Bagaimana seharusnya kesalahan standar untuk estimasi model efek campuran dihitung?

Secara khusus, bagaimana kesalahan standar efek tetap dalam model efek campuran linier harus dihitung (dalam arti frequentist)?

Saya telah memimpin untuk percaya bahwa perkiraan tipikal ( ), seperti yang disajikan dalam Laird dan Ware [1982] akan memberikan SE ukurannya diremehkan karena estimasi komponen varians diperlakukan seolah-olah mereka adalah nilai sebenarnya.${\rm Var}(\hat\beta)=(X'VX)^{-1}$

Saya telah memperhatikan bahwa SE yang diproduksi oleh lmedan summaryfungsi - fungsi dalam nlmepaket untuk R tidak hanya sama dengan akar kuadrat diagonal dari matriks varians-kovarians yang diberikan di atas. Bagaimana mereka dihitung?

Saya juga mendapat kesan bahwa Bayesia menggunakan gamma invers terbalik untuk estimasi komponen varians. Apakah ini memberikan hasil yang sama (dalam pengaturan yang tepat) seperti lme?

Pikiran awal saya adalah bahwa, untuk regresi linier biasa, kami hanya memasukkan estimasi kami tentang varian residual, , seolah-olah itu adalah kebenaran.$\sigma^2$

Namun, lihat McCulloch and Searle (2001) Generalized, linear and mixed models, edisi pertama , Bagian 6.4b, "Sampling variance". Mereka menunjukkan bahwa Anda tidak bisa cukup mencolokkan estimasi komponen varians :

Alih-alih berurusan dengan varians (matriks) dari vektor kita mempertimbangkan kasus sederhana dari skalar l ' β untuk diduga l ' β (yaitu, l ' = t ' X untuk beberapa t ' ).$X \hat{\beta}$$l' \hat{\beta}$$l'\beta$$l' = t'X$$t'$

Untuk diketahui , kita dapatkan dari (6.21) bahwa var ( l ′ β 0 ) = l ′ ( X ′ V - 1 X ) - l . Sebuah pengganti ini ketika V tidak diketahui adalah penggunaan l ' ( X ' V - 1 X ) - l , yang merupakan perkiraan var ( l ' β 0 ) = var [ l $V$$\text{var}(l' \beta^0) = l'(X'V{-1}X)^- l$$V$$l'(X'\hat{V}^{-1}X)^- l$ . Tapi itubukanperkiraan var ( l ' β ) = var [ l ' ( X ' V - 1 X ) - X ' V - 1 y ] . Yang terakhir membutuhkan memperhitungkan variabilitas V serta dalam$\text{var}(l'\beta^0) = \text{var}[l' (X' V^{-1} X)^- X' V^{-1} y]$$\text{var}(l'\hat{\beta}) = \text{var}[l' (X' \hat{V}^{-1} X)^- X' \hat{V}^{-1} y]$$\hat{V}$ . Untuk menghadapi ini, Kackar dan Harville (. 1984, p 854) mengamati bahwa (dalam notasi kami) l ' β - l ' β dapat dinyatakan sebagai jumlah dari dua bagian independen, l ' β - l ' β 0 dan l ′ β 0 - l ′ β . Ini mengarah ke var ( l ' β ) yang dinyatakan sebagai jumlah dari dua varians yang kita tulis sebagai$y$$l' \hat{\beta} - l' \beta$$l' \hat{\beta} - l' \beta^0$$l'\beta^0 - l' \beta$$\text{var}(l' \hat{\beta})$

$$\text{var}(l'\hat{\beta}) = ... \approx l'(X' V^{-1} X)l + l' T \; l$$

$T$

Jadi ini menjawab bagian pertama dari pertanyaan Anda dan menunjukkan bahwa intuisi Anda benar (dan saya salah).