Apa logika di balik metode momen?

Mengapa dalam "Metode Momen", kami menyamakan momen sampel dengan momen populasi untuk menemukan estimator titik?

Di mana logika di balik ini?

intuition method-of-moments

— pengguna 31466
sumber

Alangkah baiknya jika kita memiliki fisikawan di komunitas kita untuk mengatasi yang ini.

— mugen

@mugen, saya tidak melihat hubungan dengan fisika sama sekali.

— Aksakal

@ Aksakal mereka menggunakan momen fungsi dalam fisika juga, dan selalu menyenangkan ketika seseorang membuat paralel untuk interpretasi yang lebih baik.

— mugen

Seperti disebutkan dalam jawaban ini , hukum bilangan besar memberikan justifikasi (walaupun asimtotik) untuk memperkirakan momen populasi dengan momen sampel, menghasilkan (sering) penduga yang

— Glen_b -Reinstate Monica

Bukankah seluruh idenya adalah untuk mewakili parameter menggunakan momen? Seperti jika Anda mencoba memperkirakan parameter distribusi Poisson, dengan menemukan rata-rata (momen pertama) Anda dapat menggunakannya sebagai estimator untuk parameter Anda lambda.

— denis631

Jawaban:

Sampel yang terdiri dari realisasi dari variabel acak yang terdistribusi secara identik dan independen adalah ergodik. Dalam kasus seperti itu, "momen-momen sampel" adalah penduga yang konsisten dari momen-momen teoretis dari distribusi umum, jika momen-momen teoretis itu ada dan terbatas. $n$

Ini artinya

\begin{matrix} (1) & {\hat{μ}}_{k} (n) = μ_{k} (θ) + e_{k} (n), e_{k} (n) \overset{hal}{\to} 0 \end{matrix}

$\hat \mu_k(n) = \mu_k(\theta) + e_k(n), \;\;\; e_k(n) \xrightarrow{p} 0 \tag{1}$

Jadi dengan menyamakan momen teoretis dengan momen sampel terkait yang kita miliki

{\hat{μ}}_{k} (n) = μ_{k} (θ) \Rightarrow \hat{θ} (n) = μ_{k}^{- 1} ({\hat{μ}}_{k} (n)) = μ_{k}^{- 1} [μ_{k} (θ) + e_{k} (n)]

$\hat \mu_k(n) = \mu_k(\theta) \Rightarrow \hat \theta(n) = \mu_k^{-1}(\hat \mu_k(n)) = \mu_k^{-1}[\mu_k(\theta) + e_k(n)]$

Jadi ( tidak tergantung pada ) $\mu_k$ $n$

Plim \hat{θ} (n) = Plim [μ_{k}^{- 1} (μ_{k} (θ) + e_{k})] = μ_{k}^{- 1} (μ_{k} (θ) + Plim e_{k} (n))

$\text{plim} \hat \theta(n) = \text{plim}\big[\mu_k^{-1}(\mu_k(\theta) + e_k)\big] = \mu_k^{-1}\big(\mu_k(\theta) + \text{plim}e_k(n)\big)$

= μ_{k}^{- 1} (μ_{k} (θ) + 0) = μ_{k}^{- 1} μ_{k} (θ) = θ

$=\mu_k^{-1}\big(\mu_k(\theta) + 0\big) = \mu_k^{-1}\mu_k(\theta) = \theta$

Jadi kami melakukan itu karena kami memperoleh penduga yang konsisten untuk parameter yang tidak diketahui.

— Alecos Papadopoulos
sumber

apa arti "plim"? Saya tidak terbiasa dengan "p" dalam

e_{k} (n) \overset{p}{\to} 0

$e_k(n) \xrightarrow{p} 0$

— pengguna 31466

@leaf probability limit

— Alecos Papadopoulos

Apa yang akan terjadi jika itu adalah batas reguler dan bukan batas probabilitas?

— pengguna 31466

Ini akan memberi tahu kita bahwa penaksir menjadi konstanta, bukan yang cenderung probabilistik. Mungkin Anda harus mencari mode konvergensi variabel acak, wikipedia memiliki pengantar yang layak, en.wikipedia.org/wiki/Convergence_of_random_variables

— Alecos Papadopoulos

@AlecosPapadopoulos Setuju. Saya bertanya-tanya lalu apakah masuk akal untuk meletakkan sesuatu yang sederhana seperti "... dan dalam kondisi tertentu pada

μ_{k}

$\mu_k$

— Jerome Baum

Ahli ekonometrika menyebut ini "prinsip analogi". Anda menghitung mean populasi sebagai nilai yang diharapkan sehubungan dengan distribusi populasi; Anda menghitung estimator sebagai nilai yang diharapkan sehubungan dengan distribusi sampel, dan ternyata menjadi mean sampel. Anda memiliki ekspresi terpadu tempat Anda memasukkan populasi , katakanlah

T (F) = \int t (x) d F (x)

$T(F) = \int t(x) \, {\rm d}F(x)$

F (x)

$F(x)$

atau sampel

F (x) = \int_{\infty}^{x} \frac{1}{\sqrt{2 π σ^{2}}} \exp [- \frac{(u - μ)^{2}}{2 σ^{2}}] d u

$F(x) = \int_{\infty}^x \frac1{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\bigl[ - \frac{(u-\mu)^2}{2\sigma^2} \bigr] \, {\rm d}u$

, sehingga

adalah sekelompok fungsi delta, dan integral (Lebesgue) berkenaan dengan

adalah jumlah sampel

F_{n} (x) = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} 1 {x_{i} \leq x}

$F_n(x) = \frac 1n \sum_{i=1}^n 1\{ x_i \le x \}$

d F_{n} (x)

${\rm d}F_n(x)$

d F_{n} (x)

${\rm d}F_n(x)$

. Jika

fungsional Anda

(lemah) terdiferensiasi, dan

menyatu dalam pengertian yang sesuai dengan

, maka mudah untuk menetapkan bahwa perkiraan itu konsisten, walaupun tentu saja lebih banyak kehebohan diperlukan untuk dapatkan katakan normalitas asimptotik.

\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} t (x_{i})

$\frac1n \sum_{i=1}^n t(x_i)$

T (\cdot)

$T(\cdot)$

F_{n} (x)

$F_n(x)$

F (x)

$F(x)$

— Tugas
sumber

Saya belum pernah mendengar ini disebut "prinsip analogi", tetapi ini memang merupakan pola analisis ekonometrik yang sering digunakan: hubungkan penduga sampel kapan pun parameter populasi dibutuhkan tetapi tidak diketahui.

— Aksakal

@Aksakal: "tancapkan estimator sampel setiap kali parameter populasi diperlukan tetapi tidak diketahui." bukankah pendekatan ini hanya disebut statistik?

— user603

@ user603: Tidak, tidak. Ada beberapa pendekatan alternatif lain, dan penduga masuk dapat menjadi buruk.

— kjetil b halvorsen