Apa distribusi rasio dua variabel acak Poisson?

Saya punya pertanyaan tentang variabel acak. Mari kita asumsikan bahwa kita memiliki dua variabel acak dan . Katakanlah adalah Poisson terdistribusi dengan parameter , dan adalah Poisson terdistribusi dengan parameter . $X$ $Y$ $X$ $\lambda_1$ $Y$ $\lambda_2$

Ketika Anda membuat fraktur dari dan menyebutnya variabel acak , bagaimana ini didistribusikan dan apa artinya? Apakah ? $X/Y$ $Z$ $\lambda_1/\lambda_2$

random-variable poisson-distribution

— MarkDollar
sumber

Saya kebetulan menemukan ini ketika mencari referensi. Rasio inferensi untuk Poisson cukup mudah, bagi yang sering ( Nelson, 1970, "Interval Keyakinan untuk Rasio Dua Interval Poisson Berarti dan Interval Prediktor Poisson" ) dan Bayesia sama (Lindley, 1965). Tidak ada masalah dengan nol penyebut!

— Frank Tuyl

Penanya asli, dan yang lain, mungkin tertarik untuk mencatat bahwa

memiliki nilai harapan

. Tergantung pada aplikasi Anda ini mungkin digunakan lebih besar dari

. Untuk lebih jelasnya lihat makalah saya di Journal of Analytical Atomic Spectrometry, 28 , 52, yang disebut "Bias statistik dalam rasio isotop" dengan DOI: 10.1039 / C2JA10205F.

X / (Y + 1)

$X/(Y+1)$

(λ_{1} / λ_{2}) (1 - e^{- λ_{2}})

$(\lambda_1/\lambda_2) (1-e^{-\lambda_2})$

X / Y

$X/Y$

Ini adalah masalah yang sering dijumpai di Astronomi. Solusi Bayesian dikerjakan oleh Park et al. (2006, Astrophysical Journal, v652, 610-628, Bayesian Estimation of Hardness Ratios: Modeling and Computations ). Mereka termasuk kontaminasi latar belakang dalam perawatan mereka.

— user78543

Dari abstrak, tidak jelas bahwa mereka berurusan dengan pertanyaan OP. Bagaimana tulisan ini terkait dengan distribusi rasio dua variabel acak Poisson?

— Andy

ttu-ir.tdl.org/ttu-ir/bitstream/handle/2346/59954/…

— b halvorsen

Jawaban:

Saya pikir Anda akan memiliki masalah dengan itu. Karena variabel Y akan memiliki nol, X / Y akan memiliki beberapa nilai yang tidak ditentukan sehingga Anda tidak akan mendapatkan distribusi.

— bill_080
sumber

+1 Benar. Tapi (untuk menghindari kemungkinan kebingungan) masalahnya bukan hanya

bisa sama dengan

: itu juga bisa sama dengan

dengan probabilitas positif. (Misalnya, hasil bagi normals memiliki distribusi meskipun penyebutnya dapat sama dengan

) Dengan demikian,

tidak terdefinisi dengan probabilitas positif, menjadikan rata-rata (dan setiap momen lainnya) juga tidak terdefinisi.

Y

$Y$

0

$0$

0

$0$

0

$0$

X / Y

$X/Y$

— whuber

+1, tetapi dalam literatur tentang tingkat penemuan palsu orang tidak memiliki masalah dengan

mana

adalah positif sebenarnya dan

adalah jumlah total positif :-). Selalu dipahami, berdasarkan konvensi, bahwa 0 dari 0 sama dengan 0.

X / Y

$X/Y$

X

$X$

Y

$Y$

— NRH

@ Mark: Mungkin lebih baik untuk menanyakan itu sebagai pertanyaan baru, dan untuk mendapatkan spesifik spesifik tentang apa yang ingin Anda capai.

— bill_080

@NRH Dalam kasus Anda ada ketergantungan yang kuat dari

pada

. Itu benar-benar mengubah banyak hal, karena sekarang probabilitas rasio positif: nol adalah nol.

X

$X$

Y

$Y$

— Whuber

@whuber, tentu saja itu benar. Terima kasih telah menunjukkannya. Saya hanya berpikir bahwa mungkin ada beberapa konvensi yang tidak disebutkan untuk membuat masalah menjadi bermakna. Tetapi dari komentar @ MarkDollar di atas, tampaknya bukan itu masalahnya.

— NRH

Dengan menyadari bahwa rasio sebenarnya bukan himpunan terukur yang terdefinisi dengan baik, kami mendefinisikan kembali rasio sebagai himpunan terukur yang benar dengan penjumlahan selama, dandanadalah variabel Poisson independen. Kepadatan mengikuti dari teorema Radon-Nykodym.

P [\frac{X}{Y} \leq r] := P [X \leq r Y] = \sum_{y = 0}^{\infty} \sum_{x = 0}^{⌊ r y ⌋} \frac{λ_{2}^{y}}{y!} e^{- λ_{2}} \frac{λ_{1}^{x}}{x!} e^{- λ_{1}}

$\mathbb{P}\left[\frac{X}{Y} \leq r \right] := \mathbb{P}\left[X \leq r Y\right]\\ = \sum_{y = 0}^\infty \sum_{x=0}^{\left\lfloor ry \right\rfloor} \frac{\lambda_{2}^y }{y!}e^{-\lambda_2} \frac{\lambda_{1}^x }{x!}e^{-\lambda_1}$

r > 0

$r > 0$

X

$X$

Y

$Y$

— Aaron Sheldon
sumber

Misalkan

berasal dari distribusi Poisson nol terpotong. Maka jawabannya adalah:

Y

$Y$

— Brash Equilibrium