Sebuah koin yang adil dilemparkan sampai sebuah kepala muncul untuk pertama kalinya. Probabilitas ini terjadi pada jumlah undian ganjil?

Sebuah koin yang adil dilemparkan sampai sebuah kepala muncul untuk pertama kalinya. Probabilitas ini terjadi pada jumlah undian ganjil? Bagaimana saya mendekati masalah ini?

Tambahkan kemungkinan koin datang kepala untuk pertama kalinya pada lemparan 1, 3, 5 ...

$p_o = 1/2 + 1/2^3 + 1/2^5 + ...$

• The istilah ini cukup jelas, itu kemungkinan pertama lemparan menjadi kepala.$1/2$

• The istilah adalah probabilitas mendapatkan kepala untuk pertama kalinya pada lemparan ketiga, atau urutan TTH. Urutan yang memiliki probabilitas 1 / 2 * 1 / 2 * 1 / 2 .$1/2^3$$1/2 * 1/2 * 1/2$

• The istilah adalah probabilitas mendapatkan kepala untuk pertama kalinya pada lemparan kelima, atau urutan TTTTH. Urutan yang memiliki probabilitas 1 / 2 * 1 / 2 * 1 / 2 * 1 / 2 * 1 / 2 .$1/2^5$$1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2$

Sekarang kita dapat menulis ulang seri di atas sebagai

$p_o = 1/2 + 1/8 + 1/32 + ...$

Ini adalah seri geometris yang jumlah ke . Cara termudah untuk menunjukkan ini adalah dengan contoh visual. Mulai dengan seri$2/3$

$p = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + ...$

Ini adalah deret geometri yang berjumlah .$1$

Jika kita menjumlahkan hanya istilah bahkan seri itu, kita dapat melihat bahwa mereka berjumlah .$1/3$

$1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ... = 1/3$

$2/3$

$p_o = 1/2 + 1/8 + 1/32 + ... = 2/3$

$p_o$$p_e$$p_o+p_e=1$$p_e$$p_o$$p_e = 1/2\cdot p_o$$p_o+1/2\cdot p_o = 1$$p_o = 2/3$