Apakah setiap matriks pasti semi-positif sesuai dengan matriks kovarians?

Sudah diketahui bahwa matriks kovarians harus pasti semi-positif, namun, apakah yang sebaliknya benar?

Yaitu, apakah setiap matriks pasti semi-positif sesuai dengan matriks kovarians?

covariance matrix

— Jingjings
sumber

Pergi dengan definisi PD dan PSD di sini , ya, saya kira begitu, karena kita dapat melakukan ini dengan konstruksi. Saya akan berasumsi untuk argumen yang sedikit lebih sederhana yang Anda maksud untuk matriks dengan elemen nyata, tetapi dengan perubahan yang sesuai akan diperluas ke matriks kompleks.

Biarkan menjadi beberapa matriks PSD nyata; dari definisi yang saya tautkan, itu akan menjadi simetris. Setiap simetris definit positif matriks nyata dapat ditulis sebagai . Hal ini dapat dilakukan dengan jika dengan orthogonal dan diagonal dan sebagai matriks komponen akar kuadrat bijaksana . Dengan demikian, tidak perlu peringkat penuh. $A$ $A$ $A = LL^T$ $L=Q\sqrt{D}Q^T$ $A=QDQ^T$ $Q$ $D$ $\sqrt{D}$ $D$

Biarkan menjadi beberapa variabel acak vektor, dari dimensi yang sesuai, dengan matriks kovarians (yang mudah dibuat). $Z$ $I$

Kemudian memiliki kovarians matriks . $LZ$ $A$

[Setidaknya itu dalam teori. Dalam praktiknya akan ada berbagai masalah numerik untuk ditangani jika Anda menginginkan hasil yang baik, dan - karena masalah biasa dengan perhitungan floating point - Anda hanya akan mendapatkan apa yang Anda butuhkan; yaitu, varians populasi dari computed biasanya tidak akan persis . Tapi hal semacam ini selalu menjadi masalah ketika kita datang untuk benar-benar menghitung hal-hal] $LZ$ $A$

— Glen_b -Reinstate Monica
sumber

Meskipun benar bahwa dekomposisi

dimungkinkan tanpa peringkat penuh, algoritma Cholesky hanya bekerja dengan

biasa . Jadi tanpa peringkat penuh, itu tidak bisa menjadi dekomposisi Cholesky. Secara komputasional, seseorang dapat melakukan dekomposisi ini dalam kasus tunggal dengan diagonalisasi. (Meskipun ini jauh lebih mahal)

A = L L^{'}

$A=LL'$

A

$A$

— Horst Grünbusch

@Horst: Mengapa

menjadi segitiga lebih rendah?

L = Q \sqrt{D} Q^{T}

$L=Q\sqrt{D}Q^T$

— Amoeba berkata Reinstate Monica

@amoeba Meskipun orang dapat mengaturnya demikian, itu tidak harus segitiga lebih rendah untuk argumen untuk bekerja - ini adalah fitur dari Cholesky tetapi tidak diperlukan agar hasilnya bekerja.

— Glen_b -Reinstate Monica

@ Glen Apakah menjadi simetris merupakan syarat yang diperlukan untuk menjadi PSD atau apakah definisi itu salah satu dari banyak?

— 114

@ 114 untuk hubungan antara simetris dan PSD, lihat math.stackexchange.com/questions/516533/…

— Frank