Derivasi menarik dari R kuadrat

Bertahun-tahun yang lalu saya menemukan identitas ini melalui eksperimen bermain dengan data dan transformasi. Setelah menjelaskannya kepada profesor statistik saya, ia datang ke kelas berikutnya dengan bukti satu halaman menggunakan notasi vektor dan matriks. Sayangnya saya kehilangan kertas yang dia berikan kepada saya. (Ini kembali pada 2007)

Adakah yang bisa merekonstruksi bukti?

Biarkan menjadi titik data asli Anda. Tentukan satu set titik data baru dengan memutar set asli dengan sudut ; sebut titik-titik ini . $(x_i,y_i)$ $\theta$ $(x'_i,y'_i)$

Nilai R kuadrat dari set poin asli sama dengan produk negatif dari turunan sehubungan dengan dari log natural dari standar deviasi untuk setiap koordinat dari set poin baru, masing-masing dievaluasi pada $\theta$ $\theta=0$

$r^2= - \left(\left.\frac{d}{d\theta}\ln(\sigma_{x'})\right|_{\theta=0} \right) \left(\left.\frac{d}{d\theta}\ln(\sigma_{y'})\right|_{\theta=0} \right)$

regression r-squared

— sheppa28
sumber

Derivasi bukanlah latihan manipulasi simbolik yang sangat menarik. Sejak, dan

\begin{aligned} {\frac{d x^{'}}{d θ} |}_{θ = 0} & = - y, \\ {\frac{d y^{'}}{d θ} |}_{θ = 0} & = x, \end{aligned}

$\begin{align} \left.\frac{dx'}{d\theta}\right|_{\theta=0}&=-y,\\ \left.\frac{dy'}{d\theta}\right|_{\theta=0}&=x, \end{align}$

s_{x}^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}

$s_x^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$

{\frac{d s_{x^{'}}^{2}}{d θ} |}_{θ = 0} = - 2 s_{x y}

$\left.\frac{ds_{x'}^2}{d\theta}\right|_{\theta=0}=-2s_{xy}$

{\frac{d s_{y^{'}}^{2}}{d θ} |}_{θ = 0} = 2 s_{x y}

$\left.\frac{ds_{y'}^2}{d\theta}\right|_{\theta=0}=2s_{xy}$

{\frac{d}{d θ} \ln (s_{x^{'}}) |}_{θ = 0} = - \frac{s_{x y}}{s_{x}^{2}}, {\frac{d}{d θ} \ln (s_{y^{'}}) |}_{θ = 0} = \frac{s_{x y}}{s_{y}^{2}}

$\left.\frac{d}{d\theta}\ln(s_{x'})\right|_{\theta=0} = -\frac{s_{xy}}{s_x^2},\quad \left.\frac{d}{d\theta}\ln(s_{y'})\right|_{\theta=0} = \frac{s_{xy}}{s_y^2}$ dan hasilnya mengikuti .

Saya ingin tahu bagaimana Anda menghasilkan persamaan seperti itu, terutama percobaan khusus yang mengungkapkan identitas tersebut.

— Khashaa
sumber

Terima kasih! Ini sebenarnya jauh lebih sederhana daripada buktinya yang saya ingat. Identitas muncul dengan hanya bermain dengan data tahun sebelumnya; untuk tendangan saya hanya melakukan rotasi, standar deviasi, turunan, logaritma, menambahkan, mengalikan, dll. Saya memiliki r ^ 2 asli menjadi garis horizontal, dan grafik fungsi apa pun yang dibuat sebagai fungsi theta. Terkadang mereka menyeberang, tetapi pada sudut yang 'aneh'; terkadang tidak pernah terlintas. Kemudian entah bagaimana mereka menyeberang di theta = nol. Pikir itu menarik. Mengujinya dengan data acak lainnya dan masih dipegang. Saya tidak melihat bagaimana cara kerjanya, tetapi berpikir identitas yang rapi.

— sheppa28