Fungsi likelihood dari distribusi lognormal adalah:
f(x;μ,σ)∝∏ni11σxiexp(−(lnxi−μ)22σ2)
dan Prioritas Jeffreys adalah:
p(μ,σ)∝1σ2
jadi menggabungkan keduanya memberi:
f(μ,σ2|x)=∏ni11σxiexp(−(lnxi−μ)22σ2)⋅σ−2
Saya tahu bahwa kepadatan posterior untuk σ2 Gamma terbalik dibagikan, jadi saya harus menghitung
f(σ2|x)=∫f(μ,σ2|x)dμ
tapi saya tidak tahu harus mulai dari mana di sini.
Setelah komentar Glen_b, saya mencobanya:
f( μ ,σ2| x)=∏nsaya11σxsayaexp( -( lnxsaya- μ)22σ2) ⋅σ- 2
=σ- n - 2∏ni = 11xsayaexp( -12σ2∑ni = 1( lnxsaya- μ ) )
tapi saya tidak bisa melihat ini terjadi di mana saja.
Gagasan lain yang saya dapatkan adalah mendefinisikan ysaya= ln(xsaya), kemudian yterdistribusi normal. Begitu
f( μ ,σ2| y) = [∏ni = 112 π√⋅1σexp( -12σ2(ysaya- μ)2) ] ⋅1σ2
∝σ- n - 2⋅ exp( -12σ2∑ni = 1(ysaya-y¯)2+ n (y¯- μ)2)
=σ- n - 2⋅ exp( -12σ2( ( n - 1 )s2+ n (y¯- μ)2) )
=σ- n - 2⋅ exp( -12σ2( ( n - 1 )s2) exp( n (y¯- μ)2) )
lalu mengintegrasikan:
σ- n - 2⋅ exp( -12σ2( ( n - 1 )s2) ∫exp( -12σ2n (y¯- μ)2) ) dμ
dengan metode yang Anda sarankan saya dapatkan:
∫exp( -12σ2n (y¯- μ)2) ) dμ =2 πσ2n----√
Begitu:
∝ (σ2)- ( n + 1 ) / 2exp( -12σ2( ( n - 1 )s2)
Gamma yang memang terbalik dibagikan.
Tetapi saya tidak yakin apakah ini benar, itu juga hasil yang sama seperti yang saya dapatkan untuk kemungkinan normal.
Saya menemukan ini dalam literatur (tanpa penjelasan lebih lanjut):