Bagaimana cara menemukan rata-rata dari sejumlah variabel dependen?


13

Saya tahu bahwa rata-rata jumlah variabel independen adalah jumlah rata-rata dari setiap variabel independen. Apakah ini berlaku untuk variabel dependen juga?


@feetwet, hanya menghapus "terima kasih" tidak cukup penting untuk menabrak utas dari 18 bulan yang lalu. FWIW, saya memilih untuk menolak suntingan ini (tetapi 2 lainnya menyetujui, jadi Anda tidak akan melihat komentar saya).
gung - Reinstate Monica

1
@gung - Segala macam hal dapat mengacaukan tampilan pertanyaan "Aktif". Pengamatan Anda telah sering dilakukan, dan AFAIK kebijakan Stack Exchange adalah bahwa, meskipun ada kelemahan, suntingan kecil yang valid adalah hal yang baik .
feetwet

1
@feetwet, saya tidak yakin seberapa relevan posting meta.Fotografi di sini. Setiap situs SE memiliki meta sendiri, dan memiliki kebijakan sendiri, diputuskan oleh masyarakat. Anda mungkin ingin melihat utas meta.CV yang relevan, misalnya, yang ini: Menangani "pengeditan yang disarankan" untuk posting . Anda mungkin mencatat jawaban whuber mengutip Jeff Atwood, "edit kecil [s], seperti ... menghapus hanya salam dari pos. ... tolak mereka, dengan prasangka ekstrem", dan joran mengatakan, "Ambang batas saya untuk saat suntingan terlalu kecil berbanding terbalik dengan usia pertanyaan ".
gung - Reinstate Monica

1
@ menambahkan posting Fotografi saya mereferensikan tautan ke Tanya Jawab Meta Stack Exchange yang signifikan dan lebih baru tentang masalah ini . Tetapi jika jawaban 4 tahun whuber masih kanonik untuk Cross Validated saya akan menghargai itu maju.
feetwet

Jawaban:


18

Ekspektasi (mengambil mean) adalah operator linier .

Ini berarti , antara lain, untuk dua variabel acak dan (yang memiliki harapan. ), terlepas dari apakah mereka independen atau tidak.E(X+Y)=E(X)+E(Y)XY

Kita dapat menggeneralisasi (misalnya dengan induksi ) sehingga jadi selama setiap ekspektasi ada.E(i=1nXi)=i=1nE(Xi)E(Xi)

Jadi ya, rata-rata penjumlahannya sama dengan jumlah penjumlahan bahkan jika variabel-variabelnya tergantung. Tetapi perhatikan bahwa ini tidak berlaku untuk varian! Jadi sementara untuk variabel independen, atau bahkan variabel yang tergantung tetapi tidak berkorelasi , rumus umumnya adalah mana adalah kovarians dari variabel.Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)V sebuah r ( X + Y ) = V sebuah r ( X ) + V sebuah r ( Y ) + 2 C o v ( X , Y ) C o vVar(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y)Cov


10

TL; DR:
Dengan anggapan ada, nilai tengahnya adalah nilai yang diharapkan, dan nilai yang diharapkan adalah integral, dan integral memiliki properti linieritas berkenaan dengan jumlah.

TS; DR:
Karena kita berurusan dengan jumlah variabel acak , yaitu fungsi dari banyak dari mereka, rata-rata jumlah adalah sehubungan dengan distribusi bersama mereka (kami berasumsi bahwa semua cara ada dan terbatas). Denoting vektor multivarian dari rv's, kepadatan bersama mereka dapat ditulis sebagai dan dukungan bersama mereka Menggunakan Law of Unconcscious Statistics, kami memiliki banyak integral E ( Y n ) X n f X ( x ) = f X 1 , . . . , X n ( x 1 , . . . , X n ) D = S X 1 × . . . × S X nYn=i=1nXiE(Yn)XnfX(x)=fX1,...,Xn(x1,...,xn)D=SX1×...×SXn

E[Yn]=DYnfX(x)dx
.

Di bawah beberapa kondisi keteraturan kita dapat menguraikan multiple integral menjadi integral -iterative:n

E[Yn]=SXn...SX1[i=1nXi]fX1,...,Xn(x1,...,xn)dx1...dxn

dan menggunakan linearitas integral yang dapat kita dekomposisi

=SXn...SX1x1fX1,...,Xn(x1,...,xn)dx1...dxn+......+SXn...SX1xnfX1,...,Xn(x1,...,xn)dx1...dxn

Untuk setiap integral -iteratif kita dapat mengatur ulang urutan integrasi sehingga, di masing-masing, integrasi luar berkenaan dengan variabel yang berada di luar kepadatan bersama. Yaitu,n

SXn...SX1x1fX1,...,Xn(x1,...,xn)dx1...dxn=SX1x1SXn...SX2fX1,...,Xn(x1,...,xn)dx2...dxndx1

dan secara umum

SXn...SXj...SX1xjfX1,...,Xn(x1,...,xn)dx1...dxj...dxn=
=SXjxjSXn...SXj1SXj+1...SX1fX1,...,Xn(x1,...,xn)dx1...dxj1dxj+1......dxndxj

Ketika kita menghitung satu-per-satu integral dalam setiap integral -iteratif (mulai dari dalam), kita "mengintegrasikan keluar" suatu variabel dan kita memperoleh dalam setiap langkah distribusi "gabungan-marjinal" dari variabel-variabel lain. Setiap -iterative integral akan berakhir sebagai .nnSXjxjfXj(xj)dxj

Menyatukan semuanya kita tiba di

E[Yn]=E[i=1nXi]=SX1x1fX1(x1)dx1+...+SXnxnfXn(xn)dxn

Tapi sekarang setiap integral sederhana adalah nilai yang diharapkan dari setiap variabel acak secara terpisah, jadi

= n i = 1 E ( X i )

E[i=1nXi]=E(X1)+...+E(Xn)
=i=1nE(Xi)

Perhatikan bahwa kami tidak pernah meminta independensi atau non-independensi dari variabel acak yang terlibat, tetapi kami hanya bekerja dengan distribusi bersama mereka.


@ssdecontrol Ini adalah salah satu upvote saya menghargai, memang .
Alecos Papadopoulos

1
Perluasan ke integral iterasi dan kembali lagi tidak perlu. Ini menyulitkan argumen sederhana. Anda dapat mengganti bagian "TS; DR" dengan kalimat terakhir dan mendapatkan jawaban yang bagus.
whuber

@whuber Satu setengah tahun kemudian, itu masih luput dari saya (maksud saya, tanpa menggunakan "linearitas operator ekspektasi" fakta, yang telah digunakan oleh jawaban yang lain). Adakah petunjuk agar saya dapat mengerjakan ulang jawaban terhadap argumen sederhana ini?
Alecos Papadopoulos

Saya pikir argumen itu berlebihan. Kunci dari semuanya adalah pengamatan Anda di kalimat terakhir.
whuber
Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.