Ekonometrik dari pendekatan Bayesian untuk metodologi studi acara

Studi peristiwa tersebar luas di bidang ekonomi dan keuangan untuk menentukan pengaruh suatu peristiwa terhadap harga saham, tetapi hampir selalu didasarkan pada alasan yang sering. Regresi OLS - selama periode referensi yang berbeda dari jendela peristiwa - biasanya digunakan untuk menentukan parameter yang diperlukan untuk memodelkan pengembalian normal untuk suatu aset. Satu kemudian menentukan signifikansi statistik dari hasil kumulatif abnormal ( ) pada aset menyusul acara selama event window tertentu dari ke . Tes hipotesis digunakan untuk menentukan apakah pengembalian ini signifikan dan dengan demikian memang abnormal atau tidak. Jadi: $\text{CAR}$ $i$ $T_1$ $T_2$

, di mana $H_0 : \text{CAR}_i = 0$

, dan $\text{CAR}_i = \sum_{t=T_1}^{T_2} \text{AR}_{i,t} = \sum_{t=T_1}^{T_2} \left( r_{i,t} -\mathbb{E}[r_{i,t}] \right)$

adalah pengembalian atas aset yang diprediksi oleh model. $\mathbb{E}[r_{i,t}]$

Jika jumlah pengamatan kami cukup besar, kami dapat mengasumsikan normalitas asimptotik dari distribusi pengembalian aset, tetapi ini mungkin tidak diverifikasi untuk ukuran sampel yang lebih kecil.

Dapat dikatakan bahwa karena ini, satu perusahaan, satu peristiwa studi (seperti yang diperlukan misalnya dalam litigasi) harus mengikuti pendekatan Bayesian, karena asumsi pengulangan tak terhingga jauh "jauh dari diverifikasi" daripada dalam kasus beberapa perusahaan. Namun, pendekatan frequentist tetap menjadi praktik umum.

Mengingat literatur yang langka tentang hal ini, pertanyaan saya adalah bagaimana cara terbaik mendekati studi acara - analog dengan metodologi yang diuraikan di atas dan dirangkum dalam MacKinlay, 1997 - menggunakan pendekatan Bayesian.

Meskipun pertanyaan ini muncul dalam konteks keuangan perusahaan empiris, itu benar-benar tentang ekonometrika dari regresi dan kesimpulan Bayesian, dan perbedaan alasan di balik pendekatan frequentist dan Bayesian. Secara khusus:

Bagaimana saya sebaiknya mendekati estimasi parameter model menggunakan pendekatan Bayesian (dengan asumsi pemahaman teoritis statistik Bayesian, tetapi sedikit atau tidak ada pengalaman dalam menggunakannya untuk penelitian empiris).
Bagaimana saya menguji signifikansi statistik, setelah pengembalian abnormal kumulatif telah dihitung (menggunakan pengembalian normal dari model)?
Bagaimana ini bisa diterapkan di Matlab?

bayesian econometrics finance

— Konstantin
sumber

(1.) sederhana: gunakan regresi linier Bayesian . (2.) lebih rumit, karena pengujian signifikansi bukanlah hal Bayesian. Satu-satunya hal yang dapat Anda lakukan adalah membandingkan probabilitas model yang berbeda, dan

bukan dasar model karena

bukan parameter model. Apa tujuan dari

? Keputusan apa yang dibuat berdasarkan itu?

CAR = 0

$\text{CAR} = 0$

CAR

$\text{CAR}$

CAR

$\text{CAR}$

— Andy Jones

Saya mencari bukti yang mendukung asumsi saya bahwa peristiwa yang diperiksa memiliki pengaruh pada harga saham (dalam hal ini

berbeda dari nol, karena dihitung selama jendela acara, relatif terhadap pengembalian normal, yang dihitung untuk periode referensi sebelum acara). Saya tertarik apakah data mendukung hipotesis bahwa memang ada non-zero

dan juga dalam besarnya. Saya menyadari signifikansi statistik tidak benar-benar penting dalam statistik Bayesian tetapi interpretasi apa yang ditawarkan metode ini? Bisakah saya menerapkan uji hipotesis yang setara?

C A R

$CAR$

C A R

$CAR$

— Constantin

Jika Anda ingin berargumen bahwa pendekatan Bayesian lebih berlaku untuk sampel kecil dengan ukuran

, maka tidak dapat dihindari bahwa sebelumnya akan berbicara terlalu keras dengan sampel seperti itu.

n = 1

$n=1$

— Tugas

Tidak bisakah saya menggunakan informasi sebelumnya yang tidak informatif?

— Constantin

Jawaban:

Seperti disebutkan dalam komentar, model yang Anda cari adalah regresi linier Bayesian . Dan karena kita dapat menggunakan BLR untuk menghitung posterior prediksi distribusi untuk setiap saat , kita numerik dapat mengevaluasi distribusi . $p(r_t|t, \mathcal{D}_\text{ref})$ $t$ $p(\text{CAR}|\mathcal{D}_\text{event}, \mathcal{D}_\text{ref})$

Masalahnya, saya tidak berpikir distribusi atas adalah apa yang Anda inginkan. Masalah langsungnya adalah bahwa memiliki probabilitas nol. Masalah yang mendasarinya adalah bahwa "versi uji hipotesis Bayesian" membandingkan model melalui faktor Bayes mereka , tetapi itu mengharuskan Anda untuk mendefinisikan dua model yang bersaing. Dan bukan model (atau setidaknya, mereka bukan model tanpa juggling angka yang sangat tidak wajar). $\text{CAR}$ $p(\text{CAR} = 0|\mathcal{D}_\text{event}, \mathcal{D}_\text{ref})$ $\text{CAR} = 0, \text{CAR} \neq 0$

Dari apa yang Anda katakan di komentar, saya pikir apa yang sebenarnya ingin Anda jawab adalah

$\mathcal{D}_\text{ref}$ $\mathcal{D}_\text{event}$

yang memiliki jawaban Bayesian yang rapi: tentukan dua model

$M_0$ $\mathcal{D}_\text{ref}, \mathcal{D}_\text{event}$ $p(\mathcal{D}_\text{ref}, \mathcal{D}_\text{event}|M_0)$
$M_1$ $\mathcal{D}_\text{ref}$ $\mathcal{D}_\text{event}$ $p(\mathcal{D}_\text{ref}, \mathcal{D}_\text{event}|M_1)$ $\mathcal{D}_\text{ref}$ $\mathcal{D}_\text{event}$

Setelah melakukan itu, Anda dapat menghitung faktor Bayes

\frac{p (D_{ref}, D_{event} | M_{1})}{p (D_{ref}, D_{event} | M_{0})}

$\frac{p(\mathcal{D}_\text{ref}, \mathcal{D}_\text{event}|M_1)}{p(\mathcal{D}_\text{ref}, \mathcal{D}_\text{event}|M_0)}$

untuk memutuskan model mana yang lebih dipercaya.

— Andy Jones
sumber

C A R

$CAR$

CAR

$\text{CAR}$

M_{0}

$M_0$

M_{1}

$M_1$

M_{1}

$M_1$

Oke, saya mengerti konsepnya. Tampaknya memang elegan. Bagaimana tepatnya saya menentukan kedua model? Bisakah Anda merekomendasikan literatur atau konsep terkait untuk dipelajari secara spesifik?

— Konstantinus

{CAR}_{i} = 0

$\text{CAR}_i=0$

Anda tidak dapat melakukan studi acara dengan satu perusahaan.

Sayangnya Anda membutuhkan data panel untuk studi acara apa pun. Studi acara fokus pada pengembalian untuk periode waktu individu sebelum dan sesudah acara. Tanpa beberapa pengamatan tegas per periode waktu sebelum dan sesudah acara, tidak mungkin untuk membedakan kebisingan (variasi spesifik perusahaan) dari efek acara. Bahkan dengan hanya beberapa perusahaan, kebisingan akan mendominasi acara, seperti yang ditunjukkan StasK.

Yang sedang berkata, dengan panel banyak perusahaan Anda masih dapat melakukan pekerjaan Bayesian.

Cara memperkirakan pengembalian normal dan abnormal

$S$

r_{i t} = α_{i} + γ_{t - S} + r_{m, t}^{T} β_{i} + e_{i t}

$r_{it}=\alpha_{i}+\gamma_{t-S}+r_{m,t}^T\beta_i+e_{it}$

$\gamma_{s}$ $s>0$ $\beta_i$

Regresi ini memungkinkan Anda untuk berbicara tentang sesuatu yang mirip dengan jenis seri CAR yang biasanya kita lihat, di mana kami memiliki plot pengembalian abnormal rata-rata sebelum dan sesudah acara dengan mungkin beberapa kesalahan standar di sekitarnya:

masukkan deskripsi gambar di sini

( Tanpa malu-malu diambil dari Wikipedia )

$e_{it}$ $\alpha_{i}$ $\beta_i$ $\gamma_s$

Meneliti efek pengumuman

$\gamma_0\neq 0$ $\gamma_0=0$

$\gamma_0$

$\gamma_0\geq 0$ $\gamma_0$ $\gamma_0$ $\gamma_0$

Namun untuk tanggal sebelum dan sesudah pengumuman, pengujian hipotesis yang ketat dapat memainkan peran penting, karena pengembalian ini dapat dilihat sebagai tes efisiensi bentuk yang kuat dan semi-kuat

Menguji pelanggaran efisiensi bentuk semi-kuat

$\gamma_{s> 0}=0$

$\gamma_{s}=0$ $\bar x$ $f$ $X=\{x_i\}_{i=1}^n$ $\$60,000$ Anda akan menggunakan faktor Bayes:

P (\bar{x} = $ 60, 000 | X) = \frac{\int_{\bar{x} = $ 60, 000} P (X) f (\bar{x})}{\int_{\bar{x} \neq $ 60, 000} P (X) f (\bar{x})}

$P(\bar{x}=\$60,000|X)=\dfrac{\int_{\bar{x}=\$60,000} P(X) f(\bar{x})}{\int_{\bar{x}\neq \$60,000} P(X) f(\bar{x})}$

$P(\bar{x}=\$60,000|X)=0$

$\gamma_{s> 0}=0$ $\gamma_{s>0}$ $\gamma_{s>0} =0$ $p$ $\gamma_{s\neq 0} =0$ $1-p$ $\gamma_{s>0}$ $f$

P (γ_{s > 0} = 0 | data) = \frac{P (data | γ_{s > 0} = 0) p}{\int_{γ_{s > 0} \neq 0} P (data | γ_{s > 0}) (1 - p) f (γ_{s > 0})} > 0

$P(\gamma_{s> 0} =0|\text{data}) = \dfrac{P(\text{data}|\gamma_{s> 0}=0)p}{\int_{\gamma_{s> 0}\neq 0} P(\text{data}|\gamma_{s> 0})(1-p)f(\gamma_{s> 0})}>0$

$\gamma_{s>0}=0$

$\gamma_{s> 0}$ $\gamma_{s=0}$ $\gamma_{s>0}$ $\gamma_s=0$ ) untuk membandingkan dengan pengembalian aktual, sebagai jembatan antara metode Bayesian dan frequentist.

Pengembalian abnormal kumulatif

Semuanya sejauh ini telah menjadi diskusi pengembalian abnormal. Jadi saya akan pergi cepat ke CAR:

{CAR}_{τ} = \sum_{t = 0}^{τ} γ_{t}

$\text{CAR}_\tau=\sum_{t=0}^\tau \gamma_{t}$

$\gamma_0=0$ $\text{CAR}_{t>0}=0$

Bagaimana cara mengimplementasikannya di Matlab

Untuk versi sederhana dari model-model ini, Anda hanya perlu regresi linear Bayesian biasa. Saya tidak menggunakan Matlab tetapi sepertinya ada versi di sini . Kemungkinan ini hanya berfungsi dengan prior konjugat.

Untuk versi yang lebih rumit, misalnya tes hipotesis yang tajam, Anda kemungkinan akan memerlukan Gibler sampler. Saya tidak mengetahui adanya solusi di luar kotak untuk Matlab. Anda dapat memeriksa antarmuka ke JAGS atau BUGS.

— jayk
sumber

$n\geq 1$

Efek dari undang-undang khusus mungkin tidak dapat ditemukan. Jika ini adalah undang-undang yang diterapkan pada (katakanlah) industri tertentu, akan sulit untuk memisahkan tren industri dari undang-undang. Saya pasti akan menyarankan lebih dari 30 perusahaan jika memungkinkan. Anda selalu dapat memeriksa untuk melihat apakah prior dan posterior Anda sangat berbeda. Jika posterior Anda belum banyak bergeser dari sebelumnya, kemungkinan ukuran sampel Anda terlalu kecil.

— jayk

Apakah Anda dapat memberi saya referensi untuk studi acara yang menggunakan variabel dummy untuk tanggal sebelum / sesudah acara? Saya belum dapat menemukan metodologi ini dalam literatur sejauh ini. Saya akan sangat menghargainya!

— Constantin

Saya belum melihat apa pun, tetapi saya pikir metode ini masuk akal dalam konteks (dengan peringatan yang saya berikan). Alternatifnya adalah memperkirakan parameter Anda pada tanggal pra-pengumuman dan kemudian menggunakan posterior untuk menghasilkan pengembalian di masa depan seperti dalam artikel Brav yang saya sebutkan di atas.

— jayk