Penyimpangan absolut rata-rata (MAD) dan SD dari distribusi yang berbeda

Untuk data yang terdistribusi normal, simpangan baku dan median simpangan absolut dihubungkan oleh: $\sigma$ $\text{MAD}$

$\sigma=\Phi^{-1}(3/4)\cdot \text{MAD}\approx1.4826\cdot\text{MAD},$

di mana adalah fungsi distribusi kumulatif untuk distribusi normal standar. $\Phi()$

Apakah ada hubungan serupa untuk distribusi lainnya?

distributions standard-deviation mad

— vic
sumber

Distribusi mana yang Anda pikirkan?

— gung - Reinstate Monica

Tidak ada distribusi khusus. Saya baru saja menemukan beberapa set data yang aneh, dan saya ingin tahu apakah ada kisaran nilai yang mungkin dari konstanta ...

— vic

Ya, untuk banyak distribusi - tetapi angkanya berbeda.

— Glen_b -Reinstate Monica

Jika Anda ingin mengetahui rentang nilai yang mungkin yang dapat mengubah MAD ke SD, mengapa tidak menanyakannya dalam pertanyaan?

— Glen_b -Reinstate Monica

Tolong jelaskan apa "MAD" itu: ia memiliki lebih dari satu makna konvensional! (Dan keduanya memberikan nilai yang sama untuk distribusi Normal.)

— whuber

Jawaban:

Untuk menjawab pertanyaan dalam komentar:

Saya ingin tahu apakah ada rentang nilai konstan yang mungkin

(Saya menganggap pertanyaannya adalah tentang penyimpangan median dari median.)

Rasio SD ke MAD dapat dibuat besar secara sewenang-wenang.

Ambil beberapa distribusi dengan rasio SD ke MAD yang diberikan. Pegang tengah dari distribusi tetap (yang berarti MAD tidak berubah). Pindahkan ekor lebih jauh. SD meningkat. Terus bergerak melampaui batas terbatas apa pun yang diberikan. $50\%+\epsilon$
Rasio SD ke MAD dapat dengan mudah dibuat mendekati seperti yang diinginkan dengan (misalnya) menempatkanpadadanpada 0. $\sqrt{\frac{1}{2}}$ $25\%+\epsilon$ $\pm 1$ $50\%-2\epsilon$

Saya pikir itu akan sekecil itu.

enter image description here

— Glen_b -Reinstate Monica
sumber

Apakah interpretasi Anda tentang "MAD" adalah median penyimpangan absolut dari mean atau dari median (yang sering digunakan dan secara eksplisit interpretasi dalam jawaban Xi'an)?

— whuber

@whuber - penting untuk menjadi jelas, terima kasih. Saya menafsirkannya sebagai dari median, seperti yang dimiliki Xi'an. (Apakah saya membuat kesalahan di suatu tempat?)

— Glen_b -Reinstate Monica

Saya tidak melihat kesalahan apa pun - tidak jelas baik dalam pertanyaan atau jawaban Anda yang mana penafsiran dimaksudkan (meskipun dengan beberapa analisis pembaca dapat mengetahui mana yang Anda gunakan). Saya ingat pernah melihat pertanyaan tentang interpretasi deviasi-dari-rata hanya beberapa minggu yang lalu.

— whuber

$f(x;\theta)$ $\text{MAD}_\theta=G^{-1}_\theta(1/2)$ $G_\theta$ $|X-\text{MED}_\theta|$ $\text{MED}_\theta=F^{-1}_\theta(1/2)$ $F_\theta$ $X$

$\theta=\sigma$ $\text{MAD}_\theta$ $\sigma$
Dalam kasus kapan $\theta=(\mu,\sigma)$ dan $\mu$ adalah parameter lokasi, yaitu kapan $f (x; θ) = g ({x - μ} / σ) / σ$ $f(x;\theta)=g(\{x-\mu\}/\sigma)/\sigma$ Kemudian distribusi $|X-\text{MED}_\theta|$ sama dengan distribusi $|\{X-\mu\}-\{\text{MED}_\theta-\mu\}|$ , dan karenanya independen dari $\mu$ . Karena itu $G_\theta$ hanya tergantung pada $\sigma$ dan $\text{MAD}_\theta$ sekali lagi merupakan fungsi deterministik dari $\sigma$ .

— Xi'an
sumber