Apa arti dan varian untuk distribusi Gamma?

Ada dua bentuk untuk distribusi Gamma, masing-masing dengan definisi berbeda untuk parameter bentuk dan skala. Daripada menanyakan bentuk apa yang digunakan untuk implementasi gsl_ran_gamma , mungkin lebih mudah untuk meminta definisi terkait untuk mean dan standar deviasi dalam hal bentuk dan parameter skala.

Setiap pointer ke definisi akan dihargai.

gamma-distribution

— Aengus
sumber

Dokumentasi yang ambigu (atau tidak ada) adalah bendera merah, karena menunjukkan bahwa pelaksana terlalu berpengalaman untuk menyadari ada konvensi yang berbeda dan bahwa mereka membutuhkan dokumentasi yang terperinci. Dengan demikian, selain mencari tahu konvensi apa yang digunakan, Anda sebaiknya melakukan tes implementasi yang menyeluruh.

— whuber

@whuber: dokumentasi menyediakan bentuk pdf secara eksplisit. Dalam hal ini, formulir yang diberikan sama dengan yang digunakan di, misalnya, Wikipedia.

— kardinal

@whuber: Dokumentasi GSL jelas dan tidak ambigu; kesalahan pengguna. Versi HTML yang saya baca cukup jelas sehingga saya tidak curiga ada masalah.

— Aengus

@ kardinal Terima kasih. Komentar saya diungkapkan secara umum tetapi secara khusus menanggapi Googling untuk informasi tentang "gsl_ran_gamma". Setengah halaman pertama hit hanya muncul jenis dokumentasi yang samar-samar (dan halaman kedua babak muncul banyak laporan bug, meskipun yang lama). Mungkin Anda bisa memberikan tautan ke pdf sebagai catatan?

— whuber

@whuber: Saya telah menempatkan referensi di komentar untuk jawabannya. Tapi, saat ini tersembunyi di balik flip. Dokumentasi untuk distribusi gamma dapat ditemukan di halaman 230 dari manual referensi Perpustakaan Ilmiah GNU saat ini .

— kardinal

Jawaban:

Jika parameter bentuk adalah dan skalanya adalah , satu parameterisasi memiliki fungsi kerapatan $k>0$ $\theta>0$

p (x) = x^{k - 1} \frac{e^{- x / θ}}{θ^{k} Γ (k)}

$p(x) = x^{k-1} \frac{ e^{-x/\theta} }{\theta^{k} \Gamma(k)}$

di mana argumennya, , adalah non-negatif. Variabel acak dengan kerapatan ini memiliki rata-rata dan varians (parameterisasi ini adalah yang digunakan pada halaman wikipedia tentang distribusi gamma). $x$ $k \theta$ $k \theta^{2}$

Parameterisasi alternatif menggunakan sebagai parameter laju (parameter skala terbalik) dan memiliki kerapatan $\vartheta = 1/\theta$

p (x) = x^{k - 1} \frac{ϑ^{k} e^{- x ϑ}}{Γ (k)}

$p(x) = x^{k-1} \frac{ \vartheta^{k} e^{-x \vartheta} }{\Gamma(k)}$

Di bawah pilihan ini, rerata adalah dan adalah . $k/\vartheta$ $k/\vartheta^{2}$

— Makro
sumber

terima kasih atas tanggapan cepatnya; ada ide bentuk apa yang digunakan di gsl_ran_gamma?

— Aengus

Tidak, tetapi Anda bisa mensimulasikan beberapa untuk nilai yang diberikan dari bentuk dan skala dan melihat apakah rata-rata sampel lebih dekat

k θ

$k \theta$ atau

k / ϑ

$k/\vartheta$ .

— Makro

@Engus: Sesuai dokumentasi, GSL menggunakan parameterisasi dengan rata-rata

k θ

$k\theta$ . Dalam notasi dokumentasi artinya adalah

a b

$ab$ .

— kardinal

@ cardinal: Terima kasih banyak, saya tidak melihatnya di dokumentasi. Sangat menghargai jawabannya, tetapi bisakah Anda mengarahkan saya ke sebuah tautan, dll. Pencarian saya untuk gsl_ran_gamma cukup tidak memuaskan. Sama sekali tidak mempertanyakan jawabannya, tetapi hanya supaya saya tidak menanyakan sesuatu yang begitu sederhana lagi.

— Aengus

@Engus: Bagian 20.14 dokumentasi GSL 1.14 (tambahan) adalah yang saya lihat. Ada di halaman 229. Tidak yakin apakah itu versi terbaru , seperti dari Maret 2010.

— kardinal

sebenarnya, selain apa yang dikatakan Macro, ada bentuk ketiga untuk distribusi gamma dengan parameter bentuk $v$ dan parameter rata-rata $\mu$

$p(x\mid \mu,v) = constant \times x^{\frac{v-2}{2}} e^{-\frac{xv}{2\mu}}$

jika $x \sim G(\mu,v)$ kemudian $E(x) = \mu$ dan $var(x) =\dfrac{2\mu^2}{v}$

— Anas Alhashimi
sumber