Varian dari vektor acak setelah transformasi linear


20

Jika adalah vektor acak dan adalah matriks tetap, dapatkah seseorang menjelaskan mengapaZSEBUAH

cHaiv[SEBUAHZ]=SEBUAHcHaiv[Z]SEBUAH.

Jawaban:


26

Untuk vektor acak (kolom) dengan vektor rata-rata , matriks kovarians didefinisikan sebagai . Dengan demikian, matriks kovarians , yang vektor rata-ratanya adalah , diberikan oleh m = E [ Z ] cov ( Z ) = E [ ( Z - m ) ( Z - m ) T ] Sebuah Z A m cov ( A Z )Zm=E[Z]cov(Z)=E[(Z-m)(Z-m)T]SEBUAHZSEBUAHm

cov(SEBUAHZ)=E[(SEBUAHZ-SEBUAHm)(SEBUAHZ-SEBUAHm)T]=E[SEBUAH(Z-m)(Z-m)TSEBUAHT]=SEBUAHE[(Z-m)(Z-m)T]SEBUAHT=SEBUAHcov(Z)SEBUAHT.

1
Saya memperbaiki kesalahan ketik saya. Terima kasih telah menunjukkan kesalahan saya.
user92612

4

Saya akan menambahkan jawaban oleh Dilip Sarwate bahwa hasil yang sama berlaku juga untuk transformasi bentuk : c o v ( Z A T ) = A c o v ( Z ) A TZSEBUAHT

cHaiv(ZSEBUAHT)=SEBUAHcHaiv(Z)SEBUAHT

Menggunakan pendekatan yang sama:

cHaiv(ZSEBUAHT)=E[(ZSEBUAHT-mSEBUAHT)(ZSEBUAHT-mSEBUAHT)T]=E[(Z-m)SEBUAHTSEBUAH(Z-m)T]=E[SEBUAH(Z-m)(Z-m)TSEBUAHT]=SEBUAHE[(Z-m)(Z-m)T]SEBUAHT=SEBUAHcHaiv(Z)SEBUAHT

Menggunakan dalam langkah (3): SEBUAHBTBSEBUAHT=BSEBUAHSEBUAHTBT

SEBUAHBTBSEBUAHT=((SEBUAHBTBSEBUAHT)T)T=(BSEBUAHTSEBUAHBT)T=B(BSEBUAHTSEBUAH)T=BSEBUAHSEBUAHTBT
Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.