Apa yang setara dengan lme4 :: lmer dari ANOVA yang diulang tiga arah?

Pertanyaan saya didasarkan pada respons ini yang menunjukkan lme4::lmermodel mana yang sesuai dengan langkah-langkah berulang ANOVA dua arah:

require(lme4)
set.seed(1234)
d <- data.frame(
    y = rnorm(96),
    subject = factor(rep(1:12, 4)),
    a = factor(rep(1:2, each=24)),
    b = factor(rep(rep(1:2, each=12))),
    c = factor(rep(rep(1:2, each=48))))

# standard two-way repeated measures ANOVA:
summary(aov(y~a*b+Error(subject/(a*b)), d[d$c == "1",]))

# corresponding lmer call:
anova(lmer(y ~ a*b+(1|subject) + (1|a:subject) + (1|b:subject), d[d$c == "1",]))

Pertanyaan saya sekarang adalah bagaimana memperluas ini ke kasus ANOVA tiga arah:

summary(aov(y~a*b*c+Error(subject/(a*b*c)), d))
## [...]
## Error: subject:a:b:c
##           Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## a:b:c      1  0.101  0.1014   0.115  0.741
## Residuals 11  9.705  0.8822

Ekstensi alami serta versi daripadanya tidak cocok dengan hasil ANOVA:

anova(lmer(y ~ a*b*c +(1|subject) + (1|a:subject) + (1|b:subject) + (1|c:subject), d))
## [...]
## a:b:c  1 0.1014  0.1014  0.1500

anova(lmer(y ~ a*b*c +(1|subject) + (1|a:subject) + (1|b:subject) + (1|c:subject) + 
               (1|a:b:subject) + (1|a:c:subject) + (1|b:c:subject), d))
## [...]
## a:b:c  1 0.1014  0.1014  0.1539

Perhatikan bahwa pertanyaan yang sangat mirip telah diajukan sebelumnya . Namun, tidak ada contoh data (yang disediakan di sini).

— Henrik
sumber

Apakah Anda yakin tidak ingin model dua tingkat Anda menjadi y ~ a*b + (1 + a*b|subject), d[d$c == "1",]? Atau mungkin saya melewatkan sesuatu?

— Rasmus Bååth

@ RasmusBååth Go Ahead dan coba pas, lmerakan mengeluh karena efek acak tidak teridentifikasi lagi. Awalnya saya juga berpikir bahwa ini adalah model yang saya inginkan, tetapi ternyata tidak. Jika Anda membandingkan model lmer yang saya usulkan untuk case 2-way dengan ANOVA standar, Anda akan melihat bahwa nilai-F sama persis . Seperti yang dikatakan dalam tanggapan saya ditautkan.

— Henrik

Untuk masalah tiga arah, lmermodel pertama yang Anda tulis (yang tidak termasuk interaksi dua arah acak) tidak diharapkan setara dengan RM-ANOVA 3 arah, tetapi yang kedua yang Anda tulis (yang termasuk acak interaksi dua arah) seharusnya. Adapun mengapa ada perbedaan bahkan dengan model itu, saya punya firasat tentang apa masalahnya, akan makan malam lalu akan melihat dataset mainan lagi.

— Jake Westfall

Jawaban langsung untuk pertanyaan Anda adalah bahwa model terakhir yang Anda tulis,

anova(lmer(y ~ a*b*c +(1|subject) + (1|a:subject) + (1|b:subject) + (1|c:subject) + 
           (1|a:b:subject) + (1|a:c:subject) + (1|b:c:subject), d))

Saya percaya "pada prinsipnya" benar, meskipun itu adalah parameterisasi aneh yang sepertinya tidak selalu berfungsi dengan baik dalam praktik yang sebenarnya.

Adapun mengapa output yang Anda dapatkan dari model ini berbeda dengan aov()output, saya pikir ada dua alasan.

Dataset simulasi sederhana Anda bersifat patologis karena model yang paling pas adalah yang menyiratkan komponen varians negatif, yang tidak dapat diterima oleh model campuran lmer()(dan sebagian besar program model campuran lainnya).
Bahkan dengan dataset non-patologis, cara Anda mengatur model, seperti yang disebutkan di atas, tampaknya tidak selalu bekerja dengan baik dalam praktiknya, walaupun harus saya akui saya tidak begitu mengerti mengapa. Secara umum juga aneh menurut saya, tapi itu cerita lain.

Ijinkan saya mendemonstrasikan parameterisasi yang saya sukai pada contoh ANOVA dua arah awal Anda. Asumsikan bahwa dataset Anda ddimuat. Model Anda (perhatikan bahwa saya mengubah dari dummy ke kode kontras) adalah:

options(contrasts=c("contr.sum","contr.poly"))
mod1 <- lmer(y ~ a*b+(1|subject) + (1|a:subject) + (1|b:subject),
         data = d[d$c == "1",])
anova(mod1)
# Analysis of Variance Table
#     Df  Sum Sq Mean Sq F value
# a    1 2.20496 2.20496  3.9592
# b    1 0.13979 0.13979  0.2510
# a:b  1 1.23501 1.23501  2.2176

yang bekerja dengan baik di sini karena cocok dengan aov()output. Model yang saya sukai melibatkan dua perubahan: pengkodean kontras faktor secara manual sehingga kami tidak bekerja dengan objek faktor R (yang saya sarankan lakukan dalam 100% kasus), dan menetapkan efek acak berbeda:

d <- within(d, {
  A <- 2*as.numeric(paste(a)) - 3
  B <- 2*as.numeric(paste(b)) - 3
  C <- 2*as.numeric(paste(c)) - 3
})
mod2 <- lmer(y ~ A*B + (1|subject)+(0+A|subject)+(0+B|subject),
             data = d[d$c == "1",])
anova(mod2)
# Analysis of Variance Table
# Df  Sum Sq Mean Sq F value
# A    1 2.20496 2.20496  3.9592
# B    1 0.13979 0.13979  0.2510
# A:B  1 1.23501 1.23501  2.2176

logLik(mod1)
# 'log Lik.' -63.53034 (df=8)
logLik(mod2)
# 'log Lik.' -63.53034 (df=8)

Kedua pendekatan ini benar-benar setara dalam masalah 2 arah yang sederhana. Sekarang kita akan beralih ke masalah 3 arah. Saya sebutkan sebelumnya bahwa contoh dataset yang Anda berikan bersifat patologis. Jadi apa yang ingin saya lakukan sebelum membahas contoh dataset Anda adalah pertama-tama menghasilkan dataset dari model komponen varians yang sebenarnya (yaitu, di mana komponen varians non-nol dibangun ke dalam model yang benar). Pertama saya akan menunjukkan bagaimana parameterisasi pilihan saya tampaknya berfungsi lebih baik daripada yang Anda usulkan. Kemudian saya akan menunjukkan cara lain untuk memperkirakan komponen varians yang tidak memaksakan bahwa mereka harus non-negatif. Kemudian kita akan berada dalam posisi untuk melihat masalah dengan dataset contoh asli.

Dataset baru akan identik dalam struktur kecuali kita akan memiliki 50 subjek:

set.seed(9852903)
d2 <- expand.grid(A=c(-1,1), B=c(-1,1), C=c(-1,1), sub=seq(50))
d2 <- merge(d2, data.frame(sub=seq(50), int=rnorm(50), Ab=rnorm(50),
  Bb=rnorm(50), Cb=rnorm(50), ABb=rnorm(50), ACb=rnorm(50), BCb=rnorm(50)))
d2 <- within(d2, {
  y <- int + (1+Ab)*A + (1+Bb)*B + (1+Cb)*C + (1+ABb)*A*B +
    (1+ACb)*A*C + (1+BCb)*B*C + A*B*C + rnorm(50*2^3)
  a <- factor(A)
  b <- factor(B)
  c <- factor(C)
})

Rasio-F yang ingin kami cocokkan adalah:

aovMod1 <- aov(y ~ a*b*c + Error(factor(sub)/(a*b*c)), data = d2)
tab <- lapply(summary(aovMod1), function(x) x[[1]][1,2:4])
do.call(rbind, tab)
#                          Sum Sq Mean Sq F value
# Error: factor(sub)       439.48    8.97        
# Error: factor(sub):a     429.64  429.64  32.975
# Error: factor(sub):b     329.48  329.48  27.653
# Error: factor(sub):c     165.44  165.44  17.924
# Error: factor(sub):a:b   491.33  491.33  49.694
# Error: factor(sub):a:c   305.46  305.46  41.703
# Error: factor(sub):b:c   466.09  466.09  40.655
# Error: factor(sub):a:b:c 392.76  392.76 448.101

Berikut adalah dua model kami:

mod3 <- lmer(y ~ a*b*c + (1|sub)+(1|a:sub)+(1|b:sub)+(1|c:sub)+
  (1|a:b:sub)+(1|a:c:sub)+(1|b:c:sub), data = d2)
anova(mod3)
# Analysis of Variance Table
#       Df Sum Sq Mean Sq F value
# a      1  32.73   32.73  34.278
# b      1  21.68   21.68  22.704
# c      1  12.53   12.53  13.128
# a:b    1  60.93   60.93  63.814
# a:c    1  50.38   50.38  52.762
# b:c    1  57.30   57.30  60.009
# a:b:c  1 392.76  392.76 411.365

mod4 <- lmer(y ~ A*B*C + (1|sub)+(0+A|sub)+(0+B|sub)+(0+C|sub)+
  (0+A:B|sub)+(0+A:C|sub)+(0+B:C|sub), data = d2)
anova(mod4)
# Analysis of Variance Table
#       Df Sum Sq Mean Sq F value
# A      1  28.90   28.90  32.975
# B      1  24.24   24.24  27.653
# C      1  15.71   15.71  17.924
# A:B    1  43.56   43.56  49.694
# A:C    1  36.55   36.55  41.703
# B:C    1  35.63   35.63  40.655
# A:B:C  1 392.76  392.76 448.101

logLik(mod3)
# 'log Lik.' -984.4531 (df=16)
logLik(mod4)
# 'log Lik.' -973.4428 (df=16)

Seperti yang bisa kita lihat, hanya metode kedua yang cocok dengan keluaran aov(), meskipun metode pertama setidaknya di stadion baseball. Metode kedua juga mencapai kemungkinan log yang lebih tinggi. Saya tidak yakin mengapa kedua metode ini memberikan hasil yang berbeda, karena sekali lagi saya pikir mereka setara "pada prinsipnya", tetapi mungkin karena beberapa alasan numerik / komputasi. Atau mungkin saya salah dan mereka pada prinsipnya tidak setara.

Sekarang saya akan menunjukkan cara lain untuk memperkirakan komponen varians berdasarkan ide-ide ANOVA tradisional. Pada dasarnya kami akan mengambil persamaan kuadrat rata-rata yang diharapkan untuk desain Anda, menggantikan nilai-nilai yang diamati dari kuadrat rata-rata, dan menyelesaikan komponen varians. Untuk mendapatkan kuadrat rata-rata yang diharapkan kita akan menggunakan fungsi R yang saya tulis beberapa tahun yang lalu, yang disebut EMS(), yang didokumentasikan DI SINI . Di bawah ini saya menganggap fungsi sudah dimuat.

# prepare coefficient matrix
r <- 1 # number of replicates
s <- 50 # number of subjects
a <- 2 # number of levels of A
b <- 2 # number of levels of B
c <- 2 # number of levels of C
CT <- EMS(r ~ a*b*c*s, random="s")
expr <- strsplit(CT[CT != ""], split="")
expr <- unlist(lapply(expr, paste, collapse="*"))
expr <- sapply(expr, function(x) eval(parse(text=x)))
CT[CT != ""] <- expr
CT[CT == ""] <- 0
mode(CT) <- "numeric"
# residual variance and A*B*C*S variance are confounded in
# this design, so remove the A*B*C*S variance component
CT <- CT[-15,-2]
CT
#        VarianceComponent
# Effect  e b:c:s a:c:s a:b:s a:b:c c:s b:s a:s b:c a:c a:b s   c   b   a
#   a     1     0     0     0     0   0   0   4   0   0   0 0   0   0 200
#   b     1     0     0     0     0   0   4   0   0   0   0 0   0 200   0
#   c     1     0     0     0     0   4   0   0   0   0   0 0 200   0   0
#   s     1     0     0     0     0   0   0   0   0   0   0 8   0   0   0
#   a:b   1     0     0     2     0   0   0   0   0   0 100 0   0   0   0
#   a:c   1     0     2     0     0   0   0   0   0 100   0 0   0   0   0
#   b:c   1     2     0     0     0   0   0   0 100   0   0 0   0   0   0
#   a:s   1     0     0     0     0   0   0   4   0   0   0 0   0   0   0
#   b:s   1     0     0     0     0   0   4   0   0   0   0 0   0   0   0
#   c:s   1     0     0     0     0   4   0   0   0   0   0 0   0   0   0
#   a:b:c 1     0     0     0    50   0   0   0   0   0   0 0   0   0   0
#   a:b:s 1     0     0     2     0   0   0   0   0   0   0 0   0   0   0
#   a:c:s 1     0     2     0     0   0   0   0   0   0   0 0   0   0   0
#   b:c:s 1     2     0     0     0   0   0   0   0   0   0 0   0   0   0
#   e     1     0     0     0     0   0   0   0   0   0   0 0   0   0   0

# get mean squares
(MSmod <- summary(aov(y ~ a*b*c*factor(sub), data=d2)))
#                   Df Sum Sq Mean Sq
# a                  1  429.6   429.6
# b                  1  329.5   329.5
# c                  1  165.4   165.4
# factor(sub)       49  439.5     9.0
# a:b                1  491.3   491.3
# a:c                1  305.5   305.5
# b:c                1  466.1   466.1
# a:factor(sub)     49  638.4    13.0
# b:factor(sub)     49  583.8    11.9
# c:factor(sub)     49  452.2     9.2
# a:b:c              1  392.8   392.8
# a:b:factor(sub)   49  484.5     9.9
# a:c:factor(sub)   49  358.9     7.3
# b:c:factor(sub)   49  561.8    11.5
# a:b:c:factor(sub) 49   42.9     0.9
MS <- MSmod[[1]][,"Mean Sq"]

# solve
ans <- solve(CT, MS)
cbind(rev(ans[c(grep("e",names(ans)),grep("s",names(ans)))])/
        c(1,2,2,2,4,4,4,1))
# s     1.0115549
# a:s   1.5191114
# b:s   1.3797937
# c:s   1.0441351
# a:b:s 1.1263331
# a:c:s 0.8060402
# b:c:s 1.3235126
# e     0.8765093
summary(mod4)
# Random effects:
#  Groups   Name        Variance Std.Dev.
#  sub      (Intercept) 1.0116   1.0058  
#  sub.1    A           1.5191   1.2325  
#  sub.2    B           1.3798   1.1746  
#  sub.3    C           1.0441   1.0218  
#  sub.4    A:B         1.1263   1.0613  
#  sub.5    A:C         0.8060   0.8978  
#  sub.6    B:C         1.3235   1.1504  
#  Residual             0.8765   0.9362  
# Number of obs: 400, groups:  sub, 50

Oke, sekarang kita akan kembali ke contoh semula. Rasio-F yang kami coba padankan adalah:

aovMod2 <- aov(y~a*b*c+Error(subject/(a*b*c)), data = d)
tab <- lapply(summary(aovMod2), function(x) x[[1]][1,2:4])
do.call(rbind, tab)
#                       Sum Sq Mean Sq F value
# Error: subject       13.4747  1.2250        
# Error: subject:a      1.4085  1.4085  1.2218
# Error: subject:b      3.1180  3.1180  5.5487
# Error: subject:c      6.3809  6.3809  5.2430
# Error: subject:a:b    1.5706  1.5706  2.6638
# Error: subject:a:c    1.0907  1.0907  1.5687
# Error: subject:b:c    1.4128  1.4128  2.3504
# Error: subject:a:b:c  0.1014  0.1014  0.1149

Berikut adalah dua model kami:

mod5 <- lmer(y ~ a*b*c + (1|subject)+(1|a:subject)+(1|b:subject)+
  (1|c:subject)+(1|a:b:subject)+(1|a:c:subject)+(1|b:c:subject),
  data = d)
anova(mod5)
# Analysis of Variance Table
#       Df Sum Sq Mean Sq F value
# a      1 0.8830  0.8830  1.3405
# b      1 3.1180  3.1180  4.7334
# c      1 3.8062  3.8062  5.7781
# a:b    1 1.5706  1.5706  2.3844
# a:c    1 0.9620  0.9620  1.4604
# b:c    1 1.4128  1.4128  2.1447
# a:b:c  1 0.1014  0.1014  0.1539

mod6 <- lmer(y ~ A*B*C + (1|subject)+(0+A|subject)+(0+B|subject)+
  (0+C|subject)+(0+A:B|subject)+(0+A:C|subject)+
  (0+B:C|subject), data = d)
anova(mod6)
# Analysis of Variance Table
#       Df Sum Sq Mean Sq F value
# a      1 0.8830  0.8830  1.3405
# b      1 3.1180  3.1180  4.7334
# c      1 3.8062  3.8062  5.7781
# a:b    1 1.5706  1.5706  2.3844
# a:c    1 0.9620  0.9620  1.4604
# b:c    1 1.4128  1.4128  2.1447
# a:b:c  1 0.1014  0.1014  0.1539

logLik(mod5)
# 'log Lik.' -135.0351 (df=16)
logLik(mod6)
# 'log Lik.' -134.9191 (df=16)

Dalam hal ini kedua model pada dasarnya menghasilkan hasil yang sama, meskipun metode kedua memiliki log-likelihood yang sedikit lebih tinggi. Tidak ada metode yang cocok aov(). Tapi mari kita lihat apa yang kita dapatkan ketika kita menyelesaikan untuk komponen varians seperti yang kita lakukan di atas, menggunakan prosedur ANOVA yang tidak membatasi komponen varians menjadi non-negatif (tetapi yang hanya dapat digunakan dalam desain seimbang tanpa prediktor kontinu dan tidak ada data yang hilang; asumsi ANOVA klasik).

# prepare coefficient matrix
r <- 1 # number of replicates
s <- 12 # number of subjects
a <- 2 # number of levels of A
b <- 2 # number of levels of B
c <- 2 # number of levels of C
CT <- EMS(r ~ a*b*c*s, random="s")
expr <- strsplit(CT[CT != ""], split="")
expr <- unlist(lapply(expr, paste, collapse="*"))
expr <- sapply(expr, function(x) eval(parse(text=x)))
CT[CT != ""] <- expr
CT[CT == ""] <- 0
mode(CT) <- "numeric"
# residual variance and A*B*C*S variance are confounded in
# this design, so remove the A*B*C*S variance component
CT <- CT[-15,-2]

# get mean squares
MSmod <- summary(aov(y ~ a*b*c*subject, data=d))
MS <- MSmod[[1]][,"Mean Sq"]

# solve
ans <- solve(CT, MS)
cbind(rev(ans[c(grep("e",names(ans)),grep("s",names(ans)))])/
        c(1,2,2,2,4,4,4,1))
# s      0.04284033
# a:s    0.03381648
# b:s   -0.04004005
# c:s    0.04184887
# a:b:s -0.03657940
# a:c:s -0.02337501
# b:c:s -0.03514457
# e      0.88224787
summary(mod6)
# Random effects:
#  Groups    Name        Variance  Std.Dev. 
#  subject   (Intercept) 7.078e-02 2.660e-01
#  subject.1 A           6.176e-02 2.485e-01
#  subject.2 B           0.000e+00 0.000e+00
#  subject.3 C           6.979e-02 2.642e-01
#  subject.4 A:B         1.549e-16 1.245e-08
#  subject.5 A:C         4.566e-03 6.757e-02
#  subject.6 B:C         0.000e+00 0.000e+00
#  Residual              6.587e-01 8.116e-01
# Number of obs: 96, groups:  subject, 12

Sekarang kita bisa melihat apa yang patologis tentang contoh aslinya. Model pas terbaik adalah salah satu yang menyiratkan bahwa beberapa komponen varians acak adalah negatif. Tetapi lmer()(dan sebagian besar program model campuran lainnya) membatasi estimasi komponen varians menjadi non-negatif. Ini umumnya dianggap sebagai kendala yang masuk akal, karena varian tentu saja tidak pernah bisa benar-benar negatif. Namun, konsekuensi dari kendala ini adalah bahwa model campuran tidak dapat secara akurat mewakili dataset yang menampilkan korelasi intraclass negatif, yaitu, dataset di mana pengamatan dari cluster yang sama kurang(daripada lebih banyak) serupa rata-rata dari pengamatan yang diambil secara acak dari dataset, dan akibatnya di mana varians dalam-cluster secara substansial melebihi varians antara-cluster. Dataset semacam itu adalah kumpulan data yang masuk akal sempurna yang kadang-kadang akan dijumpai di dunia nyata (atau disimulasikan secara tidak sengaja!), Tetapi tidak dapat dijelaskan secara masuk akal oleh model komponen-varians, karena menyiratkan komponen varians negatif. Namun mereka dapat "tidak masuk akal" dijelaskan oleh model seperti itu, jika perangkat lunak akan mengizinkannya. aov()memungkinkan itu. lmer()tidak.

— Jake Westfall
sumber

+1. Re

I am not sure why these two methods give different results, as again I think they are "in principle" equivalent, but maybe it is for some numerical/computational reasons

- Anda mungkin memahami ini lebih baik sekarang (dua tahun kemudian)? Saya mencoba mencari tahu apa bedanya, tapi jangan

— paham

@amoeba Pemikiran saya saat ini masih hampir sama dengan saat itu: AFAIK, kedua model secara statistik setara (dalam arti bahwa mereka membuat prediksi yang sama tentang data dan menyiratkan kesalahan standar yang sama), meskipun efek acak diparameterisasi berbeda. Saya pikir perbedaan yang diamati - yang tampaknya hanya terjadi kadang-kadang - hanya karena masalah komputasi. Secara khusus, saya menduga Anda dapat bermain-main dengan pengaturan pengoptimal (seperti berbagai titik awal atau menggunakan kriteria konvergensi yang lebih ketat) hingga kedua model mengembalikan jawaban yang sama persis.

— Jake Westfall

Terima kasih untuk balasan Anda. Saya agak tidak yakin: Saya mencoba mengutak-atik pengaturan pengoptimal dan tidak dapat mengubah apa pun dalam hasilnya; Kesan saya adalah bahwa kedua model terkonvergensi dengan baik. Saya mungkin bertanya ini adalah pertanyaan terpisah pada suatu saat.

— Amoeba berkata Reinstate Monica

A

k

$k$ (1|A:sub)(0+A|sub)

k - 1

$k-1$

k (k - 1) / 2

$k(k-1)/2$

k = 2

$k=2$ kedua metode memperkirakan satu parameter, dan saya masih tidak yakin mengapa mereka tidak setuju.

— Amoeba berkata Reinstate Monica

Kembali ke masalah ini ... Saya perhatikan bahwa untuk kasus dua faktor di mana dua lmerpanggilan menghasilkan anova()output yang identik , varian efek acak tetap sangat berbeda: lihat VarCorr(mod1)dan VarCorr(mod2). Saya tidak begitu mengerti mengapa ini terjadi; Apakah kamu? Untuk mod3dan mod4, kita dapat melihat bahwa empat dari tujuh varians untuk mod3sebenarnya sama dengan nol (untuk mod4ketujuh adalah non-nol); "singularitas" mod3ini mungkin adalah mengapa tabel anova berbeda. Selain itu, bagaimana Anda akan menggunakan "cara pilihan" Anda jika adan bmemiliki lebih dari dua level?

— Amuba kata Reinstate Monica

Apakah a, b, ctetap atau efek acak? Jika sudah diperbaiki, sintaks Anda akan mudah

summary(aov(y~a*b*c+Error(subject), d))
Error: subject
          Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
Residuals 11  13.47   1.225               

Error: Within
          Df Sum Sq Mean Sq F value  Pr(>F)   
a          1   1.41   1.408   1.730 0.19235   
b          1   3.12   3.118   3.829 0.05399 . 
c          1   6.38   6.381   7.836 0.00647 **
a:b        1   1.57   1.571   1.929 0.16889   
a:c        1   1.09   1.091   1.339 0.25072   
b:c        1   1.41   1.413   1.735 0.19168   
a:b:c      1   0.10   0.101   0.124 0.72518   
Residuals 77  62.70   0.814  

library(lmerTest)
anova(lmer(y ~ a*b*c+(1|subject), data=d))
Analysis of Variance Table of type 3  with  Satterthwaite 
approximation for degrees of freedom
      Sum Sq Mean Sq NumDF  DenDF F.value   Pr(>F)   
a     1.4085  1.4085     1 76.991  1.7297 0.192349   
b     3.1180  3.1180     1 76.991  3.8291 0.053995 . 
c     6.3809  6.3809     1 76.991  7.8363 0.006469 **
a:b   1.5706  1.5706     1 76.991  1.9289 0.168888   
a:c   1.0907  1.0907     1 76.991  1.3394 0.250716   
b:c   1.4128  1.4128     1 76.991  1.7350 0.191680   
a:b:c 0.1014  0.1014     1 76.991  0.1245 0.725183

— Masato Nakazawa
sumber

Mereka adalah efek yang diperbaiki. Namun, model ANOVA yang Anda cocok bukan model yang tampaknya merupakan model ANOVA yang diulang klasik, lihat misalnya, di sini . Lihat strata Kesalahan dalam kasus Anda dan saya.

— Henrik

Sebenarnya cara mereka melakukannya tidak benar. Jika Anda memiliki desain faktorial berulang sepenuhnya diulang (atau desain faktorial blok acak), Anda harus mendapatkan hanya 1 istilah kesalahan, selain dari subject, untuk semua efek (yaitu, Within). Lihat Desain Eksperimental: Prosedur untuk Ilmu Perilaku (2013) oleh Kirk, bab 10 (hal.458) atau posting saya di sini

— Masato Nakazawa

Mari kita hindari pertanyaan ini untuk saat ini dan menganggap bahwa model yang saya paskan adalah model yang benar. Bagaimana cara Anda menggunakan ini lmer? Namun saya akan mendapatkan salinan Kirk (edisi ke-2) dan melihat apa yang dikatakannya.

— Henrik

Saya ingin tahu apa pendapat Anda tentang bab Kirk. Saya pikir nomor bab di edisi ke-2. berbeda. Sementara itu saya akan mencoba menyesuaikan lmermodel yang berbeda . Cara terbaik untuk memeriksa kecocokan model adalah dengan memeriksa dfs mereka menggunakan lmerTestkarena perkiraan KR seharusnya memberi Anda exactdfs dan karenanya nilai-p.

— Masato Nakazawa

Saya memiliki Kirk edisi ke-2, di mana saya percaya diskusi yang relevan ada di halaman 443-449, yang membahas contoh dua arah (bukan tiga arah). Kuadrat rata-rata yang diharapkan, baik dengan asumsi aditif A dan B atau tidak, diberikan pada hal. 447. Dengan asumsi A dan B adalah tetap dan subjek / blok adalah acak, kita dapat melihat dari kuadrat rata-rata yang diharapkan yang tercantum oleh Kirk di bawah "model non-aditif" bahwa pengujian A, B, dan AB masing-masing melibatkan istilah kesalahan yang berbeda, yaitu, interaksi yang relevan dengan blok / subjek. Prinsip yang sama meluas ke contoh tiga arah saat ini.

— Jake Westfall