Varian dari vektor acak setelah transformasi linear

20

Jika adalah vektor acak dan adalah matriks tetap, dapatkah seseorang menjelaskan mengapa $\mathbf {Z}$ $A$

c Hai v [SEBUAH Z] = SEBUAH c Hai v [Z] {SEBUAH}^{⊤} .

$\mathrm{cov}[A \mathbf {Z}]= A \mathrm{cov}[\mathbf {Z}]A^\top.$

covariance

— pengguna92612
sumber

26

Untuk vektor acak (kolom) dengan vektor rata-rata , matriks kovarians didefinisikan sebagai . Dengan demikian, matriks kovarians , yang vektor rata-ratanya adalah , diberikan oleh $\mathbf Z$ $\mathbf{m} = E[\mathbf{Z}]$ $\operatorname{cov}(\mathbf{Z}) = E[(\mathbf{Z}-\mathbf{m})(\mathbf{Z}-\mathbf{m})^T]$ $A\mathbf{Z}$ $A\mathbf{m}$

\begin{aligned} cov (SEBUAH Z) & = E [(SEBUAH Z - SEBUAH m) (SEBUAH Z - SEBUAH m)^{T}] \\ = E [SEBUAH (Z - m) (Z - m)^{T} {SEBUAH}^{T}] \\ = SEBUAH E [(Z - m) (Z - m)^{T}] {SEBUAH}^{T} \\ = SEBUAH cov (Z) {SEBUAH}^{T} . \end{aligned}

$\begin{align}\operatorname{cov}(A\mathbf{Z}) &= E[(A\mathbf{Z}-A\mathbf{m})(A\mathbf{Z}-A\mathbf{m})^T]\\ &= E[A(\mathbf{Z}-\mathbf{m})(\mathbf{Z}-\mathbf{m})^TA^T]\\ &= AE[(\mathbf{Z}-\mathbf{m})(\mathbf{Z}-\mathbf{m})^T]A^T\\ &= A\operatorname{cov}(\mathbf{Z})A^T. \end{align}$

— Dilip Sarwate
sumber

1

Saya memperbaiki kesalahan ketik saya. Terima kasih telah menunjukkan kesalahan saya.

— user92612

4

Saya akan menambahkan jawaban oleh Dilip Sarwate bahwa hasil yang sama berlaku juga untuk transformasi bentuk : $\mathbf{Z}A^T$

c Hai v (Z {SEBUAH}^{T}) = SEBUAH c Hai v (Z) {SEBUAH}^{T}

$\mathrm{cov}(\mathbf{Z}A^T) = A\mathrm{cov}(\mathbf{Z})A^T$

Menggunakan pendekatan yang sama:

\begin{aligned} c Hai v (Z {SEBUAH}^{T}) & = E [(Z {SEBUAH}^{T} - m {SEBUAH}^{T}) (Z {SEBUAH}^{T} - m {SEBUAH}^{T})^{T}] \\ = E [(Z - m) {SEBUAH}^{T} SEBUAH (Z - m)^{T}] \\ = E [SEBUAH (Z - m) (Z - m)^{T} {SEBUAH}^{T}] \\ = SEBUAH E [(Z - m) (Z - m)^{T}] {SEBUAH}^{T} \\ = SEBUAH c Hai v (Z) {SEBUAH}^{T} \end{aligned}

$\begin{align} \mathrm{cov}(\mathbf{Z}A^T)&=\mathbb{E}[(\mathbf{Z}A^T-\mathbf{m}A^T)(\mathbf{Z}A^T-\mathbf{m}A^T)^T] \\ &=\mathbb{E}[(\mathbf{Z}-\mathbf{m})A^TA(\mathbf{Z}-\mathbf{m})^T] \\ &=\mathbb{E}[A(\mathbf{Z}-\mathbf{m})(\mathbf{Z}-\mathbf{m})^TA^T] \\ &=A\mathbb{E}[(\mathbf{Z}-\mathbf{m})(\mathbf{Z}-\mathbf{m})^T]A^T \\ &=A\mathrm{cov}(\mathbf{Z})A^T \\ \end{align}$

Menggunakan dalam langkah (3): $AB^TBA^T=BAA^TB^T$

\begin{aligned} SEBUAH B^{T} B {SEBUAH}^{T} & = {({(SEBUAH B^{T} B {SEBUAH}^{T})}^{T})}^{T} \\ = {(B {SEBUAH}^{T} SEBUAH B^{T})}^{T} \\ = B {(B {SEBUAH}^{T} SEBUAH)}^{T} \\ = B SEBUAH {SEBUAH}^{T} B^{T} \end{aligned}

$\begin{align}AB^TBA^T &= \left(\left(AB^TBA^T\right)^T\right)^T \\ &= \left(BA^TAB^T\right)^T \\ &= B\left(BA^TA\right)^T \\ &= BAA^TB^T \end{align}$

— Jan Kukacka
sumber