Apa perbedaan antara regresi binomial dan regresi logistik?

Saya selalu menganggap regresi logistik hanya sebagai kasus khusus regresi binomial di mana fungsi tautan adalah fungsi logistik (alih-alih, katakanlah, fungsi probit).

Dari membaca jawaban atas pertanyaan lain yang saya miliki, sepertinya saya mungkin bingung, dan ada perbedaan antara regresi logistik dan regresi binomial dengan tautan logistik.

Apa bedanya?

regression logistic binomial

— raegtin
sumber

Regresi logistik adalah regresi binomial dengan fungsi tautan "logistik":

g (p) = \log (\frac{p}{1 - p}) = X β

$g(p)=\log\left(\frac{p}{1-p}\right)=X\beta$

Meskipun saya juga berpikir regresi logistik biasanya diterapkan pada proporsi binomial daripada jumlah binomial.

— probabilityislogic
sumber

Apa yang Anda maksudkan dengan regresi logistik yang biasanya diterapkan pada proporsi daripada hitungan? Misalkan saya mencoba memprediksi apakah orang akan menghadiri pesta atau tidak, dan bahwa untuk pesta tertentu, saya tahu bahwa 9 orang hadir dan 1 tidak - maksud Anda bahwa regresi logistik mengambil ini sebagai satu contoh pelatihan (yaitu, pesta ini memiliki tingkat keberhasilan 0,9), sedangkan regresi binomial dengan tautan akan menganggap ini sebagai 10 contoh pelatihan (9 berhasil, 1 gagal)?

— raegtin

@raehtin - dalam kedua kasus itu akan menjadi

sampel / kasus pelatihan, dengan

dan

masing-masing. Perbedaannya adalah bentuk fungsi mean dan varians. Untuk binomial, rata-rata adalah

, tautan kanoncial sekarang

1

$1$

(n_{i}, f_{i}) = (10, 0.9)

$(n_i,f_i)=(10,0.9)$

(n_{i}, x_{i}) = (10, 9)

$(n_i,x_i)=(10,9)$

μ_{i} = n_{i} p_{i}

$\mu_i=n_ip_i$

(juga disebut "parameter alami"), dan fungsi variansnya adalah

\log (\frac{μ_{i}}{n_{i} - μ_{i}})

$\log\left(\frac{\mu_i}{n_i-\mu_i}\right)$

dengan parameter dispersi

. Untuk logistik kita memiliki rata-rata

, tautan di atas, fungsi varians dari

dan dispersi sama dengan

V (μ_{i}) = \frac{μ_{i} (n_{i} - μ_{i})}{n_{i}}

$V(\mu_i)=\frac{\mu_i(n_i-\mu_i)}{n_i}$

ϕ_{i} = 1

$\phi_i=1$

μ_{i} = p_{i}

$\mu_i=p_i$

V (μ_{i}) = μ_{i} (1 - μ_{i})

$V(\mu_i)=\mu_i(1-\mu_i)$

ϕ_{i} = \frac{1}{n_{i}}

$\phi_i=\frac{1}{n_i}$

— probabilityislogic

Dengan logistik,

dipisahkan dari fungsi mean dan varians, sehingga dapat lebih mudah diperhitungkan melalui pembobotan

n_{i}

$n_i$

— probabilityislogic

Ah, mengerti, kurasa aku mengerti. Apakah ini berarti bahwa mereka menghasilkan hasil yang setara (hanya tiba dari cara yang berbeda)?

— raegtin

@raegtin - saya kira begitu. Bobot GLM,

, sama dalam kedua kasus, dan fungsi tautan menghasilkan nilai logit yang sama. Jadi selama variabel X juga sama, maka harus memberikan hasil yang sama.

w_{i}^{2} = \frac{1}{ϕ_{i} V (μ_{i}) [g^{'} (μ_{i})]^{2}}

$w_{i}^{2}=\frac{1}{\phi_i V(\mu_i)[g'(\mu_i)]^{2}}$

— probabilityislogic

$\mbox{var}(Y) = \hat{Y}(1-\hat{Y})$ $\hat{Y} = \mbox{logit}^{-1}(\mathbf{X}\hat{\beta})=1/(1-\exp{(\mathbf{X}\hat{\beta})})$ $[0,1]$

— AdamO
sumber