Hitung kuantil jumlah distribusi dari kuantil tertentu

Mari kita asumsikan variabel acak independen yang pada tingkat tertentu diketahui melalui estimasi dari data: , ..., . Sekarang mari kita mendefinisikan variabel acak sebagai jumlah . Apakah ada cara untuk menghitung nilai kuantil dari jumlah pada level , yaitu, di ? $N$ $X_1, ..., X_N$ $\alpha$ $\alpha = P(X_1 < q_1)$ $\alpha = P(X_N < q_N)$ $Z$ $Z = \sum_{i=1}^N X_i$ $\alpha$ $q_z$ $\alpha = P(Z < q_Z)$

Saya berpikir bahwa dalam kasus-kasus tertentu, seperti jika mengikuti distribusi Gaussian ini mudah, tapi aku tidak begitu yakin untuk kasus di mana distribusi tidak diketahui. Ada ide? $X_i$ $\forall i$ $X_i$

quantiles

— albarji
sumber

apakah ini diperkirakan dari data atau diketahui secara teoritis?

q_{i}

$q_i$

— chuse

Hal ini tidak mungkin tanpa membuat asumsi tertentu tentang distribusi dari . Apakah Anda memiliki keluarga distribusi dalam pikiran?

X_{i}

$X_i$

— whuber

@ chuse the diperkirakan dari data, karena distribusi tidak diketahui tetapi sampel tersedia. Saya telah memperbarui pertanyaan dengan fakta ini.

q_{i}

$q_i$

X_{i}

$X_i$

— albarji

@whuber Saya tidak memiliki pengetahuan sebelumnya tentang keluarga distribusi yang mungkin oleh , meskipun sampel data tersedia. Apakah dengan asumsi keluarga distribusi (selain dari Gaussian) membuat ini lebih mudah?

X_{i}

$X_i$

— albarji

$q_Z$ bisa apa saja.

Untuk memahami situasi ini, mari kita buat penyederhanaan awal. Dengan bekerja dengan kita memperoleh karakterisasi yang lebih seragam $Y_i = X_i - q_i$

α = Pr (X_{i} \leq q_{i}) = Pr (Y_{i} \leq 0) .

$\alpha = \Pr(X_i \le q_i) = \Pr(Y_i \le 0).$

Artinya, setiap memiliki probabilitas yang sama untuk menjadi negatif. Karena $Y_i$

W = \sum_{i} Y_{i} = \sum_{i} X_{i} - \sum_{i} q_{i} = Z - \sum_{i} q_{i},

$W = \sum_i Y_i = \sum_i X_i - \sum_i q_i = Z - \sum_i q_i,$

persamaan mendefinisikan untuk sama dengan $q_Z$

α = Pr (Z \leq q_{Z}) = Pr (Z - \sum_{i} q_{i} \leq q_{Z} - \sum_{i} q_{i}) = Pr (W \leq q_{W})

$\alpha = \Pr(Z \le q_Z) = \Pr(Z - \sum_i q_i \le q_Z - \sum_i q_i) = \Pr(W \le q_W)$

dengan . $q_Z = q_W + \sum_i q_i$

Apa nilai yang mungkin dari ? Pertimbangkan kasus di mana semuanya memiliki distribusi yang sama dengan semua probabilitas pada dua nilai, satu di antaranya negatif ( ) dan yang lainnya positif ( ). Nilai yang mungkin dari jumlah terbatas pada untuk . Masing-masing terjadi dengan probabilitas $q_W$ $Y_i$ $y_{-}$ $y_{+}$ $W$ $ky_{-} + (n-k)y_{+}$ $k=0, 1, \ldots, n$

{Pr}_{W} (k y_{-} + (n - k) y_{+}) = (\binom{n}{k}) α^{k} (1 - α)^{n - k} .

${\Pr}_W(ky_{-} + (n-k)y_{+}) = \binom{n}{k}\alpha^k(1-\alpha)^{n-k}.$

Ekstrem dapat ditemukan oleh

Memilih dan sehingga ; dan akan mencapai ini. Ini menjamin bahwa akan negatif kecuali ketika semua positif. Kesempatan ini sama dengan . Itu melebihi ketika , menyiratkan quantile dari harus benar-benar negatif. $y_{-}$ $y_{+}$ $y_{-} + (n-1)y_{+} \lt 0$ $y_{-}=-n$ $y_{+}=1$ $W$ $Y_i$ $1 - (1-\alpha)^n$ $\alpha$ $n\gt 1$ $\alpha$ $W$
Memilih dan sehingga ; dan akan mencapai ini. Ini menjamin bahwa akan menjadi negatif hanya ketika semua negatif. Kesempatan ini sama dengan . Itu kurang dari ketika , menyiratkan quantile dari harus benar-benar positif. $y_{-}$ $y_{+}$ $(n-1) y_{-} + y_{+} \gt 0$ $y_{-}=-1$ $y_{+}=n$ $W$ $Y_i$ $\alpha^n$ $\alpha$ $n\gt 1$ $\alpha$ $W$

Ini menunjukkan bahwa quantile dari dapat berupa negatif atau positif, tetapi tidak nol. Berapa ukurannya? Itu harus sama dengan beberapa kombinasi linear integral dari dan . Membuat kedua nilai integer ini memastikan semua nilai adalah integral. Setelah skala oleh angka positif sewenang-wenang , kami dapat menjamin bahwa semua kombinasi linear integral dari dan merupakan kelipatan integral dari . Sejak , itu harus setidaknya dalam ukuran . Karena itu, $\alpha$ $W$ $y_{-}$ $y_{+}$ $W$ $y_{\pm}$ $s$ $y_{-}$ $y_{+}$ $s$ $q_W \ne 0$ $s$ nilai yang mungkin dari (dan dari mana ) tidak terbatas, $q_W$ $q_Z$ tidak peduli apa dapat sama. $n\gt 1$

Satu- satunya cara untuk memperoleh informasi tentang adalah dengan membuat batasan spesifik dan kuat pada distribusi , untuk mencegah dan membatasi jenis distribusi tidak seimbang yang digunakan untuk memperoleh hasil negatif ini. $q_Z$ $X_i$

— whuber
sumber

Terima kasih banyak @whuber, untuk penjelasan dan contoh ilustrasinya. Meskipun jawabannya negatif, saya tidak bisa mengatakan ini tidak terduga. Kemudian saya akan mencoba mencari tahu keluarga distribusi mana yang cocok dengan data saya dan melihat apakah dengan itu saya bisa menghitung jumlah.

— albarji