Simulasi melibatkan pengkondisian pada jumlah variabel acak

Saya membaca pertanyaan ini , dan berpikir untuk mensimulasikan jumlah yang diperlukan. Masalahnya adalah sebagai berikut: Jika$A$ dan $B$ apakah standar normal, apa $E(A^2|A+B)$? Jadi saya ingin mensimulasikan$E(A^2|A+B)$. (untuk nilai yang dipilih dari$A+B$)

Saya mencoba kode berikut untuk mencapai ini:

n <- 1000000
x <- 1 # the sum of A and B

A <- rnorm(n)
B <- rnorm(n)

sum_AB = A+B

estimate <- 1/sum(sum_AB==x) * sum( (A[sum_AB==x])^2 )

Masalahnya adalah bahwa hampir selalu tidak ada nilai sum_AByang cocok x(di seluruh simulasi). Jika saya memilih beberapa elemen sum_AB, maka biasanya satu-satunya contoh nilainya dalam vektor.

Secara umum, bagaimana seseorang dapat mengatasi masalah ini dan melakukan simulasi yang akurat untuk menemukan harapan dari formulir yang diberikan? ($A$ dan $B$ mungkin belum tentu terdistribusi normal, atau dari distribusi yang sama.)

Komentar saya di utas yang dirujuk menyarankan satu pendekatan yang efisien: karena $X=A+B$ dan $Y=A-B$ Secara bersama-sama Normal dengan nol kovarian, independen, dari mana simulasi hanya perlu dihasilkan $Y$ (yang artinya $0$ dan varians $2$) dan membangun $A = (X+Y)/2$. Dalam contoh ini distribusi$A^2|(A+B=3)$ diperiksa dengan menggunakan histogram $10^5$ nilai simulasi.

x <- 3
y <- rnorm(1e5, 0, sqrt(2))
a <- (x+y)/2
hist(a^2)

Harapan tersebut dapat diperkirakan sebagai

mean(a^2)

Jawabannya harus dekat $11/4 = 2.75$.

Cara umum untuk mengatasi masalah ini adalah dengan mempertimbangkan perubahan variabel dari $(A,B)$ untuk $(A,A+B=S)$. Jacobian dari transformasi ini sama dengan satu (1), kepadatan$(A,S)$ adalah

$$f_{A,S}(a,s)=f_A(a)f_B(s-a)$$ Oleh karena itu kepadatan $A$ tergantung pada $S=s$ adalah $$f_{A|S}(a|s)\propto f_A(a)f_B(s-a)$$ dengan istilah proporsionalitas sebagai kebalikan dari kepadatan marginal dari $S$, $f_S(s)^{-1}$. Sejak$B=S-A$, transformasi deterministik, ini juga merupakan densitas gabungan $(A,B)$ diberikan $S$ $$f_{A,B|S}(a,b|s)\propto f_A(a)f_B(s-a)\mathbb{I}_{a+b=s}$$ Menghasilkan realisasi dari target ini dapat dilakukan secara langsung jika bentuknya cukup sederhana, atau dengan accept-reject, Metropolis-Hastings, slice sampling, atau metode simulasi standar lainnya.

Anda bisa mengatasi masalah ini menggunakan sampel bootstrap. Sebagai contoh,

n <- 1000000

A <- rnorm(n)
B <- rnorm(n)
AB <- cbind(A,B)

boots <- 100
bootstrap_data <- matrix(NA,nrow=boots*n,ncol=2)


for(i in 1:boots){
    index <- sample(1:n,n,replace=TRUE)
    bootstrap_data[(i*n-n+1):(i*n),] <- cbind(A[index],B[index]) 
}

sum_AB <- bootstrap_data[,1] + bootstrap_data[,2]
x <- sum_AB[sample(1:n,1)]

idx <- which(sum_AB == x)

estimate <- mean(bootstrap_data[idx,1]^2)

Menjalankan kode ini misalnya, saya mendapatkan yang berikut ini

> estimate
[1] 0.7336328
> x
[1] 0.9890429

Jadi ketika $A+B=0.9890429$ kemudian $E(A^2|A+B=0.9890429)=0.7336328$.

Sekarang untuk memvalidasi bahwa ini seharusnya jawabannya, mari kita jalankan kode whuber dalam solusinya. Jadi menjalankan kodenya dengan x<-0.9890429hasil sebagai berikut:

> x <- 0.9890429
> y <- rnorm(1e5, 0, sqrt(2))
> a <- (x+y)/2
> hist(a^2)
>
> mean(a^2)
[1] 0.745045

Dan kedua solusi itu sangat dekat dan bertepatan satu sama lain. Namun, pendekatan saya terhadap masalah seharusnya memungkinkan Anda untuk memasukkan distribusi yang Anda inginkan daripada mengandalkan fakta bahwa data tersebut berasal dari distribusi Normal.

---

Solusi brute force kedua yang bergantung pada kenyataan bahwa ketika kepadatan relatif besar Anda dapat dengan mudah melakukan perhitungan brute-force adalah sebagai berikut

n <- 1000000

x <- 3  #The desired sum to condition on

A <- rnorm(n)
B <- rnorm(n)
sum_AB <- A+B

epsilon <- .01
idx <- which(sum_AB > x-epsilon & sum_AB < x+epsilon)
estimate <- mean(A[idx]^2)

estimate

Menjalankan kode ini, kami memperoleh yang berikut ini

> estimate
[1] 2.757067

Dengan demikian menjalankan kode untuk $A+B=3$ hasil dalam $E(A^2|A+B=3)=2.757067$ yang setuju dengan solusi yang sebenarnya.

menurut saya pertanyaannya adalah:

1. bagaimana mensimulasikan (X, Y) bersyarat pada X + Y = k dan kemudian
2. gunakan monte carlo untuk memperkirakan EU (X, Y) untuk beberapa fungsi U (x, y)

mari kita mulai dengan meninjau sampel penting :

$E V(Z_1) = \int V(z) f_1(z) = \int V(z) \frac{f_1(z)}{f_2(z)} f_2(z) = E V(Z_2)\frac{f_1(Z_2)}{f_2(Z_2)}$

di mana harapan pertama adalah sehubungan dengan variabel acak $Z_1$ dengan kepadatan $f_1(z)$ dan yang kedua adalah wrt $Z_2$ dengan kepadatan $f_2(z)$.

Jadi jika Anda dapat mensimulasikan secara acak $z_i$dari $f_1$ lalu perkirakan menggunakan $\frac{1}{n} \sum_i V(z_i)$ atau sebagai alternatif mensimulasikan $z_i$dari $f_2$ lalu gunakan $\frac{1}{n} \sum_i V(z_i) \frac{f_1(z_i)}{f_2(z_i)}$

Sekarang mari kita kembali ke kasus kita $U(x,y)=x^2$ dan $(X,Y)$ didistribusikan sebagai kondisi (X, Y) pada X + Y = k, yaitu $\frac{f(x,y)}{\int_{x+y=k} f(x,y)}$ dan biarkan $A = \int_{x+y=k} f(x,y)$

jadi sekarang prosedurnya adalah:

1. menghasilkan salinan dari kepadatan $g(x)$ - dan hubungi mereka $X_i$
2. membiarkan $Y_i=k-X_i$ perhatikan distribusi ini (X, Y) adalah $g(x)I(x+y=k)$dimana $I()$ adalah fungsi indikator
3. perkiraannya adalah $$\frac{1}{n} \sum_i U(x_i,y_i) \frac{f(x_i,y_i)}{A g(x_i)}$$