Mengapa orang sering mengoptimalkan faktor penentu

Katakanlah saya punya vektor acak $Y\sim N(X\beta,\Sigma)$ dan $\Sigma\neq\sigma^2 I$. Yaitu, elemen dari$Y$ (diberikan $X\beta$) berkorelasi.

Penaksir alami dari $\beta$ adalah $(X'\Sigma^{-1}X)^{-1}X'\Sigma^{-1}Y$, dan $\text{var}(\hat{\beta})=(X'\Sigma^{-1}X)^{-1}$

Dalam konteks desain, eksperimen dapat mengutak-atik desain yang akan menghasilkan perbedaan $X$ dan $\Sigma$ dengan demikian berbeda $\text{var}(\hat{\beta})$. Untuk memilih desain yang optimal, saya melihat bahwa orang sering mencoba untuk meminimalkan penentu$(X'\Sigma^{-1} X)^{-1}$, apa intuisi di balik ini?

Mengapa tidak, katakanlah, meminimalkan jumlah elemen-elemennya?

Sebagai kriteria desain, untuk meminimalkan penentu $(X'\Sigma^{-1} X)^{-1}$, Yang sama dengan memaksimalkan penentu $(X'\Sigma^{-1} X)$, dikenal sebagai desain eksperimental D-optimal. Penentu matriks kovarians dikenal sebagai varian umum, jadi kami meminimalkan varian umum. Fungsionalitas lain dari matriks kovarians dapat digunakan sebagai kriteria, tetapi apa yang Anda usulkan (meminimalkan jumlah elemen-elemennya) tidak masuk akal. Kriteria D-optimality memiliki keuntungan praktis yang besar untuk menjadi invarian di bawah transformasi linear dari variabel regressor, yang merupakan keunggulan praktis yang besar. Invarian berarti bahwa optimalitas tidak dipengaruhi oleh hal-hal seperti pemilihan unit pengukuran, (seperti m atau km ). Dengan kriteria optimalitas non-invarian, hasilnya dapat bergantung pada hal-hal yang tidak relevan seperti pemilihan unit pengukuran.

Jika Anda mencari "D-optimal" di situs ini, Anda akan menemukan posting lain yang relevan!