CDF dinaikkan menjadi kekuatan?


15

Jika FZ adalah CDF, sepertinya FZ(z)α ( α>0 ) adalah CDF juga.

T: Apakah ini hasil standar?

T: Apakah ada cara yang baik untuk menemukan fungsi g dengan Xg(Z) st FX(x)=FZ(z)α , di mana xg(z)

Pada dasarnya, saya memiliki CDF lain di tangan, FZ(z)α . Dalam beberapa hal, saya ingin mengkarakterisasi variabel acak yang menghasilkan CDF itu.

EDIT: Saya akan senang jika saya bisa mendapatkan hasil analitik untuk kasus khusus ZN(0,1) . Atau setidaknya tahu bahwa hasil seperti itu tidak bisa diterapkan.


2
Ya, itu hasil yang cukup terkenal dan mudah digeneralisasi. (Bagaimana?) Anda juga dapat menemukan , setidaknya secara implisit. Ini pada dasarnya merupakan aplikasi dari teknik invers yang mungkin mengubah yang biasa digunakan untuk menghasilkan varian acak dari distribusi arbitrer. g
kardinal

2
@ cardinal Tolong, jawab. Tim kemudian mengeluh bahwa kami tidak berjuang dengan rasio jawaban yang rendah.

1
@ MBb: Terima kasih atas komentar Anda, yang saya sangat pahami dan hormati. Harap mengerti bahwa terkadang pertimbangan waktu dan / atau tempat tidak memungkinkan saya untuk mengirim jawaban, tetapi ijinkan memberikan komentar cepat yang dapat membuat OP atau peserta lain memulai. Yakinlah bahwa, ke depan, jika saya dapat mengirim jawaban, saya akan melakukannya. Semoga keikutsertaan saya yang berkelanjutan melalui komentar akan baik-baik saja.
kardinal

2
@ cardinal Beberapa dari kita juga bersalah karena hal yang sama, untuk alasan yang sama ...
whuber

2
@ Brianjd Ya, ini adalah hasil yang terkenal yang telah digunakan untuk memproduksi distribusi "umum" secara industri, lihat . Ada banyak transformasi seperti ini dan orang-orang menggunakannya untuk tujuan ini: mereka menemukan transformasi parametrik, menerapkannya pada distribusi dan voilá, Anda memiliki kertas hanya dengan hanya menghitung sifat-sifatnya. Dan tentu saja, yang normal adalah 'korban' pertama.

Jawaban:


11

Saya suka jawaban yang lain, tetapi belum ada yang menyebutkan yang berikut. Kejadian terjadi jika dan hanya jika { m a x ( U , V ) t } , jadi jika U dan V independen dan α ={Ut, Vt}{max(U,V)t}UV , maka F W ( t ) = F U ( t ) W=max(U,V) sehingga untuk α bilangan bulat positif (misalnya, . . . Z n ) dimana Z 's adalah iidFW(t)=FU(t)FV(t)α ) ambil X = m a x ( Z 1 ,α=nX=max(Z1,...Zn)Z

Untuk kita dapat beralih untuk mendapatkan F Z = F n X , jadi X akan menjadi variabel acak sehingga maks n salinan independen memiliki distribusi yang sama dengan Z (dan ini bukan salah satu teman akrab kita , secara umum). α=1/nFZ=FXnXnZ

Kasus bilangan rasional positif (katakanlah, α = m / n ) mengikuti dari sebelumnya karena ( F Z ) m / n = ( F 1 / n Z ) m .αα=m/n

(FZ)m/n=(FZ1/n)m.

Untuk yang irasional, pilih urutan rasional positif a k yang konvergen ke α ; lalu urutannyaαakα (di mana kita dapat menggunakan trik di atas kami untuk setiap k ) akan berkumpul di distribusi ke X yang diinginkan.XkkX

Ini mungkin bukan karakterisasi yang Anda cari, tetapi paling tidak memberikan beberapa ide tentang bagaimana berpikir tentang untuk α yang cukup bagus. Di sisi lain, saya tidak begitu yakin seberapa bagus yang bisa didapat: Anda sudah memiliki CDF, jadi aturan rantai memberi Anda PDF, dan Anda dapat menghitung momen hingga matahari terbenam ...? Memang benar sebagian besarFZαα tidak akan memiliki X yang familier untuk α = ZX , tetapi jika saya ingin bermain-main dengan contoh untuk mencari sesuatu yang menarik saya mungkin mencobaZterdistribusi secara seragam pada interval satuan denganF(z)=α=2Z , 0 < z < 1 .F(z)=z0<z<1


EDIT: Saya menulis beberapa komentar dalam jawaban @ SM, dan ada pertanyaan tentang aritmatika saya, jadi saya akan menulis apa yang saya maksud dengan harapan lebih jelas.

@kartinal dengan benar dalam komentar ke @JMS jawab menulis bahwa masalahnya disederhanakan menjadi atau lebih umum ketika Z belum tentu N ( 0 , 1 ) , kami memiliki x =

g1(y)=Φ1(Φα(y)),
ZN(0,1)
x=g1(y)=F1(Fα(y)).
Maksud saya adalah bahwa ketika memiliki fungsi invers yang bagus, kita bisa menyelesaikan fungsi y / α ( x ) ) .F dengan aljabar dasar. Saya menulis di komentar bahwa g harus y = g ( x ) = F - 1 ( F 1y=g(x)g
y=g(x)=F-1(F1/α(x)).

Mari kita ambil kasus khusus, tancapkan sesuatu, dan lihat cara kerjanya. Misalkan memiliki distribusi Exp (1), dengan CDF F ( x ) = ( 1 - e - x ) , x > 0 , dan inversikan CDF F - 1 ( y ) = - ln ( 1 - y ) . Sangat mudah untuk menyambungkan semuanya untuk menemukan g ln ( 1 - ( 1 - e - x )X

F(x)=(1-e-x), x>0,
F-1(y)=-dalam(1-y).
g ; setelah selesai kita mendapatkan Jadi, secara ringkas, klaim saya adalah jikaXExp(1)dan jika kita mendefinisikan Y=-ln ( 1-(1- e - X ) 1 / α ) , makaY 1 - e - y ) α . Kita bisa membuktikan ini secara langsung (lihatP(Yy)
y=g(x)=-dalam(1-(1-e-x)1/α)
XExhal(1)
Y=ln(1(1eX)1/α),
Y akan memiliki CDF yang terlihat seperti
FY(y)=(1ey)α.
P(Yy) dan gunakan aljabar untuk mendapatkan ekspresi, di sebelah langkah terakhir kita membutuhkan Probabilitas Integral Transform). Hanya dalam kasus (sering diulang) bahwa saya gila, saya menjalankan beberapa simulasi untuk mengecek apakah itu berfungsi, ... dan ternyata berhasil. Lihat di bawah. Untuk membuat kode lebih mudah saya menggunakan dua fakta: Jika  U U n i f ( 0 , 1 )  maka  U 1 / αB e t a
If XF then U=F(X)Unif(0,1).
If UUnif(0,1) then U1/αBeta(α,1).

Plot hasil simulasi berikut.

ECDF dan F ke alfa

Kode R yang digunakan untuk menghasilkan plot (label minus) adalah

n <- 10000; alpha <- 0.7
z <- rbeta(n, shape1 = alpha, shape2 = 1)
y <- -log(1 - z)
plot(ecdf(y))
f <- function(x) (pexp(x, rate = 1))^alpha
curve(f, add = TRUE, lty = 2, lwd = 2)

Kelihatannya cocok, menurut saya? Mungkin saya tidak gila (kali ini)?


ZN(0,1)g(z)=Φ1(Φ1/α(z)) yang tidak berbentuk tertutup tetapi dapat dihitung dengan cukup mudah. Dan Anda dapat membuatnya lebih mudah dengan mengenali bahwa input ke CDF terbalik adalah distribusi Beta yang sesuai. Jawabannya akan bagus dalam kasus di mana CDF terbalik bagus, dan ada beberapa yang berlarian.

Akan bagus untuk memeriksa ulang aritmatika Anda.
kardinal

@ cardinal errr ... OK, saya lakukan, ... dan itu benar? Tolong tunjukkan kesalahannya.

(+1) Permintaan maaf. Saya tidak yakin di mana kepala saya berada ketika saya pertama kali melihat ini. Jelas (well, seharusnya!) Benar.
kardinal

@ kardinal, tidak ada salahnya, tidak ada pelanggaran. Saya akui, Anda benar-benar membuat saya berkeringat sebentar! :-)

14

Bukti tanpa kata-kata

masukkan deskripsi gambar di sini

FFαα<1zx=g(z)


Gambar bagus! T: Apa yang menarik itu? TikZ?
lowndrul

@ Brianjd: Jika saya ingat, @whuber mengerjakan banyak bidangnya menggunakan Mathematica.
kardinal

3
@ kardinal Anda benar. Sebenarnya, saya menggunakan apa pun yang praktis dan sepertinya itu akan melakukan pekerjaan dengan baik dengan cepat. FWIW, ini kodenya:Module[ {y, w, a = 0.1, z = 3.24, f = ChiDistribution[7.6], xmin=0, xmax=5}, y = CDF[f,z]; w = InverseCDF[f, y^(1/a)]; Show[ Plot[{CDF[f, x],CDF[f,x]^a} , {x, xmin, xmax}, Filling->{1->{2}}], Graphics[{ Dashed, Arrow[{{z,0}, {z,y}}], Arrow[{{z,y}, {w,y}}], Arrow[{{w,y}, {w,0}}] }] ] ]
whuber

6

Q1) Ya. Ini juga berguna untuk menghasilkan variabel yang dipesan secara stokastik; Anda dapat melihat ini dari gambar cantik @ whuber :).α>1

Fz(z)α10Fz memiliki sifat-sifat ini sehingga semuanya mudah ditampilkan.

T2) Sepertinya itu akan sangat sulit secara analitik, kecuali FZ spesial


@ JMS: Bagaimana dengan ZN(0,1)?
lowndrul

2
@ Brianjd: Saya tidak percaya begitu. Membiarkang menjadi fungsi monoton ketat ketat (karenanya, memiliki invers yang terdefinisi dengan baik g-1) yang memenuhi kondisi Anda. Maka, itu pasti ituΦα(kamu)=P(g(Z)kamu)=P(Zg-1(kamu))=Φ(g-1(kamu)) dan sebagainya g-1(kamu)=Φ-1(Φα(kamu)). Jadi kebalikannya diidentifikasi secara eksplisit, tetapi tidakgdiri. Inilah yang saya maksud dalam komentar saya sebelumnyagditemukan secara implisit .
kardinal

@ Brianjd - Apa yang dikatakan @ cardinal :) Saya bahkan tidak bisa memikirkan kasus khusus FZdi mana Anda akan mendapatkan formulir tertutup (tidak untuk mengatakan tidak ada satu saja).
JMS

@ SMP: ZU[0,1]akan menjadi salah satu contoh positif.
kardinal

@ cardinal Saya tidak akan pernah memikirkan distribusi langka seperti itu ... tapi sekarang Anda menyebutkannya a BetSebuah(Sebuah,1) harus bekerja secara umum, memberi Anda kembali BetSebuah(Sebuahα,1).
JMS
Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.