Adakah yang setara dengan Skewness dan Kurtosis yang dinormalisasi?

Apa yang akan menjadi setara dinormalisasi dengan Skewness yang akan memiliki unit yang sama dengan data? Demikian pula, apa yang setara dengan Kurtosis yang dinormalisasi? Idealnya, fungsi-fungsi ini harus linier berkenaan dengan data, yang berarti bahwa jika semua pengamatan dikalikan dengan suatu faktor n, skewness dan kurtosis yang dinormalisasi akan dikalikan dengan faktor yang sama n. Keuntungan dari memiliki persamaan yang dinormalisasi adalah untuk dapat menimpanya di atas plot standar kotak dan kumis.

skewness kurtosis

— Ismael Ghalimi
sumber

Pertanyaan yang sangat menyenangkan!

— Alexis

Saya tidak yakin seberapa mencerahkannya untuk menggambarkan ini pada grafik. Alasan kami menggambarkan standar deviasi adalah karena mereka memberikan ukuran alami dari dispersi data (jika terdistribusi secara normal): 65% dari pengamatan berada di dalam interval. Saya tidak berpikir ada interpretasi visual alami seperti itu untuk momen ketiga dan keempat.

— Ben Kuhn

Apa yang ingin Anda tampilkan tentang data Anda? Jika itu adalah perilaku kualitatif distribusi tertentu, mungkinkah plot biola lebih disukai? Tapi ya, itu pertanyaan yang menyenangkan.

— Ben Kuhn

Seseorang dapat merasakan skewness dan kurtosis dengan melihat histogram yang menunjukkan distribusi dataset seseorang, tetapi itu akan memberikan persepsi yang sangat subyektif terhadap langkah-langkah ini. Saya ingin menggambarkannya dalam dua skala linier, satu untuk kemiringan yang sejajar dengan sumbu plot kotak-dan-kumis, yang lain ortogonal untuk itu. Ini dapat digambarkan sebagai kotak terpisah yang dilapis di atas kotak utama. Semakin tinggi kotak itu, semakin miring data tersebut. Semakin lebar, semakin runcing (kurtosis tinggi).

— Ismael Ghalimi

Dan terima kasih atas tautannya ke plot biola. Benar-benar pintar.

— Ismael Ghalimi

Jawaban:

Ukuran kemiringan sengaja tanpa unit .

Skewness momen yang biasa adalah momen ketiga terstandarisasi, . $E[(\frac{X-\mu}{\sigma})^3]$

Jika Anda memusatkan tetapi tidak membuat standar, Anda memiliki ... yang jelas kemudian dalam satuan potong dadu . $\mu_3=E[(X-\mu)^3]$

Jika Anda menginginkan sesuatu di unit yang sama dengan , Anda harus mengambil akar-pangkat tiga, dengan cara yang sama kita mengambil akar kuadrat dari varians dan mendapatkan sesuatu di unit yang sama dari data asli. (Namun - waspadalah, karena banyak paket tidak akan mengambil akar pangkat dari angka negatif, Anda mungkin harus menghitungnya sebagai: ) $X$ $\quad\text{sign}(X-\mu)\times |E(X-\mu)^3|^{1/3}\:$

Saya tidak yakin seberapa bermanfaat itu nantinya.

Untuk beberapa ukuran skewness lainnya, seperti dua ukuran skewness Pearson, Anda hanya mengalikan dengan . $\sigma$

Untuk ukuran kemiringan sampel di mana dan umumnya tidak diketahui, seperti halnya kemiringan sampel, Anda biasanya akan menggantinya dengan taksiran sampel mereka sendiri. $\sigma$ $\mu$

Kurtosis mengikuti pola yang sama - untuk momen kurtosis, Anda harus mengambil akar keempat dari momen keempat yang tidak standar untuk mendapatkan sesuatu yang diskalakan dengan data.

Untuk beberapa ukuran lain dari kurtosis, mereka hanya perlu dikalikan dengan . $\sigma$

— Glen_b -Reinstate Monica
sumber

Skewness dan kurtosis adalah karakteristik bentuk. Jadi, jika saya memberi tahu Anda bahwa benda itu, bola, bundar , tidak masalah apa pun jari-jarinya. Itu bisa berupa bola kecil atau bola besar . Di sisi lain, ketika saya mengatakan bola kecil atau kubus besar saya mengacu pada ukuran objek, bukan bentuknya.

Dalam hal ini, standar deviasi adalah ukuran distribusi, itu sebabnya skewness dan kurtosis dinormalisasi oleh ukuran. Anda juga bisa mengatakan bahwa standar deviasi milik mekanik, dan kemiringan dan kurtosis pada geometri. Oleh karena itu, tidak, kita tidak perlu memilikinya dalam satuan ukuran variabel. Ukuran dan bentuknya terpisah. Bola besar dan kecil sama-sama bulat , yaitu ukuran tidak masalah dalam kasus ini :)

— Aksakal
sumber

Menandakan vektor yang didistribusikan di wilayah , mari kita asumsikan nol dan momen pertama sudah dinormalisasi. Momen kedua dihitung dengan, jadi jika kita dapat menemukan diagonalisasi , maka kita akan dapat mendefinisikan sehingga dinormalisasi: $R$ $M_2 = \int_R {x x^T} |dx|$ $M_2 = P\Lambda^2 P^T$

x^{'} = Λ^{- 1} P^{T} x

$x'=\Lambda^{-1} P^Tx$

M_{2}

$M_2$

{M.}_{2 saya j}^{'} = \int_{R} (Λ^{- 1} P^{T} x) (Λ^{- 1} P^{T} x)^{T} | d x |

$M'_{2ij} = \int_R {(\Lambda^{-1}P^T x)(\Lambda^{-1} P^T x)^T} |dx|$

= Λ^{- 1} P^{T} (\int_{R} x x^{T} | d x |) P Λ^{- 1}

$= \Lambda^{-1} P^T (\int_R { xx^T |dx|}) P \Lambda^{-1}$

= Λ^{- 1} P^{T} P Λ^{2} P^{T} P Λ^{- 1} = saya

$= \Lambda^{-1} P^T P \Lambda^2 P^T P \Lambda^{-1} = I$

Makna geometris momen kedua adalah "orientasi", yang dibenarkan oleh fakta bahwa diagonalisasi menormalkan momen kedua. Ketika kemiringan dihitung di bawah normalisasi ini, itu disebut kemiringan Mardia .

— Han JaeSeung StudentOfKyoto
sumber