Jika X / Y memiliki distribusi yang sama dengan Z, apakah benar X memiliki distribusi yang sama dengan YZ?

Misalkan X, Y dan Z menjadi tiga variabel acak independen. Jika X / Y memiliki distribusi yang sama dengan Z, apakah benar X memiliki distribusi yang sama dengan YZ?

probability ratio

— pengguna2808118
sumber

Tidak. Anggap kasus

X

$X$ dan

Y

$Y$ sebagai standar normal dan

Z

$Z$ sebagai variabel acak standar Cauchy (dengan ketiganya independen sesuai dengan premis pertanyaan). Sudah diketahui bahwa

X / Y

$X/Y$ memiliki distribusi Cauchy standar (sama dengan

Z

$Z$ ), tetapi

Y Z

$YZ$ tidak memiliki distribusi normal standar (karena

E [Y Z]

$E[YZ]$ tidak ada). Jadi Anda memang membutuhkan batasan tambahan pada

X, Y, Z

$X, Y, Z$ (lih. Jawaban Silverfish) untuk memiliki harapan menemukan contoh di mana hasilnya mungkin berlaku.

— Dilip Sarwate

@Dilip Saya dianggap menggunakan itu sebagai tandingan saya tapi menghindar dari itu karena saya tidak bisa memikirkan penjelasan singkat tentang mengapa

E [Y Z]

$E[YZ]$ tidak ada. Jika Anda punya argumen yang rapi, Anda harus mempostingnya sebagai jawaban saya pikir. (Seperti yang mungkin Anda tahu, saya sengaja menghindari nol dan ketidakterbatasan dalam jawaban saya, jadi saya sangat ingin menghindari sesuatu yang bahkan tidak terbatas!)

— Silverfish

@Dilip Karena

adalah Cauchy, jadi

tidak ada, menurut saya ketentuannya tidak terpenuhi dan pernyataan itu tidak mengatakan apa pun tentang

. Sebagai perbandingan: jika

adalah Cauchy dan

memiliki distribusi berdegenerasi

, maka akan muncul

ada (dan sama dengan nol) meskipun

tidak.

Z

$Z$

E [Z]

$E[Z]$

E [Y Z]

$E[YZ]$

Z

$Z$

Y

$Y$

P (Y = 0) = 1

$P(Y=0)=1$

E [Y Z]

$E[YZ]$

E [Z]

$E[Z]$

— Silverfish

Salah satu contoh tandingan yang paling sederhana, dan mungkin paling intuitif, kemungkinan adalah membiarkan

dan

menjadi distribusi apa pun dengan kemungkinan tidak berada dalam

(karena

adalah titik tetap dari

dan

bermasalah dalam definisi

dalam hal apa pun). Kemudian

X = 1

$X=1$

Y

$Y$

{- 1, 0, 1, \pm \infty}

$\{-1,0,1,\pm\infty\}$

\pm 1

$\pm 1$

y \to 1 / y

$y\to 1/y$

0, \infty,

$0,\infty,$

- \infty

$-\infty$

X / Y

$X/Y$

Y Z

$YZ$ jelas tidak konstan sementara

adalah.

X

$X$

— whuber

@Silverfish

didefinisikan hanya jika

terbatas. Tapi,

sejak

dan

E [Y Z]

$E[YZ]$

E [| Y Z |]

$E[|YZ|]$

E [| Y Z |] = E [| Y | \cdot | Z |] = E [| Y |] E [| Z |]

$E[|YZ|]=E[|Y|\cdot |Z|]=E[|Y|]E[|Z|]$

| Y |

$|Y|$

| Z |

$|Z|$ adalah variabel acak independen. Tapi, karena

tidak terbatas dan

, kami menyimpulkan bahwa

tidak terbatas (tidak ada masalah tentang nilai

). Akibatnya,

tidak didefinisikan (atau tidak ada) sedangkan

sangat pasti ada dan memiliki nilai

E [| Z |]

$E[|Z|]$

E [| Y |] > 0

$E[|Y|]>0$

E [| Y Z |]

$E[|YZ|]$

0 \times \infty

$0\times\infty$

E [Y Z]

$E[YZ]$

E [X]

$E[X]$

0

$0$

— Dilip Sarwate

Itu bisa terjadi. Misalnya, jika , dan adalah variabel Rademacher independen , yaitu mereka bisa 1 atau -1 dengan probabilitas yang sama. Dalam hal ini juga Rademacher, sehingga memiliki distribusi yang sama seperti , sedangkan adalah Rademacher sehingga memiliki distribusi yang sama seperti . $X$ $Y$ $Z$ $X/Y$ $Z$ $YZ$ $X$

Tetapi itu tidak akan terjadi secara umum. Selama sarana ada, kondisi yang diperlukan (tetapi tidak mencukupi) bagi untuk memiliki distribusi yang sama dengan , dan bagi untuk memiliki distribusi yang sama dengan , adalah: $X/Y$ $Z$ $YZ$ $X$

E (Z) = E (X Y^{- 1}) = E (X) E (Y^{- 1})

$\mathbb{E}(Z) = \mathbb{E}(XY^{-1}) = \mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y^{-1})$

E (X) = E (Y Z) = E (Y) E (Z)

$\mathbb{E}(X) = \mathbb{E}(YZ) = \mathbb{E}(Y)\mathbb{E}(Z)$

Persamaan kedua diikuti oleh independensi. Pengganti memberi:

E (Z) = E (Y) E (Z) E (Y^{- 1})

$\mathbb{E}(Z) = \mathbb{E}(Y) \mathbb{E}(Z) \mathbb{E}(Y^{-1})$

Jika maka , atau setara, sepanjang , $\mathbb{E}(Z) \neq 0$ $1 = \mathbb{E}(Y) \mathbb{E}(Y^{-1})$ $\mathbb{E}(Y) \neq 0$

E (Y^{- 1}) = \frac{1}{E (Y)}

$\mathbb{E}(Y^{-1}) = \frac{1}{\mathbb{E}(Y)}$

$Y$ $1$ $2$ $\mathbb{E}(Y)=1.5$ $Y^{-1}$ $1$ $0.5$ $\mathbb{E}(Y^{-1})=0.75 \neq 1.5^{-1}$ Sebaliknya variabel Bernouilli, atau yang diterjemahkan hanya sedikit sehingga sangat dekat dengan 0 dengan probabilitas satu setengah. Perhatikan bahwa dalam contoh Rademacher tidak ada masalah di sini karena ketiga ekspektasinya nol, perhatikan lebih lanjut bahwa kondisi ini tidak mencukupi.)

$Y$ $X$ $0$ $2$ $X/Y$ $0/1$ $0/2$ $2/1$ $2/2$ $P(X/Y=0)=\frac{1}{2}$ $P(X/Y=1)=\frac{1}{4}$ $P(X/Y=2)=\frac{1}{4}$ $Z$ $YZ$ $X$ $X$ $YZ$ $\{1,2\}$ $\{0,1,2\}$

Jika Anda menginginkan moral untuk kisah ini, maka cobalah bermain-main dengan variabel Bernouilli yang diskalakan dan diterjemahkan (yang mencakup variabel Rademacher). Mereka bisa menjadi cara sederhana untuk membangun contoh - dan contoh tandingan. Ini membantu memiliki nilai lebih sedikit dalam dukungan sehingga distribusi berbagai fungsi variabel dapat dengan mudah dikerjakan dengan tangan.

$X$ $Y$ $Y\neq 0$ $Z=X/Y$ $YZ$ $Z$ $X$ $P(X=1)$ $Y$ $Y$ $a$ $b$ $X/Y$ $Z$ $a^{-1}$ $b^{-1}$ $YZ$ $ab^{-1} \neq 1$ $X$

— Gegat
sumber

$\newcommand\E{\mathbb{E}}$

Pr (Y > 0) = 1

$\Pr(Y > 0) = 1$

1 / x

$1/x$

(0, \infty)

$(0, \infty)$

E Y = E \frac{1}{Y}

$\E Y = \E \frac{1}{Y}$

Y

$Y$

Pr (Y < 0) = 1

$\Pr(Y < 0) = 1$

Y

$Y$

@Dougal Terima kasih telah menyebutkan ini. Ketika menulis, saya berpikir untuk memasukkannya tetapi merasa diskusi tentang tanda-tanda dll akan mematahkan alurnya. Saya berpikir untuk hanya mengatakan "lihat ketidaksetaraan Jensen" dan menambahkan Wikipedia atau tautan serupa, tetapi kemudian memutuskan bahwa itu bukan ide yang baik karena saya tidak memulainya dengan kondisi cembung yang saya coba hindari. Sebagai gantinya, saya melihat untuk melihat apakah ada suatu tempat (mungkin utas CV) di mana harapan fungsi non-linear RV dibahas secara umum, yang secara alami akan mengarahkan pembaca yang penasaran ke Jensen, tetapi saya tidak menemukan apa pun. Saya belum suka.

— Silverfish

@Dougal Ini adalah salah satu dari saat-saat itu ada sedikit bentrokan antara contoh-contoh sederhana yang indah - sesuatu yang sangat mudah dihitung, sehingga seseorang yang bekerja di bawah kesalahpahaman dapat segera melihat itu tidak mungkin atau salah - dan perawatan umum yang lebih menyeluruh dan menyeluruh yang sebenarnya membantu perlihatkan di bawah kondisi apa sesuatu mungkin benar-benar dipegang (tetapi yang mungkin terlalu sulit untuk diikuti oleh beberapa pembaca, dan karena itu kurang meyakinkan bagi mereka). RV pada bahkan menunjukkan kepada pemula mengapa tidak bekerja sebaik tetapi Jensen mengatakan lebih banyak tentang mengapa!

{1, 2}

$\{1,2\}$

E (1 / Y)

$E(1/Y)$

E (a Y + b)

$E(aY+b)$

— Silverfish

Yap, poin bagus, meskipun saya ingin tahu tentang kondisi kapan hubungan (yang tampaknya alami) ini bisa tahan, yang tampaknya sangat terbatas. Perhatikan bahwa dalam komentar saya di atas, saya salah menulis kondisinya: tentu saja harus .

\frac{1}{\E Y} = \E \frac{1}{Y}

$\frac{1}{\E Y} = \E \frac{1}{Y}$

— Dougal

@Dougal Saya pikir melampaui RV yang memburuk hubungan seperti itu tidak "alami" seperti yang pertama kali muncul. Anggap memiliki distribusi yang sama dengan dan memiliki distribusi yang sama dengan , dan ketiganya independen ... Sekali lagi tidak berlaku secara umum.

Z

$Z$

X + Y

$X+Y$

Y

$Y$

Z - X

$Z-X$

— Silverfish