Distribusi bagian yang 'tidak dicampur' berdasarkan urutan campuran

Misalkan saya telah memasangkan pengamatan yang ditarik iid sebagai untuk . Misalkan dan dilambangkan dengan yang th nilai yang diamati terbesar . Apa distribusi (bersyarat) ? (atau setara dengan ) $X_i \sim \mathcal{N}\left(0,\sigma_x^2\right), Y_i \sim \mathcal{N}\left(0,\sigma_y^2\right),$ $i=1,2,\ldots,n$ $Z_i = X_i + Y_i,$ $Z_{i_j}$ $j$ $Z$ $X_{i_j}$ $Y_{i_j}$

Yaitu, apa distribusi bersyarat pada menjadi yang ke- terbesar dari nilai yang diamati dari ? $X_i$ $Z_i$ $j$ $n$ $Z$

Saya menduga bahwa ketika , distribusi menyatu hanya dengan distribusi tanpa syarat , sedangkan sebagai , distribusi konvergen ke distribusi tanpa syarat dari urutan th statistik . Namun di tengah, saya tidak yakin. $\rho = \frac{\sigma_x}{\sigma_y} \to 0$ $X_{i_j}$ $X$ $\rho \to \infty$ $X_{i_j}$ $j$ $X$

distributions order-statistics shrinkage

— shabbychef
sumber

Saya menghapus tag "campuran" karena ini adalah pertanyaan tentang jumlah (atau, yang setara, tentang variabel Normal berkorelasi), bukan tentang campurannya.

— whuber

X_{i}

$X_i$ juga dianggap independen dari

Y_{i}

$Y_i$ , ya?

— kardinal

@ kardinal: ya, mereka independen.

— shabbychef

Sebuah pertanyaan baru dan terkait yang muncul di math.SE: math.stackexchange.com/questions/38873/…

— kardinal

Solusi yang diposting di math.SE secara konseptual identik dengan solusi yang saya berikan di bawah ini - tetapi diformulasikan menggunakan terminologi yang sedikit berbeda.

— NRH

Jawaban:

Mengamati bahwa variabel acak adalah fungsi dari saja. Untuk vektor- , , kita menulis untuk indeks koordinat ke- terbesar. Biarkan juga menunjukkan distribusi bersyarat dari $i_j$ $\mathbf{Z} = (Z_1, \ldots, Z_n)$ $n$ $\mathbf{z}$ $i_j(\mathbf{z})$ $j$ $P_z(A) = P(X_1 \in A \mid Z_1 = z)$ $X_1$ diberikan . $Z_1$

Jika kita istirahat probabilitas turun sesuai dengan nilai dan mengalami kehancuran wrt kita mendapatkan $i_j$ $\mathbf{Z}$

\begin{array}{rcl} P (X_{i_{j}} \in A) & = & \sum_{k} P (X_{k} \in A, i_{j} = k) \\ = & \sum_{k} \int_{(i_{j} (z) = k)} P (X_{k} \in A ∣ Z = z) P (Z \in d z) \\ = & \sum_{k} \int_{(i_{j} (z) = k)} P (X_{k} \in A ∣ Z_{k} = z_{k}) P (Z \in d z) \\ = & \sum_{k} \int_{(i_{j} (z) = k)} P_{z_{k}} (A) P (Z \in d z) \\ = & \int P_{z} (A) P (Z_{i_{j}} \in d z) \end{array}

$\begin{array}{rcl} P(X_{i_j} \in A) & = & \sum_{k} P(X_k \in A, i_j = k) \\ & = &\sum_k \int_{(i_j(z) = k)} P(X_k \in A \mid \mathbf{Z} = \mathbf{z}) P(\mathbf{Z} \in d\mathbf{z}) \\ & = & \sum_k \int_{(i_j(z) = k)} P(X_k \in A \mid Z_k = z_k) P(\mathbf{Z} \in d\mathbf{z}) \\ & = & \sum_k \int_{(i_j(z) = k)} P_{z_k}(A) P(\mathbf{Z} \in d\mathbf{z}) \\ & = & \int P_{z}(A) P(Z_{i_j} \in dz) \\ \end{array}$

Argumen ini cukup umum dan hanya bergantung pada asumsi iid menyatakan, dan bisa menjadi fungsi tertentu . $Z_k$ $(X_k, Y_k)$

Di bawah asumsi distribusi normal (mengambil ) dan menjadi jumlah, distribusi bersyarat dari diberikan adalah $\sigma_y = 1$ $Z_k$ $X_1$ $Z_1 = z$ dan @probabilityislogic menunjukkan bagaimana untuk menghitung distribusi, maka kita memiliki ekspresi eksplisit untuk kedua distribusi yang masuk dalam integral terakhir di atas. Apakah integral dapat dihitung secara analitis adalah pertanyaan lain. Anda mungkin bisa, tetapi dari atas kepala saya, saya tidak tahu apakah itu mungkin. Untuk analisis asimptotik ketikaataumungkin tidak diperlukan.

N (\frac{σ_{x}^{2}}{1 + σ_{x}^{2}} z, σ_{x}^{2} (1 - \frac{σ_{x}^{2}}{1 + σ_{x}^{2}}))

$N\left(\frac{\sigma_x^2}{1+\sigma_x^2} z, \sigma_x^2\left(1 - \frac{\sigma_x^2}{1+\sigma_x^2}\right)\right)$

Z_{i_{j}}

$Z_{i_j}$

σ_{x} \to 0

$\sigma_x \to 0$

σ_{x} \to \infty

$\sigma_x \to \infty$

Intuisi di balik perhitungan di atas adalah bahwa ini adalah argumen independensi bersyarat. Mengingat variabel dan independen. $Z_{k} = z$ $X_{k}$ $i_j$

— NRH
sumber

Distribusi tidak sulit, dan itu diberikan oleh distribusi senyawa Beta-F: $Z_{i_{j}}$

p_{Z_{i_{j}}} (z) d z = \frac{n!}{(j - 1)! (n - j)!} \frac{1}{σ_{z}} ϕ (\frac{z}{σ_{z}}) {[Φ (\frac{z}{σ_{z}})]}^{j - 1} {[1 - Φ (\frac{z}{σ_{z}})]}^{n - j} d z

$p_{Z_{i_{j}}}(z)dz=\frac{n!}{(j-1)!(n-j)!} \frac{1}{\sigma_{z}}\phi(\frac{z}{\sigma_{z}})\left[\Phi(\frac{z}{\sigma_{z}})\right]^{j-1}\left[1-\Phi(\frac{z}{\sigma_{z}})\right]^{n-j}dz$

Di mana adalah PDF normal standar, dan adalah CDF normal standar, dan . $\phi(x)$ $\Phi(x)$ $\sigma_{z}^{2}=\sigma_{y}^{2}+\sigma_{x}^{2}$

Sekarang jika Anda diberi bahwa , maka adalah fungsi 1-ke-1 dari , yaitu . Jadi saya akan berpikir bahwa ini harus menjadi aplikasi sederhana dari aturan jacobian. $Y_{i_{j}}=y$ $X_{i_{j}}$ $Z_{i_{j}}$ $X_{i_{j}}=Z_{i_{j}}-y$

p_{X_{i_{j}} | Y_{i_{j}}} (x | y) = \frac{n!}{(j - 1)! (n - j)!} \frac{1}{σ_{z}} ϕ (\frac{x + y}{σ_{z}}) {[Φ (\frac{x + y}{σ_{z}})]}^{j - 1} {[1 - Φ (\frac{x + y}{σ_{z}})]}^{n - j} d x

$p_{X_{i_{j}}|Y_{i_{j}}}(x|y)=\frac{n!}{(j-1)!(n-j)!} \frac{1}{\sigma_{z}}\phi(\frac{x+y}{\sigma_{z}})\left[\Phi(\frac{x+y}{\sigma_{z}})\right]^{j-1}\left[1-\Phi(\frac{x+y}{\sigma_{z}})\right]^{n-j}dx$

Ini kelihatannya terlalu mudah, tapi saya pikir itu benar. Senang ditunjukkan salah.

— probabilityislogic
sumber

Anda salah paham pertanyaannya. Saya mencari distribusi

sebagai fungsi dari

. Saya tidak benar-benar mengamati

dan

, dan tidak dapat mengkondisikannya. Orang mungkin berasumsi, wlog itu

, dan dengan demikian hanya mempertimbangkan parameter

X_{i_{j}}

$X_{i_j}$

j, n, σ_{x}, σ_{y}

$j, n, \sigma_x, \sigma_y$

X_{i}

$X_i$

Y_{i}

$Y_i$

σ_{x} = 1

$\sigma_x = 1$

j, n, σ_{y}

$j, n, \sigma_y$

— shabbychef

ok - jadi pada dasarnya Anda harus menghapus

dari persamaan ini? (diintegrasikan)

y

$y$

— probabilityislogic

Iya; dan itu tidak terlepas dari Z ...

— shabbychef