Formula untuk regresi linier sederhana tertimbang

Halaman wiki ini Regresi linier sederhana memiliki rumus untuk menghitung dan . Adakah yang bisa memberi tahu saya cara menurunkan rumus dalam case tertimbang?$\alpha$$\beta$

Pikirkan kotak terkecil biasa (OLS) sebagai "kotak hitam" untuk meminimalkan

$$\sum_{i=1}^n (y_i - (\alpha 1 + \beta x_i))^2$$

untuk tabel data yang baris adalah tuple .$i^\text{th}$$(1, x_i, y_i)$

Ketika ada bobot, tentu positif, kita dapat menuliskannya sebagai . Menurut definisi, kuadrat terkecil tertimbang meminimalkan$w_i^2$

$$\sum_{i=1}^n w_i^2(y_i - (\alpha 1 + \beta x_i))^2$$

$$=\sum_{i=1}^n (w_i y_i - (\alpha w_i + \beta w_i x_i))^2 .$$

Tapi justru itulah yang diminimalkan kotak hitam OLS ketika diberi tabel data yang terdiri dari tupel "tertimbang" . Jadi, menerapkan rumus OLS pada tuple tertimbang ini memberikan rumus yang Anda cari.$(w_i, w_i x_i, w_i y_i)$