Apa hasil distribusi dalam menambahkan dua distribusi Pareto

Saya ingin tahu apa hasil distribusi dalam menambahkan dua (atau lebih) distribusi Pareto tipe-satu dari bentuk . Secara eksperimental, ini terlihat seperti hukum kekuatan dua mode, asimptotik terhadap perbedaan alfa. $x^{-\alpha}$

distributions power-law pareto-distribution

— AMG
sumber

Komentar terakhir membuatnya terdengar seperti Anda merenungkan alfa yang berbeda di antara distribusi. Apakah Anda akan memperbaiki domain (alias "timbangan") dari distribusi atau tidak? Penghitungan cepat Mathematica menunjukkan PDF termasuk, sebagai salah satu syaratnya, produk dan perbedaan distribusi Beta dalam dan distribusi Beta dalam . Ini unimodal untuk . Hasil ini tidak berlaku untuk dan , jadi apakah ada batasan pada nilai yang mungkin dari parameter yang Anda minati?

x^{- α - β}

$x^{-\alpha-\beta}$

(- α, 1 - β)

$(-\alpha,1-\beta)$

1 - 1 / x

$1-1/x$

1 / x

$1/x$

0 < α < β < 1

$0\lt\alpha\lt\beta\lt 1$

α

$\alpha$

β

$\beta$

— whuber

Makalah berikut ini mengusulkan perluasan CDF dan cara untuk memperkirakannya: docs.isfa.fr/labo/2012.16.pdf

— RUser4512

Diedit agar lebih mudah dibaca. Distribusi ditambahkan dengan konvolusi. Distribusi Pareto adalah bagian bijaksana yang didefinisikan sebagai untuk dan 0 untuk . Konvolusi dua fungsi Pareto dan adalah: $k^a x^{-a-1}$ $x\geq k$ $x<k$ $k^a x^{-a-1}$ $j^b x^{-b-1}$

a (- 1)^{- b} b k^{a} j^{b} Γ (a + b + 1) \times ({(\frac{1}{t - j})}^{a + b + 1}_{2} {\tilde{F}}_{1} (b + 1, a + b + 1; a + b + 2; \frac{t}{t - j}) - {(\frac{1}{k})}^{a + b + 1}_{2} {\tilde{F}}_{1} (b + 1, a + b + 1; a + b + 2; \frac{t}{k})),

$a (-1)^{-b} b k^a j^b \Gamma (a+b+1) \times \\ \left(\left(\frac{1}{t-j}\right)^{a+b+1} \, _2\tilde{F}_1\left(b+1,a+b+1;a+b+2;\frac{t}{t-j}\right)- \\ \left(\frac{1}{k}\right)^{a+b+1} \, _2\tilde{F}_1\left(b+1,a+b+1;a+b+2;\frac{t}{k}\right)\right),$

di mana dan 0 untuk , yang meskipun bidang kompleks dalam istilah itu, bernilai nyata di luarnya. adalah Hypergeometric2F1Ditetapkan di sini dalam kode Mathematica. Tidak semua pilihan untuk parameter akan menghasilkan fungsi kepadatan bernilai positif. Berikut adalah contoh kapan mereka positif. Untuk dua distribusi Pareto, biarkan a = 2, b = 3, j = 0,1 dan k = 0,3. dan plotnya berwarna biru untuk fungsi {k, a} dan oranye untuk fungsi {j, b}. Konvolusi mereka kemudian secara grafis dimana, ketika ekor diperiksa terlihat seperti di mana hijau adalah konvolusi. $j+k<x$ $x\leq j+k$ $\, _2\tilde{F}_1(w,x;y;z)$

Dari pertanyaan Anda, Anda mungkin bertanya tentang penambahan dua distribusi Pareto biasa. Dalam hal itu, area di bawah kurva adalah dua, jadi jumlah bukanlah fungsi kepadatan, yang perlu memiliki area di bawah kurva satu. Namun, jika itu pertanyaannya maka untuk disederhanakan untuk , yang memiliki batas hanya jika , dan 0 atau tak terhingga dalam semua kasus lainnya. Dengan kata lain, jumlah aritmatika dari dua distribusi Pareto hanya memiliki ekor yang merupakan perbedaan antara dan ketika $\frac{a k^a t^{-a-1}+b j^b t^{-b-1}}{t^{a-b-1}}$ $b>a>0$ $t^{-2 a} \left(b t^a j^b+a k^a t^b\right)$ $a k^a$ $b=2a$ $a$ $b$ $b=2a$ , dan jumlah aritmatika bukan fungsi kerapatan, dan jumlahnya harus diskalakan untuk dua probabilitas, untuk menjadi fungsi kerapatan. Meskipun penambahan aritmatika fungsi kerapatan untuk menentukan fungsi kerapatan lain memang terjadi, itu tidak biasa. Salah satu contoh ini terjadi dalam farmakokinetik, di mana jumlah dari dua atau lebih distribusi eksponensial digunakan untuk menentukan fungsi kepadatan. Singkatnya, itu bukan sesuatu yang akan saya rekomendasikan. $1=p+q$

Semoga ini menjawab pertanyaan Anda. Jika tidak, harap keberatan dengan jawaban saya atau tambahkan beberapa informasi lagi.

— Carl
sumber

@ung Terima kasih atas pembersihannya. Apakah ada etika yang diperlukan dari saya untuk ini? Apakah seseorang mendapatkan reputasi yang diberikan untuk pembersihan, atau hanya niat baik?

— Carl

Sama-sama, @Carl. Jika reputasi Anda <2k (?), Saat Anda menyarankan edit & disetujui, Anda mendapat +2. Setelah itu, hasil edit tidak memberi Anda apa-apa. Saya tidak perlu perwakilan, jadi tidak masalah. Jawaban Anda di sini bagus (+1), saya baru mengeditnya untuk membuatnya sedikit lebih mudah dibaca.

— gung - Reinstate Monica