Bagaimana cara menemukan rata-rata dari sejumlah variabel dependen?

Saya tahu bahwa rata-rata jumlah variabel independen adalah jumlah rata-rata dari setiap variabel independen. Apakah ini berlaku untuk variabel dependen juga?

Ekspektasi (mengambil mean) adalah operator linier .

Ini berarti , antara lain, untuk dua variabel acak dan (yang memiliki harapan. ), terlepas dari apakah mereka independen atau tidak.$\mathbb{E}(X + Y) = \mathbb{E}(X) + \mathbb{E}(Y)$$X$$Y$

Kita dapat menggeneralisasi (misalnya dengan induksi ) sehingga jadi selama setiap ekspektasi ada.$\mathbb{E}\left(\sum_{i=1}^n X_i\right) = \sum_{i=1}^n \mathbb{E}(X_i)$$\mathbb{E}(X_i)$

Jadi ya, rata-rata penjumlahannya sama dengan jumlah penjumlahan bahkan jika variabel-variabelnya tergantung. Tetapi perhatikan bahwa ini tidak berlaku untuk varian! Jadi sementara untuk variabel independen, atau bahkan variabel yang tergantung tetapi tidak berkorelasi , rumus umumnya adalah mana adalah kovarians dari variabel.$\mathrm{Var}(X + Y) = \mathrm{Var}(X) + \mathrm{Var}(Y)$V sebuah r ( X + Y ) = V sebuah r ( X ) + V sebuah r ( Y ) + 2 C o v ( X , Y ) C o v$\mathrm{Var}(X + Y) = \mathrm{Var}(X) + \mathrm{Var}(Y) + 2\mathrm{Cov}(X, Y)$$\mathrm{Cov}$

TL; DR:
Dengan anggapan ada, nilai tengahnya adalah nilai yang diharapkan, dan nilai yang diharapkan adalah integral, dan integral memiliki properti linieritas berkenaan dengan jumlah.

TS; DR:
Karena kita berurusan dengan jumlah variabel acak , yaitu fungsi dari banyak dari mereka, rata-rata jumlah adalah sehubungan dengan distribusi bersama mereka (kami berasumsi bahwa semua cara ada dan terbatas). Denoting vektor multivarian dari rv's, kepadatan bersama mereka dapat ditulis sebagai dan dukungan bersama mereka Menggunakan Law of Unconcscious Statistics, kami memiliki banyak integral E ( Y n ) X n f X ( x ) = f X 1 , . . . , X n ( x 1 , . . . , X n ) D = S X 1 × . . . × S X $Y_n = \sum_{i=1}^n X_i$$E(Y_n)$$\mathbf X$$n$$f_{\mathbf X}(\mathbf x)= f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)$$D = S_{X_1} \times ...\times S_{X_n}$

$$E[Y_n] = \int_D Y_nf_{\mathbf X}(\mathbf x)d\mathbf x$$ .

Di bawah beberapa kondisi keteraturan kita dapat menguraikan multiple integral menjadi integral -iterative:$n$

$$E[Y_n] = \int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_1}}\Big[\sum_{i=1}^n X_i\Big]f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_n$$

dan menggunakan linearitas integral yang dapat kita dekomposisi

$$= \int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_1}}x_1f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_n \; + ...\\ ...+\int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_1}}x_nf_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_n$$

Untuk setiap integral -iteratif kita dapat mengatur ulang urutan integrasi sehingga, di masing-masing, integrasi luar berkenaan dengan variabel yang berada di luar kepadatan bersama. Yaitu,$n$

$$\int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_1}}x_1f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_n = \\\int_{S_{X_1}}x_1\int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_2}}f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_2...dx_ndx_1$$

dan secara umum

$$\int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_j}}...\int_{S_{X_1}}x_jf_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_j...dx_n =$$ $$=\int_{S_{X_j}}x_j\int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_{j-1}}}\int_{S_{X_{j+1}}}...\int_{S_{X_1}}f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_{j-1}dx_{j+1}......dx_ndx_j$$

Ketika kita menghitung satu-per-satu integral dalam setiap integral -iteratif (mulai dari dalam), kita "mengintegrasikan keluar" suatu variabel dan kita memperoleh dalam setiap langkah distribusi "gabungan-marjinal" dari variabel-variabel lain. Setiap -iterative integral akan berakhir sebagai .$n$$n$$\int_{S_{X_j}}x_jf_{X_j}(x_j)dx_j$

Menyatukan semuanya kita tiba di

$$E[Y_n ] = E[\sum_{i=1}^n X_i] = \int_{S_{X_1}}x_1f_{X_1}(x_1)dx_1 +...+\int_{S_{X_n}}x_nf_{X_n}(x_n)dx_n$$

Tapi sekarang setiap integral sederhana adalah nilai yang diharapkan dari setiap variabel acak secara terpisah, jadi

= n ∑ i = 1 E ( X i

$$E[\sum_{i=1}^n X_i] = E(X_1) + ...+E(X_n)$$ $$= \sum_{i=1}^nE(X_i)$$

Perhatikan bahwa kami tidak pernah meminta independensi atau non-independensi dari variabel acak yang terlibat, tetapi kami hanya bekerja dengan distribusi bersama mereka.