier dari fungsi kepadatan probabilitas?

Dengan kata lain, apakah fungsi momen menghasilkan hanya resolusi spektral dari distribusi kepadatan probabilitas variabel acak, yaitu cara yang setara untuk mengkarakterisasi fungsi dalam hal amplitudo, fase, dan frekuensi alih-alih dalam hal parameter?

Jika demikian, dapatkah kita memberikan interpretasi fisik pada binatang ini?

Saya bertanya karena dalam fisika statistik fungsi penghasil kumulans , logaritma fungsi pembangkit momen, adalah kuantitas tambahan yang mencirikan sistem fisik. Jika Anda menganggap energi sebagai variabel acak, maka fungsi pembangkit kumulansinya memiliki interpretasi yang sangat intuitif sebagai penyebaran energi ke seluruh sistem. Apakah ada interpretasi intuitif yang serupa untuk fungsi menghasilkan momen?

Saya mengerti kegunaan matematika itu, tapi itu bukan hanya konsep trik, pasti ada makna di baliknya secara konseptual?

moments mgf cumulants

— bolbteppa
sumber

Saya percaya itu adalah fungsi karakteristik yang lebih menyerupai transformasi Fourier. Fungsi pembangkit momen adalah transformasi Laplace.

— Placidia

Menarik: "Transformasi Laplace terkait dengan transformasi Fourier, tetapi sedangkan Transformasi Fourier menyelesaikan fungsi atau sinyal ke dalam mode getarannya, Transformasi Laplace menyelesaikan fungsi menjadi momennya" princeton.edu/ ~achaney/tmve/wiki100k/ docs / ... Lalu saya kira pertanyaannya adalah - bagaimana, secara intuitif, apakah transformasi Laplace menguraikan fungsi menjadi momen-momennya, dan apakah ada interpretasi geometris dari ini?

— bolbteppa

Itu dilakukan berdasarkan ekspansi deret Taylor dari fungsi eksponensial.

— Placidia

Sekarang semuanya hampir masuk akal! Namun, apa sebenarnya momen itu, secara intuitif? Saya tahu ini: "Secara umum, momen dapat dianggap sebagai contoh yang menyimpang dari nilai rata-rata sinyal - momen pertama sebenarnya adalah rata-rata, yang kedua adalah varians dll ..." dsp.stackexchange.com/a/ 11032 Namun, apa artinya itu secara intuitif? Apa sampel saat menghitung momen 1/2/3/4 dari katakan, x ^ 2 (mengambil transformasi Laplace dari x ^ 2)? Apakah ada interpretasi geometris?

— bolbteppa

MGF adalah

$M_{X}(t)=E\left[ e^{tX} \right]$

$t$ $f(x)$

$M_{X}(t)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{tx}f(x) dx.$

$e^{itx}$ $e^{tx}$

$e^{-tx}$ $e^{tx}$

— Brian Borchers
sumber

E (e^{i t X})

$E(e^{itX})$

E (e^{- i t X})

$E(e^{-itX})$

Dan tentu saja properti yang paling berguna adalah bahwa MGF dari jumlah dua variabel acak independen adalah produk dari fungsi penghasil momen mereka. Ini setara dengan aturan bahwa transformasi Fourier dari belitan dua fungsi adalah produk dari transformasi Fourier mereka.

— Brian Borchers