Memperkirakan jumlah bola dengan memilih bola secara berurutan dan menandainya

Katakanlah saya punya N bola di tas. Pada undian pertama saya, saya menandai bola dan menggantinya di tas. Pada undian kedua saya, jika saya mengambil bola bertanda saya mengembalikannya ke tas. Namun, jika saya mengambil bola yang tidak ditandai maka saya menandainya dan mengembalikannya ke tas. Saya melanjutkan ini untuk sejumlah undian. Berapa jumlah bola yang diharapkan di dalam kantung yang diberi jumlah undian dan sejarah undian yang ditandai / tidak bertanda?

$\mathcal{I}$$N$$\mathcal{I}$$M$$k$$M$$E(N|k)$$M,k$

Menurut aturan Bayes yang kita miliki

$$\begin{align} P(N=j|k) &= \frac{P(k|N=j)P(N=j)}{P(k)}\\ &= \frac{P(k|N=j)P(N=j)}{\sum_{r \in \mathcal{I}} P(k|N=r)P(N=r)} \end{align}$$

$P(k|N=j)$$P(k|N=j)$$k$$M$$j$

$$P(k|N=j) = \frac{\binom{j}{k}k!S(M,k)}{j^M}$$

di mana menunjukkan angka pengadukan dari jenis kedua . Kami kemudian dapat menghitung$S$

$$E(N|k) = \sum_{j \in \mathcal{I}}jP(N=j|k)$$

Berikut adalah beberapa perhitungan untuk berbagai dan . Dalam setiap kasus kami menggunakan seragam sebelum$k$$M$$[k,10k]$

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline M & k & E(N)\\\hline 10 & 5 & 7.99 \\ 15 & 5 & 5.60 \\ 15 & 10 & 23.69\\ 30 & 15 & 20.00\\ 30 & 20 & 39.53 \\ \hline \end{array}$$