Dalam konvergensi dalam probabilitas atau sebagai konvergensi, ukuran mana yang merupakan probabilitas?

Saya menyajikan bukti WLLN dan versi SLLN (dengan asumsi dibatasi saat pusat 4) ketika seseorang bertanya ukuran mana yang merupakan probabilitas dengan hormat juga dan saya menyadari bahwa, pada refleksi, saya tidak begitu yakin.

Tampaknya itu mudah, karena dalam kedua undang-undang kami memiliki urutan 's, RV independen dengan mean mean dan varian terbatas. Hanya ada satu variabel acak yang terlihat, yaitu , jadi probabilitas harus wrt distribusi , kan? Tetapi kemudian itu tampaknya tidak tepat untuk hukum yang kuat karena teknik pembuktian yang khas adalah mendefinisikan RV dan bekerja dengan itu , dan batasnya di dalam probabilitas:$X_{i}$$X_{i}$$X_{i}$$S_{n} := \sum_{i=1}^{n} X_{i}$

$Pr \left[\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_{i} = E[X_{i}]\right]=1$

Jadi sekarang tampak seolah-olah RV adalah jumlah di atas $n$ istilah, sehingga probabilitasnya adalah di atas distribusi jumlah $S_{n}$ , di mana $n$ tidak lagi diperbaiki. Apakah itu benar? Jika ya, bagaimana cara kita membangun ukuran probabilitas yang sesuai pada urutan jumlah parsial?

Senang menerima tanggapan intuitif tentang apa yang terjadi serta yang formal menggunakan misalnya analisis nyata atau kompleks, probabilitas / statistik sarjana, teori ukuran dasar. Saya telah membaca Konvergensi dalam probabilitas vs. konvergensi hampir pasti dan tautan terkait, tetapi tidak menemukan bantuan di sana.

Ukuran probabilitas adalah sama dalam kedua kasus, tetapi pertanyaan yang menarik berbeda antara keduanya. Dalam kedua kasus kami memiliki (tak terhitung) urutan variabel acak tak terbatas yang didefinisikan pada ruang probabilitas tunggal . Kami menganggap , dan sebagai produk tanpa batas dalam setiap kasus (diperlukan kehati-hatian, di sini, bahwa kami hanya membicarakan langkah-langkah probabilitas karena kami dapat mengalami masalah jika tidak).$(\Omega,\mathscr{F},P)$$\Omega$$\mathscr{F}$$P$

Untuk SLLN, yang kami pedulikan adalah probabilitas (atau ukuran) dari himpunan semua mana jumlah parsial yang diskalakan TIDAK berkumpul. Set ini memiliki ukuran nol (wrt ), kata SLLN.$\omega = (\omega_{1},\omega_{2},\ldots)$$P$

Untuk WLLN, yang kami pedulikan adalah perilaku urutan langkah-langkah proyeksi , di mana untuk setiap , adalah proyeksi ke ruang terukur hingga terbatas . WLLN mengatakan bahwa probabilitas (yang diproyeksikan) dari silinder (yaitu, peristiwa yang melibatkan ), di mana jumlah parsial yang diskalakan tidak konvergen, pergi ke nol dalam batas sebagai pergi hingga tak terbatas.$\left(P_{n}\right)_{n=1}^{\infty}$$n$$P_{n}$$P$$\Omega_{n} = \prod_{i=1}^{n} \Omega_{i}$$X_{1},\ldots,X_{n}$$n$

Dalam WLLN kami menghitung probabilitas yang tampaknya dihapus dari ruang produk yang tak terbatas, tetapi tidak pernah benar-benar hilang - itu ada di sana selama ini. Yang kami lakukan hanyalah memproyeksikan ke subruang dari 1 ke dan kemudian mengambil batas sesudahnya. Bahwa hal seperti itu mungkin, bahwa adalah mungkin untuk membangun ukuran probabilitas pada ruang produk tanpa batas sehingga proyeksi untuk setiap sesuai dengan apa yang kita pikir seharusnya, dan melakukan apa yang seharusnya mereka lakukan, adalah salah satu konsekuensi dari Kolmogorov Extension Teorema .$n$$n$

Jika Anda ingin membaca lebih lanjut, saya telah menemukan diskusi paling rinci tentang hal-hal halus seperti ini dalam "Teori Probabilitas dan Ukuran" oleh Ash, Doleans-Dade. Ada beberapa yang lain, tetapi Ash / DD adalah favorit saya.