Apakah estimasi intersep dan kemiringan dalam regresi linier sederhana independen?

Pertimbangkan model linier

$y_i= \alpha + \beta x_i + \epsilon_i$

dan perkiraan untuk kemiringan dan mencegat dan menggunakan kuadrat terkecil biasa. Referensi ini untuk statistik matematika membuat pernyataan bahwa dan independen (dalam bukti teorema mereka). $\hat{\alpha}$ $\hat{\beta}$ $\hat{\alpha}$ $\hat{\beta}$

Saya tidak yakin saya mengerti mengapa. Sejak

$\hat{\alpha}=\bar{y}-\hat{\beta} \bar{x}$

Bukankah ini berarti dan berkorelasi? Saya mungkin kehilangan sesuatu yang sangat jelas di sini. $\hat{\alpha}$ $\hat{\beta}$

regression

— WetlabStudent
sumber

Pergi ke situs yang sama di sub-halaman berikut:

https://onlinecourses.science.psu.edu/stat414/node/278

Anda akan melihat lebih jelas bahwa mereka menentukan model regresi linier sederhana dengan regressor yang berpusat pada mean sampel . Dan ini menjelaskan mengapa mereka kemudian mengatakan bahwa dan independen. $\hat \alpha$ $\hat \beta$

Untuk kasus ketika koefisien diperkirakan dengan regressor yang tidak terpusat, kovariansnya adalah

Cov (\hat{α}, \hat{β}) = - σ^{2} (\bar{x} / S_{x x}), S_{x x} = \sum (x_{i}^{2} - {\bar{x}}^{2})

$\text{Cov}(\hat \alpha,\hat \beta) = -\sigma^2(\bar x/S_{xx}), \;\;S_{xx} = \sum (x_i^2-\bar x^2)$

Jadi, Anda melihat bahwa jika kami menggunakan regresi yang berpusat pada , sebut saja , ekspresi kovarian di atas akan menggunakan rata-rata sampel dari regresi terpusat, , yang akan menjadi nol, dan seterusnya itu juga akan nol, dan penaksir koefisien akan independen. $\bar x$ $\tilde x$ $\tilde {\bar x}$

Posting ini , berisi lebih banyak tentang aljabar OLS regresi linier sederhana.

— Alecos Papadopoulos
sumber

Saya akan mempertimbangkan untuk menggunakan daripada . Kalau tidak, rasanya bahwa dan perlu diganti oleh rekan populasi. Atau saya salah?

C o v (\hat{α}, \hat{β} | X)

$Cov(\hat \alpha, \hat \beta | X)$

C o v (\hat{α}, \hat{β})

$Cov(\hat \alpha, \hat \beta)$

\bar{x}

$\bar x$

S_{x x}

$S_{xx}$

— Richard Hardy