Nilai yang Diharapkan dan Variasi Estimasi Parameter Kemiringan dalam Regresi Linier Sederhana

Saya membaca teks, "Probabilitas dan Statistik" oleh Devore. Saya melihat 2 item pada halaman 740: nilai yang diharapkan dan varian estimasi , yang merupakan parameter kemiringan dalam regresi linier . adalah variabel acak Gaussian ( ) dan independen. $\beta_1$ $Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + \epsilon_i$ $\epsilon_i$ $\mu = 0, variance=\sigma^2$ $\epsilon_i$

Perkiraan $\beta_1$ dapat dinyatakan sebagai: $\hat{\beta_1} = \frac{\sum (x_i - \bar{x}) (Y_i - \bar{Y})}{\sum(x_i-\bar{x})^2} = \frac{\sum (x_i - \bar{x})Y_i}{S_{xx}}$ , di mana $S_{xx} = \sum (x_i - \bar{x})^2$ . Jadi, pertanyaan saya adalah: bagaimana cara memperoleh $E(\hat{\beta_1})$ dan $Var(\hat{\beta_1})$ ? Buku itu telah memberikan hasil: $E(\hat{\beta_1}) = \beta_1$ dan $Var(\hat{\beta_1}) = \frac{\sigma^2}{S_xx}$ .

Pekerjaan saya dalam derivasi: $E\left(\frac{\sum (x_i - \bar{x})Y_i}{S_{xx}}\right) = E\left(\frac{\sum (x_i - \bar{x})(\beta_0 + \beta_1 x_i + \epsilon)}{S_{xx}}\right) = E\left(\frac{\sum (x_i - \bar{x})\beta_1 x_i}{S_{xx}}\right)$ , karena $\sum(x_i - \bar{x})c = 0$ dan $E(c\epsilon) = 0$ . Tapi saya terjebak.

Juga, $Var\left(\frac{\sum (x_i - \bar{x})Y_i}{S_{xx}}\right) = Var\left(\frac{\sum (x_i - \bar{x})(\beta_0 + \beta_1 x_i + \epsilon)}{S_{xx}}\right) = Var\left(\frac{\sum (x_i - \bar{x})\epsilon}{S_{xx}}\right) = Var\left(\frac{\sum (x_i - \bar{x})}{S_{xx}}\right) \sigma^2$ , tetapi saya mandek.

regression self-study linear

— merek
sumber

Komentar saya pada 22 Juni 2011 di jawaban pengguna whuber harus menyertakan subskrip di , dan harus menggunakan fakta bahwa istilah kesalahan independen.

i

$i$

ϵ

$\epsilon$

ϵ_{i}

$\epsilon_i$

— jrand

V a r (\hat{β_{1}}) = V a r (\sum \frac{(x_{i} - \bar{x}) y_{i}}{S_{x x}}) = V a r (\sum \frac{(x_{i} - \bar{x}) ϵ_{i}}{S_{x x}}) = V a r (\frac{(x_{1} - \bar{x}) ϵ_{1}}{S_{x x}} + \frac{(x_{2} - \bar{x}) ϵ_{2}}{S_{x x}} + \dots + \frac{(x_{n} - \bar{x}) ϵ_{n}}{S_{x x}}) = \frac{(x_{1} - \bar{x})^{2} σ^{2}}{(S_{x x})^{2}} + \frac{(x_{2} - \bar{x})^{2} σ^{2}}{(S_{x x})^{2}} + \dots + \frac{(x_{n} - \bar{x})^{2} σ^{2}}{(S_{x x})^{2}} = σ^{2} [\sum \frac{(x_{i} - \bar{x})^{2}}{(S_{x x})^{2}}] = \frac{σ^{2}}{S_{x x}}

$\mathrm{Var}(\hat{\beta_1}) = \mathrm{Var}\left(\sum\frac{(x_i - \bar{x})y_i}{S_{xx}}\right) = \mathrm{Var}\left(\sum{\frac{(x_i-\bar{x})\epsilon_i}{S_{xx}}}\right) = \mathrm{Var}\left(\frac{(x_1 - \bar{x})\epsilon_1}{S_{xx}} + \frac{(x_2 - \bar{x})\epsilon_2}{S_{xx}} + \ldots + \frac{(x_n - \bar{x})\epsilon_n}{S_{xx}}\right) = \frac{(x_1 - \bar{x})^2 \sigma^2}{(S_{xx})^2} + \frac{(x_2 - \bar{x})^2 \sigma^2}{(S_{xx})^2} + \ldots + \frac{(x_n - \bar{x})^2 \sigma^2}{(S_{xx})^2} = \sigma^2 \left[\sum{\frac{(x_i-\bar{x})^2}{(S_{xx})^2}}\right] = \frac{\sigma^2}{S_{xx}}$

— jrand

"Jawaban" standar adalah perkiraan rendah, mengabaikan variasi S_ {xx}.

— climbert8

Dalam situasi yang ditanyakan, sedang dikondisikan, jadi itu diperlakukan sebagai tetap daripada acak

X

$X$

— Glen_b -Reinstate Monica

$E\left(\frac{\sum (x_i - \bar{x})\beta_1 x_i}{S_{xx}}\right)$ = karena semuanya konstan. Sisanya hanya aljabar. Jelas Anda perlu menunjukkan . Melihat definisi dan membandingkan kedua sisi menyebabkan orang curiga . Ini mengikuti dengan mudah dari definisi . $\frac{\sum (x_i - \bar{x})\beta_1 x_i}{S_{xx}}$ $\sum (x_i - \bar{x}) x_i = S_{xx}$ $S_{xx}$ $\sum(x_i - \bar{x}) \bar{x} = 0$ $\bar{x}$
$Var\left(\frac{\sum (x_i - \bar{x})\epsilon}{S_{xx}}\right)$ = . Ini menyederhanakan, menggunakan definisi , untuk hasil yang diinginkan. $\sum \left[\frac{(x_i - \bar{x})^2}{S_{xx}^2}\sigma^2\right]$ $S_{xx}$

— whuber
sumber

Untuk poin ke-2, varians, persamaannya adalah:

V a r (\frac{\sum (x_{i} - \bar{x}) ϵ}{S_{x x}}) = V a r (\frac{(x_{1} - \bar{x}) ϵ + (x_{2} - \bar{x}) ϵ + \dots + (x_{n} - \bar{x}) ϵ}{S_{x x}}) = (\frac{\sum_{i}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}}{S_{x x}^{2}}) \times σ^{2} = \frac{S_{x x}}{S_{x x}^{2}} \times σ^{2} = \frac{σ^{2}}{S_{x x}}

$Var\left(\frac{\sum (x_i - \bar{x})\epsilon}{S_{xx}}\right) = Var\left( \frac{(x_1 - \bar{x})\epsilon + (x_2 - \bar{x})\epsilon + \ldots + (x_n - \bar{x})\epsilon}{S_{xx}} \right) = \left( \frac{ \sum_i^{n} (x_i - \bar{x})^2} {S_{xx}^2} \right) \times \sigma^2 = \frac{S_{xx}}{S_{xx}^2} \times \sigma^2 = \frac{\sigma^2}{S_{xx}}$

— jrand

@ jrand Ya, itulah yang saya tulis (meskipun kesetaraan pertama Anda tidak mencapai apa-apa: itu hanya cara yang lebih sulit untuk menulis penjumlahan). Seluruh poin - dan hal yang perlu diingat - adalah ketika adalah variabel acak dengan varian dan adalah konstan, = .

ε

$\varepsilon$

λ

$\lambda$

V a r (λ ε)

$Var(\lambda \varepsilon)$

λ^{2} V a r (ε)

$\lambda^2 Var(\varepsilon)$

— whuber

Kecuali jika saya salah mendapatkan notasi, ini adalah pernyataan yang salah: . Kuantitas di sisi kiri adalah jumlah kuadrat, dan yang lainnya adalah kuadrat dari jumlah.

\sum_{i}^{n} (x_{i})^{2} = {(\sum_{i}^{n} x_{i})}^{2}

$\sum_i^n (x_i)^2 = \left( \sum_i^n x_i \right)^2$

— jrand

@jrand Anda benar: ada kesalahan ketik pada balasan saya. terimakasih telah menunjukkan itu. Saya telah memformat ulang untuk memperbaiki kesalahan dan membuat logikanya lebih jelas.

— whuber