Interval kepercayaan untuk perbedaan rata-rata dalam regresi

Misalkan saya memiliki model regresi kuadrat

Y = β_{0} + β_{1} X + β_{2} X^{2} + ϵ

$Y = \beta_0 + \beta_1 X + \beta_2 X^2 + \epsilon$ dengan kesalahan

ϵ

$\epsilon$ memenuhi asumsi biasa (independen, normal, independen dari nilai-nilai

X

$X$ ). Biarkan

b_{0}, b_{1}, b_{2}

$b_0, b_1, b_2$ menjadi estimasi kuadrat terkecil.

Saya memiliki dua nilai $X$ baru $x_1$ dan $x_2$ , dan saya tertarik untuk mendapatkan interval kepercayaan untuk $v = E(Y|X = x_2) - E(Y|X=x_1) = \beta_1 (x_2 - x_1) + \beta_2 (x_2^2 - x_1^2)$ .

Estimasi titik , dan (saya benar jika saya salah) saya bisa memperkirakan varians oleh $\hat{v} = b_1 (x_2 - x_1) + b_2 (x_2^2 - x_1^2)$

{\hat{s}}^{2} = (x_{2} - x_{1})^{2} Var (b_{1}) + (x_{2}^{2} - x_{1}^{2})^{2} Var (b_{2}) + 2 (x_{2} - x_{1}) (x^{2} - x_{1}^{2}) Cov (b_{1}, b_{2})

$\hat{s}^2 = (x_2 - x_1)^2 \text{Var}(b_1) + (x_2^2 - x_1^2)^2 \text{Var}(b_2) + 2 (x_2 - x_1)(x^2 - x_1^2)\text{Cov}(b_1, b_2)$ menggunakan estimasi varian dan kovarians dari koefisien yang disediakan oleh perangkat lunak.

Aku bisa menggunakan pendekatan normal dan mengambil sebagai interval kepercayaan 95% untuk , atau saya bisa menggunakan interval kepercayaan bootstrap, tetapi ada cara untuk bekerja di luar distribusi yang tepat dan penggunaan itu? $\hat{v} \pm 1.96 \hat{s}$ $v$

regression confidence-interval

— mark999
sumber

\hat{v}

$\hat{v}$

Jadi, apakah Anda mengatakan bahwa interval kepercayaan normal sudah benar? Jika saya mengerti dengan benar, dengan logika itu kami juga akan menggunakan interval kepercayaan normal untuk parameter. Tapi kami menggunakan interval berdasarkan distribusi t.

— mark999

Distribusi t digunakan karena Anda memperkirakan varians kesalahan; jika itu diketahui maka Anda akan memiliki distribusi normal seperti kata @whuber.

— JMS

Terima kasih atas komentar Anda. Yang saya tanyakan adalah, dapatkah distribusi t juga digunakan untuk interval kepercayaan untuk v sebagaimana didefinisikan dalam pertanyaan, dan jika demikian, dengan berapa derajat kebebasan?

— mark999

Varian dan kovarian semuanya akhirnya tergantung pada varian yang diperkirakan dari residu. Jadi DF yang digunakan adalah DF dalam estimasi ini, sama dengan jumlah nilai data dikurangi jumlah parameter (termasuk konstanta).

— whuber

$p$ $X$ $X^2$ $n$ $\mathbf{X}$ $n \times (p+1)$ $\hat{\beta}$ $p+1$ $a \in \mathbb{R}^{p+1}$

\frac{a^{T} \hat{β} - a^{T} β}{\hat{σ} \sqrt{a^{T} (X^{T} X)^{- 1} a}} \sim t_{n - p - 1} .

$\frac{a^T\hat{\beta} - a^T \beta}{\hat{\sigma} \sqrt{a^T(\mathbf{X}^T\mathbf{X})^{-1}a}} \sim t_{n-p-1}.$

$\beta$ $t$

$p = 2$ $a^T = (0, x_2 - x_1, x_2^2 - x_1^2)$ $\hat{\sigma}^2$ $n-p-1$ $n$

— NRH
sumber

a^{T} (X^{T} X)^{- 1} a

$a^T(\mathbf{X}^T\mathbf{X})^{-1}a$

X

$\mathbf{X}$

n \times (p + 1)

$n \times (p+1)$

X

$\mathbf{X}$

p + 1

$p+1$